2022-2023学年浙江省公立寄宿学校数学高二下期末质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等比数列的前n项和为，且满足，则A．4 B．5 C．8 D．92．下列函数中，满足“且”的是()A． B．C． D．3．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．4．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．5．已知，，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．若，则s1,s2,s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s17．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．1208．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（）A．种 B．种 C．种 D．种9．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．10．的外接圆的圆心为，，，则等于（）A． B． C． D．11．若复数是纯虚数，则（）A． B． C． D．12．已知，，，若，则（）A．-5 B．5 C．1 D．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．14．设函数（为自然对数的底数）的导函数为，则_________.15．，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________．16．曲线在点处的切线方程为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数有两个不同极值点，且.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.（1）求函数的解析式；（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.19．（12分）如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.21．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程恰有两个实数根，求a的值.22．（10分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。【详解】由题意可得，，选D.【点睛】本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。2、C【解析】

根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。【详解】根据题意知，函数在上是减函数。选项A，在上是增函数，不符合；选项B，在上不单调，不符合；选项C，在上是减函数，符合；选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。3、C【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.4、D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.5、B【解析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．【详解】可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，故选：B．【点睛】本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.6、B【解析】选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7、D【解析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．8、D【解析】

5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法．【详解】每个乘客都有4种选法，共有种，选D【点睛】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法9、D【解析】

根据直线方程求得斜率，根据斜率与倾斜角之间的关系，即可求得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，故可得，又，故可得.故选：D.【点睛】本题考查由直线的斜率求解倾斜角，属基础题.10、C【解析】

，选C11、B【解析】

根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数是纯虚数,故,解得.故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.12、A【解析】

通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.14、；【解析】

对函数求导，然后把代入导函数中，即可求出的值.【详解】，.【点睛】本题考查了导数的有关运算，正确掌握导数的运算法则和常见函数的导数是解题的关键.15、.【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是．详解：，，，，……由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是，可猜想，.故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16、【解析】试题分析：因为，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即；故填．考点：导数的几何意义．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）把函数有两个不同极值点转化为有两个不同的实数根，分类讨论，，时，值域情况，从而得到实数的取值范围；（Ⅱ）显然，恒成立，只需讨论的情况，由于，为方程的两个根，从而有，变形可得：所以要使恒成立等价于恒成立，令，利用导数讨论的值域即可。【详解】由题可得的定义域为，，函数有两个不同极值点等价于有两个不同的实数根，令，当时，，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，令，解得：，令时，解得：，所以的增区间为，减区间为，则；由于当时，，当时，，所以要使由两个根，则，解得：；综述所述，实数的取值范围为（Ⅱ）（1）由于，所以当时，显然恒成立，下讨论的情况；（2）当时，由（I），为方程的两个根，从而有，可得：，，所以，要使恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令，，则，只要使即可，则，，再令，则，可知：在内单调递减，从而，（i）当时，，则，在内单调递增，所以，所以满足条件；（ii）当时，，当时，，由于在内单调递减，根据零点存在定理，可知存在唯一，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，不满足恒成立，故不满足条件；综述所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性和极值，问题（Ⅱ）为极值点偏移问题，常见的处理方法是根据极值点满足的等式构造求证目标满足的等式，再把求证目标不等式归结为函数不等式来证明．18、（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.【解析】试题分析：（1）①，用替换①式中的有：②，由①②消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.试题解析：（1）∵对任意实数恒有：①，用替换①式中的有：②，①×②—②得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，∴在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，∴在上为单调增函数.证明：设任意且，则，∵，，①当时，则，∴∴在上是减函数.②当时，则，∴∴在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系，，设平面FAE法向量为，则，，20、(1)的直角坐标方程是.直线的普通方程为.(2).【解析】

（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.【详解】解：（1）由，得，将互化公式代上式，得，故圆的直角坐标方程是.由，得，即.所以直线的普通方程为.（2）设点.由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.联立，解得，或.故点的直角坐标是.【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．21、（1）（2）【解析】

（1）根据已知求得，可求得曲线在处的切线方程;（2）由方程恰有两个实数根，进行参变分离得，构造函数，对所构造的函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性和图象趋势,极值,从而可得出a的值.【详解】（1）函数，，，曲线在处的切线方程为，即.（2）方程恰有两个实数根，即恰有两个实数根，∵，所以可得，显然时，上式不成立；设，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；，，又当时，，当时，，，得.【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的根的情况求参数的值,解决的关键在于进行参变分离,构造合适的函数,并对所构造的函数求导,分析其导函数的正负,得所构造的函数的单调性和图象趋势和极值,属于常考题,难度题.22、（1）（2）当年产量为9千件