人教版八年级数学上册第十三章轴对称章末复习教案

章思维导典型例例1

把张正方形纸片如图①、图②对折两次后再图挖去一个三角形小孔，展后图形是()【识点】轴对称图形的知识【路点拨主考了学生的立体思维能即作力际动手操折纸者将图③按轴对称补全得正确结论故选.【题过程】按图实际动手操作可得到正确结论【案】C例2

如图，在△，=ACD是的点且DE，△周长为8，且BC，求ABBC的长.【知识点线段垂平分线的质【数学思】方程想【思路点】由题知，是线段AB的垂直分，由其质知=AE从而得AC+BC，又ACBC=2即得到关于BC的方程组则易解出.【解题程】⊥，D为AB中点，∴垂分，∴BE=AE，∵BCBE+EC，∴BC+AEEC=8，即+=8，又∵ACBC=2，AC

解得∵ABAC，∴AB)BC=3().3.【答案】=5()).例3

已点到△ABC的边、AC所在线的距相等，且OB=.如图1若点在BC上过点分别作⊥ABOF⊥ACEF分别垂足，证：=AC如图，若点O△ABC的部，求：=AC若点Oeq\o\ac(△,在)ABC的外部，AB=AC成立？请画表示.【知识点等腰(等边角形的质与判定【思路点证明条线段相等或者两个角相等都联想到明两个角形全1页等或等腰三角形.⑴为、AC在同一三角形中所以考虑证明腰角形，从而去找等即∠B=∠通过HL得三角全等解⑵可类比⑴问求；⑶由意知OE，=OC，所作图时应∠A的平分线所直线与边的垂直分线重；还要别考虑点Oeq\o\ac(△,在)的内部和外部.【解题过】⑴如图，∵⊥AB，OFAC，、F分别垂足，∠OFC，又由意知OEOFOBOC∴eq\o\ac(△,，)≌RtOFC（，∴∠B=∠C，AB⑵图3分别OE⊥ABOF⊥AC分别是垂足意知OEOF，=OC∴Rteq\o\ac(△,，)≌△（HL），OBE=∠，OB=知∠=∴∠ABC=∠ACB，∴ABAC⑶不一成立(注:由题意OEOF=，只有当∠A平分所在线与边BC的垂直平分线重合时：如图①②，有ABAC成立;否则ABAC如图③④⑤⑥)三、章末检测题《对称》章末检测题时间分钟满分分)一选择题(小题4，共)1.下图形一是对称图形的是()A.平行四边形

B.正形

C..三角形

D.梯形【知点】对称图形定义【思路点拨】所学的面几何图形中，见的轴对称图形有线段、角、等腰三角形、等边三角形、方形、正方形、形、等腰梯形、圆等【解题过程】选项A平四边形不一是轴对称图形选项正方形定是轴对称图形且是四对称轴选项C三形不一是轴对称图形;选项梯形不一定是轴称图形.【答案】B已知A、两点的坐标分别是(-2，3)和2，，下面四个结论：①A、B关于x对称②、关于y对；③AB关原对称；④A之的距离为4，其中正确的()第页A.1个

B.2个

C.3个

个【知点】用坐标表示轴称【数思想】数形结合【思点拨平面直坐标系中点坐标的称规或直接在平面直角标系标出点察即可.【解过程】由平面直角标系点坐标的对称规律得，于轴对称坐标的是，点关于y轴称的坐标是(2点关于原点对称的坐标是(2，-3)；因为、有相同的纵标，以∥x，、B之间的距离为｜xx｜B【案】B3.若等三形顶为40°，它底为（）C.60°【知识点】等腰三角的性质【思路点拨】因为等腰三角形的中，顶角+2倍底角，所以只要知顶角或者底角一个值可以求出其余两个值.【解题过程∵等腰三形的顶角为∴的底（180°－角2=（－）【答案】D如图AB∥CD点在BC上且CD∠D，则∠B度()A.68°C.22°【知识点平线性质等三形的质【思路点拨】在等腰角形中“知一角求其余两角，求∠得数；再用“两直平行，内错角等得出∠B∠C【解题过程=CE∠D∠CED∠C，又∵∥，∴∠=∠=32°【答案B等腰三角形在直角坐标中底边的两点坐标是(-2，，0)，则其顶角顶点的坐标能确定的是()A.横坐标纵坐标标横或纵标第页【知识点】用坐标表示轴对称、等腰三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线，所以其顶角顶点在底边的垂直平分线上，此垂直平分线上所有点的横坐标都是所以等腰三角形ABC的角顶点横坐标为，纵坐标取的意值-【解题过程】由题意得等腰角形的顶角顶点的横标为，纵2坐标取的任意.【答案】A6.腰三角形一腰上的高与另一的夹角为，这个等腰三角形的顶角为()A.B.或150°D.60°【知识点】等腰三形的性质【数学思想】分类论【思路点拨】“腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为”可想到此等三角形为锐角等腰三角或者为钝角等腰三角形，画出图形即可求解【解题过程】①当等三角形为锐角等腰三角形，如图，由题可eq\o\ac(△,知)ADC中，∠=90°=60°∴Rteq\o\ac(△,，)ADC中∠A.②当等三角形为钝角等腰三角形，如图，题可AEC中，∠AEC=90°，，Rteq\o\ac(△,∴)中∠，∴∠BAC=150°.【案】7.等腰三角形底边长cm，一腰上的中线周长的差为2，则腰长()cmB.cmC.或D.以上都对【知识】等腰三角的性质、中的性质【数学想】分类讨，数形结合方程思想【思路拨】要考虑腰比底长”和“腰比底短”两种情；由题意结合图形11可知周被分成了“腰+腰”和“腰+底”两部分，所“一腰上的中线把22它的周分成两分的差为cm”实质为“腰－=2”或者“底－腰=2”.【解题过程】设腰长为cm根题意得：x-6=2或x=2，解得：=8或，第页∴腰长为：4或．【答案】下列法中正确的是()关于直线称的两个三角形是全等的全等三角是关于某直线对称的两个关于线对称，则两个一定别位条直两侧若点、关直线对称，则线段垂直平分MN【识点】轴对称知识【路点拨】根据对称的性质可以断【题过程为关于某线对称的两个图既要满足特殊的置关系还要满足大关系所以关于某线对称的两个三形是全等的但两全等的三角不一关于某直线对，故对错；两个形关于某直线称，它们可以与对称轴有交点，所以这两个图不一定分别位于这条直线的两侧，C错D应为若点、关直线MN对称，则MN垂平分线段【答案A图eq\o\ac(△,如)中=30°BC的垂直平分线交于足为若ED，则的长为()A.10C.5D.2.5【知识点】含30°角的直角三角形的质【思路点拨】由垂平分线易eq\o\ac(△,为)等腰三角，再由含30°角直角三角形的”即可求.【解题程】由意知，是线段BC的垂直平线，由其性质知=EC，1∴∠=∠B，EDC中，=，即=2DE=8.2【答案B10.如图是一个风的图它是以直线AF为对称轴轴对称列结论不一定成的()A.ABD△ACDAF垂直平分EG直线，的交点在AF上【识】对的识

D.eq\o\ac(△,是)等边角形第页【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断【解题过程】由轴对称的性质可得选项、B正确是等腰三角形，不一定是等边三角形.【答案】D如所示eq\o\ac(△,与)AB′C关于直线对，∠B的度数为)A.60°B.40°D.100°【知识点轴称知识三形角和理【思路点】用对称知将个已的度化到一三形中.【解题过eq\o\ac(△,与)BC关于线对称，∴eq\o\ac(△,△)≌，∴∠A∠，∠′=∠=40°，-∠C，∴∠=∠B【答案】12.已知∠AOB=30°，点在∠AOB的内部，点和点于点2和点于OB对，则、O、P三点构成的三角形()2A.直角三角形形三角形形【知点】对称的知识，等边三角的判定【思点拨图，据轴称的性质可求得=2∠AOB=60°，OP=21=O，所eq\o\ac(△,1)为边三形2【解题过程】如，∵点关于、OB的对称点分为、P，接交1于点，交点，∠=∠∠3.又∠∠2，∠3=∠4，=OP=，∴∠P=∠1+∠2+∠∠∠AOB=2×1∴eq\o\ac(△,1)P为等三角形【答D二、空(每小题分，共24)13.点，关于轴的对称点的(a+b，1-b，则的值为

.【点示轴对称【思】程思想【思路点拨】关轴对称的点，【解题过程】由题得∴∴a=(-5)第页【答案】2514.如图所示，四边形ABCD中点N分别在，BC将eq\o\ac(△,上)沿翻FMN若∥ADFN∥DC，则∠B=知点轴、三形内四内）【思路拨】知度和知角转化到个三角中（或个四形中）.【解题过程MF∥∠BMF==100°FN∥DC∠BNF∠C，11由翻折可得eq\o\ac(△,≌)FMN∠BMN，∠=70°=35°，22∴∠B（四形BNFM中∠BMF∠=70°，=∠B【答案】∠=95°15.如ABC中∠和∠ACB的平分线交于点过点作MN∥交于，交N如果MB+CN=6那么线段MN的长

.【识点】等腰三角形的判定角分线的定义【思路点拨】∠∠ACB的由角平分线和∥BC可得出∠EBC=∠，∠NEC=即eq\o\ac(△,，)BME和等腰角，MN=ME+EN=BM+CN【】∵ABC、ACB分点∴MBE=，∠ECN=ECB∵∥BC∴∠EBC=MEB，BM=ME，EN=CN.又∵MN=ME+EN，∴MN=BM+CN∵BM+CN=6

∴MN=6，【答】616.如图，在eq\o\ac(△,中)ABC，D、为斜边AB上的两个点且=AE=AC，则∠=【知识】等腰角形的质、三形内角定理【数学想】方思想【思路拨eq\o\ac(△,】)中∠CDE+∠CED∠，而利用等腰三角形的等边对等角将转为ACB∠DCE是本解决的键【解题程】∵BD=BC，BDC∠，∵AC=，∴∠ACE=∠.又∵∠+∠=∠+∠ACE=∠ACB+∠DCE.∴eq\o\ac(△,在)CDE，∠CDE+∠CED∠DCE∠=180°，∠DCE=45°.【答案第页17.图在eq\o\ac(△,如)ABC中=DE是的垂线的周长为BC=6，则的长为

.【知识】线段直平分的性质【数学想】方思想【思路点拨】由题意DE是段垂直平分线，由其性质知从得+BC=13，又=6即得到关于AC的方程，则易解出.【解题程】⊥，D为AB中，DE直平分AB，∴BE=，∵BCBE+EC=13，∴++EC=13，即BCAC又∵=6，∴6+AC，∴AC=7【答7如图，（2-1）为平面直角坐标系内一点O为原点P是上一动点如以点、O、A为顶的角是腰角，么合件动点共有

个.【识】腰角的识【学想数结、类论【路拨】点、O为顶的角是腰角形应虑为类：①∠O顶②当∠为顶AO=AP③当∠P角=【解题过程】如图当∠O顶角，OA=OP时：以为圆，OA长半径作圆，交x轴于点，；②当∠A为顶角AO=AP：以为圆，长为2半径作，交x点；∠P为，时：作线段的垂直平分线交x轴于点】4题(每题分共分如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴称图形（至少画出两种）．【知识点】轴对图形的定义【思路点拨目要求在图中补画一个小正方形补后的图为对称图形，所以关键是观察图中已有的“轴对称分”就要着重画图中余下那一或那两个）小正形的轴对图形．第页【解题过程】有多种画法，答案不唯一，根据轴对称图形的定义，有多种画法，题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图.【案参图下：20.已知如中，AB=AC，AD⊥，垂足为，EF分是、AC的延长线上的点且BE=CF.求证：DE=DF.【知识点】等腰三角形的性质全的三角形的判定【思路点拨】因为DEDF在两不同三角中，证“”只证明eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,即).【解题过程】∵AB=AC，AD⊥，∠∠DAF.又∵，∴AB+BE=AC+CF，∴

在eq\o\ac(△,∵)ADEeq\o\ac(△,和)中AE=AF∠EAD=∠FAD，=eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,≌)(AS)，DE=DF四、解答题(每小题，共40分图，点在eq\o\ac(△,、)ABC的边上，ABACADAE.求：BDCE【知】等角形的性质【思拨】边上高是等角形的常用助线.【解程】一：过点作AF⊥BC，垂足为∵AD∴=，BFCF∴DFCF-EF即方法二不添加线，利用三角的性和形的外理得到等，再eq\o\ac(△,证)ABDeq\o\ac(△,≌)ACE()22.如中，=AC在AC上，在延长线上，且ADAE，连接DE求BC.【知点】等腰三角形的质【思点拨】需求证⊥”，但DEBC不相交，所以易想到延长交BC于F，从而转化求∠DFB=90°∠DFC=90°.【解题过程】延长交F，∵AD，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=D+∠=2∠D.

∵ABAC，=∠，∵∠+∠C∠，∴2(∠B+∠D)=180°∴∠+∠D，∴∠=90°，DEBC，eq\o\ac(△,如)为等边三角形，为BC上为等边角求证：∥；第页11是否在点得⊥？若在，指点的位置；若不存，请说明理由.【知点】边三形的质、行线判定全等角形判定【思点可以看做点旋转到，从而易得到三角形全，继而得到角的相等，再证得线平行；特殊三形中“动点问题，常从特殊点、特殊位置去探索【解题过程】eq\o\ac(△,∵)ABCeq\o\ac(△,、)均等边三形，=AC，APAQ，∠=∠PAQ∠BAP∠∴eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,≌)（SASB=∠=60°∴∠=∠∴AB∥CQ.存在当点为BC的中点时，⊥CQ理由如：点为BC的中点，∴∠CAP=30°.eq\o\ac(△,又)APQ为边三角，CAQ=30°.由(1)知∠ACQ=60°，=90°，即⊥CQ24.如图在eq\o\ac(△,，)ABC中，ABACD是延长上一，ADB，E是上的点，且=DB求证：=+BC【知识】等腰等边）角形的质和判、三角全等的定【思路拨】线段和差的几何题，常短”方法一:如，延长DC到，使=BD连接AF∵ABAC，∴∠=∠ACB，∴∠=∠ACF，∵BDCF∴eq\o\ac(△,，)ABDeq\o\ac(△,≌)ACF，∠=∠D=60°，AD=AFeq\o\ac(△,，)ADF∴AD，DE=，eq\o\ac(△,∴)DBE，DE=DB=∴AE，∵=BCBC+，∴=BEBC.法二如图2延长EB到使=BC连接CP∵∠DEDB，eq\o\ac(△,∴)DBE为等边三角形∴∠PBC∠=60°又BP=BC∴eq\o\ac(△,，)等边三角形，=PC，又=ACAP=AP∴≌eq\o\ac(△,∴)，∠CPA∠BPC=30°∴∠EAP∠-∠BPA=60°-30°=30°，BPA∠，2∴=PE+=+BC三图，作⊥于，易得∠DA=30°，有AD，+DEDB易知eq\o\ac(△,，)DBE等边三角形，故=BE，而=AC，故第页11112=BC，∴=+=+BC.五、解(每题分，共分)图所∠=90°AB=BC，平分∠BAC交BC于E，CD⊥AE的延长于D.求证CD=

【知识】等腰角形的质、角分线的质【思路拨由AE平分∠BAC交BC于⊥”易联想到腰三角的“三线合一”，故延长AB交CD的延线于，即可明.【解题过如图，延交CD的F.∠=90°，∴∠=∠CBF=90°，又∵CD⊥AE，∠BCF∠F，∠BAE+∠F=90°，∴∠BCF∠，∵=BC∴eq\o\ac(△,，)≌△CBF，∴AE=，分∠，∠FAD，∵⊥CF，∠=AFD+∠FAD=90°=∠ACAF=DFCD=CFCDAE.2方先eq\o\ac(△,≌)得=又∵平∠，∴∠C