2014年上海高考文科数学试题详解

2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题〔文科〕详解总分值150分;考试时间120分钟．一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．.函数y=1-2cos2(2X)的最小正周期是.考点：三角恒等变形、三角函数的周期兀解答：因为y=1-2cos2(2X)=—cos4X,所以T=—.难度：容易题 ( 1、-.假设复数z=1+2，，其中i是虚数单位，则z+=•z= .Iz7考点：复数的四则运算，共轭运算 —< 1、一一一,解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即z+=•z=z•z+1=5+1=6Iz7难度：容易题.设常数aeR,函数f(x)=|x-1|+|x2-a|.假设f(2)=1,则f(1)=.考点：解方程、求函数值解答：由f(2)=1na=4nf(1)=3难度：容易题X2y2.假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆—十七=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则其准线方程为：x=-2难度：容易题5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．假设高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为.考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。难度：容易题

6.假设实数满足孙=1,贝ijx2+2尸的最小值为.考点：基本不等式2>2」x22>2」x2-2角牛答：x2+2y2=x2+2—Vx难度：容易题.假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为.用反三角函数值表示〕.考点：:八、、：圆锥的侧面展开图解答:如图：侧面积难度：容易题.假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为.用反三角函数值表示〕.考点：:八、、：圆锥的侧面展开图解答:如图：侧面积=兀rl,底面积=兀r2,可得l=3r，.二a难度:容易题〔结果则切割掉的两个小长方体的.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，体积之和等于考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、体积之和等于考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题-x+a,x<0,1八假设f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为x+—,x>0.x考点：:八、、：解答:函数的单调性及最值x考点：:八、、：解答:函数的单调性及最值x<0时,f(x) =f(0)=a;x>0时,f(x) =f(1)=2;/.a<2即可minmin难度:中^题10*设无穷等比数列｛。｝的公比为q，假设a=lim(a+a+・♦・+a)，则q=>1,舍>1,舍)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"解答：*.・a=aq:.q2+q-1=0/.q=1+"5。叫_ _\o"CurrentDocument"11-q 2 2难度：中等题2 1.假设f(x)=x3-x-2，则满足f(x)<0的x的取值范围是考点：幂函数的单调性解答：，,•f(x)=x3-x—；=Jx2上，・••其定义域为(0,+s),xx2 1 2 1又・・・y=x3是增函数，y=x-2是减函数，，f(x)=x3-x-2是增函数，

又f(1)=0, :.f(Q<0，即为f(x)<f(1)一•.0<x<1.难度：中等题.方程sinx+<3cosx=1在区间［0,2兀］上的所有的解的和等于考点：三角方程解答：sin解答：sinx+<13cosx=1,=…+|=k兀+(—D)6..x=k兀+(-1)k---,-.-x£［0,2兀］,..k=1,263兀11 7■•x——,x——兀，…x+x——兀12 2 6 1 2 3难度：中等题.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是〔结果用最简分数表示〕.考点：组合、概率解答：未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有C3种；未来的连续10天中选择108 1的3天恰好为连续3天的所有情况有8种；则所求概率为———C3 1510难度：中等题.已知曲线C:x--、：4-y2,直线l:x―6.假设对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得AP+AQ—0，则m的取值范围为.考点：圆的方程、能成立问题解答：・.,曲线C:x=-\:4-y2,即C:x2+y2=4(x<0)，:AP+AQ―0，,点A(m,0)即为P、Q中点；设Q(6,y)，:A(m,0),则P(2m-6,-y),1 r [(2m-6>+(-y)2=4 (2m-6)2=4-(-y)2二,点P在曲线C上，，《 'n《 7[2m-6<0 〔2m-6<0[2,3]10<(2m-6)2[2,3]nq nm£|2m-6<0难度：较难题二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设a,b£R，则“a+b>4,,是“a>2且b>2,,的〔〕

(A)充分非必要条件(C)充分必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B难度：容易题(B)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件16.已知互异的复数47满足帅。0,集合｛〃，/?｝= ，历｝,则〃+/;二［ )(A)2考占•P八、、•(B)1(C)0(D)-1解答:(A)充分非必要条件(C)充分必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B难度：容易题(B)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件16.已知互异的复数47满足帅。0,集合｛〃，/?｝= ，历｝,则〃+/;二［ )(A)2考占•P八、、•(B)1(C)0(D)-1解答:难度:17.如图，集合的相等、复数范围内1的立方根⑴假设Q=Q2,b=b2,a=0,a=1.a=0,b=0,[b=1,[b=1,a=l,

b=0,〔舍)；⑵假设”bz,则b=Q2,那么〃=。［舍)1J3ia二一一+ ,1昌a———— ,22TL或1〃1/b=——，2 22 2卜1上百ib=--+——,12 2或〃=1〔舍)或＜综合上述，a+b=-1.选D中等题四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P.(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则AB.AP.(i=1,2,…,7)的不同值的个数为〔i(A)7(B)5(C)3(D)1考点：向量的数量积、向量的投影解答：结合图形，观察AP在AB上的投影即可：AP^、AP、AP在AB上的投影相同;A^^、AP在AB上的投影相同；AP^'、AP在AB上的投影相同；故AB.AP(i=1,2,…,7)的不同值的个数为3,选Ci难度：中等题18.已知P(a1,”与4a2,"是直线y=k+1〔k为常数〕上两个不同的点,则关于Xax+by=1J1的解的情况是〔ax+by=12(A(A)无论k,P，P如何,总是无解⑻无论卜4PP如何,总有唯一解难度：容易题难度：容易题。存在k。存在k,P,勺使之恰有两解(D)存在k,p,勺使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把P(a,b)代入直线y=kx+1得b=ka+1，即—ka+b=1.TOC\o"1-5"\h\z11 1 1 1 1ax+by=1,同理可得—ka+b=1.则x=—k,y=1是方程组《1 1的的解.22 ax+by=1.\o"CurrentDocument"(2 2ax+by=1,假设x=—k,y=1不是方程组|1J1的唯一解，ax+by=1.,2 2ax+by=1,则方程组《1 / 1有无数解则a=a,b=b，与已知矛盾\o"CurrentDocument"ax+by=1. 1 212,2 2ax+by=1,综上，方程组《1J 」总有唯一解，选B.ax+by=1.,2 2难度：较难题三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其外表展开图是三角形PP2P3，如图，求"P2PP的各边长及此三棱锥的体积V.的各边长及此三棱锥的体积V.考点：棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：APPP是边长为4的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体P-ABC〔如123图〕.设顶点P在底面ABC内的投影为O,连接BO,则O为AABC的重心，PO1底面ABC.BO==•AB=233,PO=<4—BO2=,-,V=1-S •PO=空.3P—ABC3AABC 3#．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，难度：较难题难度：较难题第3小题总分值9分．1已知数列｛a｝满足一a<a<3a,neN*,a=1.n3n n+1 n 1〔1〕假设a=2,a=x,a=9，求x的取值范围；2341〔2〕设｛a｝是等比数列，且a= ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应｛a｝n m1000 n的公比；〔3〕假设a,a，…,a成等差数列，求数列a,a，…,a的公差的取值范围.1 2 100 1 2 100考点：等差数列、等比数列与不等式综合解答：2x〔1〕由条件得3<x<6且3<9<3x，解得3<x<6.所以x的取值范围是xe[3,6].1〔2〕设｛a｝的公比为q.由-a<3a，且a=aqn-1丰0，得a>0.TOC\o"1-5"\h\zn 3nn n1 n1 11 13m-1>1000，因为—a<a<3a,所以一<q<3.从而 =aqm-1=qm-1>3m-1>1000，八，、 7104m—8时，｛a八，、 7104m—8时，｛a｝的公比为一.n 10m—8时，q=71000e[3，3].所以，m的最小值为8,〔3〕设数列〔3〕设数列a1,a2,..,a】。。的公差为d.1由-a<a

3n2+d<3a,得--a<d<2a,

n 3n nn=1,