2023届四川省资阳市高中数学高二下期末联考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．乘积可表示为（）A． B． C． D．2．下列四个命题中，真命题的个数是（）①命题：“已知，“”是“”的充分不必要条件”；②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④命题：若，则．A．1 B．2 C．3 D．43．已知复数，若，则实数的值为()A． B．6 C． D．4．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项 B．337项 C．338项 D．1009项5．已知f(x)=2x,x<0a+log2x,x≥0A．-2 B．2 C．0 D．16．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率，乙射中的概率，则目标被击中的概率为（）A．1.7 B．1 C．0.72 D．0.987．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．8．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是（）A． B． C． D．9．设，，则与大小关系为()A． B．C． D．10．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项()A．32 B．24 C．4 D．811．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（）A． B． C． D．12．由曲线和直线，，（）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为()．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)14．已知复数满足，则的取值范围是__________．15．定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解为__________．16．已知边长为的正的顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对于在定义域内的任意，都有，求的取值范围．18．（12分）已知函数.（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.19．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程恰有两个实数根，求a的值.20．（12分）每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I）求实数的值；（Ⅱ）在，，三组中利用分层抽样抽取人，并从抽取的人中随机选出人，对其消费情况进行进一步分析.（i）求每组恰好各被选出人的概率；（ii）设为选出的人中这一组的人数，求随机变量的分布列和数学期望.21．（12分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．22．（10分）二次函数满足,且解集为（1）求的解析式；（2）设,若在上的最小值为,求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可【详解】最大数为，共有个自然数连续相乘根据排列公式可得故选【点睛】本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键2、C【解析】

命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可；命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；【详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝，所以f（4）＝，所以命题③正确；命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题．3、D【解析】

根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案．【详解】，∵，∴，则．故答案选D．【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数．4、A【解析】

根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选A．【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．5、C【解析】

由函数fx=2x,x<0a+log2【详解】∵函数fx∴f（﹣1）＝12∴f[f（﹣1）]=f12解得：a＝0，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．6、D【解析】

先计算没有被击中的概率，再用1减去此概率得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，先计算没有被击中的概率是解题的关键.7、D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.8、D【解析】

利用古典概型、组合的性质直接求解.【详解】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：D【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，组合的性质，属于基础题.9、A【解析】,选A.10、B【解析】

先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出；再由求出，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以，因此，又，所以，令，则，又，所以，因此，所以展开式的通项公式为，由得，因此展开式中常数项为.故选B【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11、B【解析】

首先过作，过作（为准线），，易得，.根据直线：与抛物线联立得到，根据焦点弦性质得到，结合已知即可得到，再计算即可.【详解】如图所示：过作，过作（为准线），.因为，设，则，.所以.在中，，所以.则.，直线为.，.所以，.在中，.所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.12、C【解析】

利用定积分求出阴影部分区域面积关于的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果．【详解】设阴影部分区域的面积为，则，，其中，令，得，当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且最小值为，因此，阴影部分区域面积的最小值为，故选C．【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②④【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④.点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的含义，且正确区分两者的不同.14、【解析】因为，则复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上．表示复数对应的点与点的距离，故.15、【解析】

构造函数，通过导数可知在上单调递减；根据奇偶性定义可证得为奇函数，可得在上单调递减；根据可求得的解集；根据可求得的解集，结合可求得最终结果.【详解】设，，则当时，在上单调递减为奇函数，为定义在上的奇函数在上单调递减又，当时，；当时，又时，时，的解集为：当时，综上所述，的解集为：本题正确结果：【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，关键是能够通过构造函数的方式来利用所构造函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集，是对函数性质应用的综合考查.16、【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=1，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．详解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，设BB′=a，CC′=b，则A′B′1=4﹣a1，A′C′1=4﹣b1，设B′C′=c，则有，整理得：ab=1．∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，tanφ=，在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值1，∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．当a减小时，tanφ增大，若a≤1，则b≥1，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，∴a＞1，此时A′B′＜，即tanφ．∴tanφ的范围为．即的最小值为故答案为：．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，求出导数，在定义域内分别解出不等式和，可得出函数的单调减区间和增区间；（2）由，利用参变量分离得，构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最大值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，函数的定义域为，，当时，，当时，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由，得，构造函数，则.，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，常用分类讨论法与参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.18、(1)(2)【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，⇔f′（x）≥1在（，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．试题解析：（1）若函数在上是增函数，则在上恒成立，而，即在上恒成立，即.（2）当时，.令，得.当时，，当时，，故是函数在上唯一的极小值点，故.又，，故.点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于1．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）19、（1）（2）【解析】

（1）根据已知求得，可求得曲线在处的切线方程;（2）由方程恰有两个实数根，进行参变分离得，构造函数，对所构造的函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性和图象趋势,极值,从而可得出a的值.【详解】（1）函数，，，曲线在处的切线方程为，即.（2）方程恰有两个实数根，即恰有两个实数根，∵，所以可得，显然时，上式不成立；设，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；，，又当时，，当时，，，得.【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的根的情况求参数的值,解决的关键在于进行参变分离,构造合适的函数,并对所构造的函数求导,分析其导函数的正负,得所构造的函数的单调性和图象趋势和极值,属于常考题,难度题.20、（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）见解析【解析】

（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出；（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量的所有可能取值为.【详解】解（Ⅰ）由题意，得，解得.（Ⅱ）按照分层抽样，，，三组抽取人数分别为，，.（ⅰ）每组恰好各被选出人的概率为.（ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，则的分布列为【点睛】统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.21、（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直