人教课标实验版八年级上册第十一章全等三角形1三角形全等的判定全国一等奖

典例分析2（三角形全等的判定）【例1】已知：如图，AB＝CD，BC＝AD求证：AB∥CD[证明]连结BD∴△ABD≌△CDB(SSS)∴∠1＝∠2∴AB∥CD[说明]当题目中没有可以证明的全等三角形时，可适当添加辅助线，构造出全等三角形．【例2】如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E、F求证：∠E＝∠F[分析]欲证∠E＝∠F，有两条思路，一是证明DE∥BF，可得内错角相等；二是证明∠E、∠F所在的两个三角形全等，得对应角相等，那么考虑题目所给的已知条件，直接证明∠E、∠F所在的两个三角形有△EOD和△FOB，还有另外两对三角形，证全等的条件不具备故只能考虑证明DE∥BF，需要证明这两条直线被第三条直线所截构成的同位角或内错角相等或同旁内角互补，而图中只有相应的内错角，根据所给的条件不难推出∠ADB＝∠CBD．[证明]在△ABD和△CBD中∵AB＝CD(已知)AD＝CB(已知)DB＝BD(公共边)∴△ABD≌△CBD(SSS)∴∠ADB＝∠CBD(全等三角形对应角相等)∴DE∥EF∴∠E＝∠F【例3】已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．[证明]连结AC、AD．在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD，又∵F是CD的中点，CF＝DF，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF(SSS)．∴∠AFC＝∠AFD．∴∠AFC＝90°(平角的一半)．即AF⊥CD(垂直定义)．[说明]添辅助线是证几何题中常用的手法，此题通过连结两点得线段，构造出与这两条线段有关的两个三角形，使已知条件和所需证明的“结论”(或“需知”)都与这两个三角形有联系，从而使问题顺利解决．【例4】如图：D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC求∠BPD度数[证明]连结DC∴△BPD≌△CBD(SAS)∴∠P＝∠BCD∴△ADC≌△BDC(SSS)∴∠P＝30°[说明]有些题目通过证一次三角形全等还不能得到结果时，可由这对三角形全等得到所需条件，再证一次三角形全等．【例5】如图AB=DE，CD=FA，BF=CE，AF//CD，求证：①BC=EF；②BC//EF．[分析]欲证BC=EF，BC//EF，需连结FC，构造出两个三角形，并使其全等．[证明]在△ABF与△DEC中∴△ABF≌△DEC(SSS)∴∠AFB=∠DCE(全等三角形对应角相等)∵AF//CD(已知)∴∠AFC=∠DCF(两直线平行，内错角相等)∴∠BFC=∠ECF(等式性质)在△BFC与△ECF中∴△BFC≌△ECF(SAS)∴BC=EF(全等三角形对应边相等)∴∠BCF=∠EFC(全等三角形对应角相等)∴BC//EF(内错角相等，两直线平行)【例6】如图AB、CD相交于O，且AB=CD，AD=CB．求证：OB＝OD[分析]要证OB=OD，只要证明△AOD≌△COB，而已知条件只有“一边和一角对应相等”的条件，还缺一个条件，所以要先证明∠A=∠C(或∠D=∠B)，需添辅助线，构造两个三角形全等来完成．[证明]连结BD(或AC)在△ADB与△CBD中∴△ADB≌△CBD(SSS)∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等)在△AOD与△COB中∴△AOD≌△COB(AAS)∴OD=OB(全等三角形对应边相等)【例7】如图，AB=CD，AD=BC，经过AC的中点O的直线交AD延长线于E，交CB延长线于F．求证：OE=OF．[分析]要证明OE=OF，只要证明△OAE≌△OCF，已知条件只给出了“一边和一角对应相等”两个条件，尚缺一个条件，所以只要先证明∠DAC=∠BCA，这可由△ADC≌△CBA而得．[证明]在△ADC与△CBA中∴△ADC≌△CBA(SSS)∴∠DAC=∠BCA(全等三角形对应角相等)在△AOE与△COF中∴△AOE≌△COF(ASA)∴OE=OF(全等三角形对应边相等)【例8】已知如图，OA=OB，AC=BD求证：OE平分∠AOB[分析]欲证OE平分∠AOB，关键证∠1=∠2，而∠1与∠2分别在△AOE和△BOE中，同时还在△OEC和△OED中，只需证明其中一对三角形全等即可，如果条件不够，则寻找可以为它们提供所需条件的“前一次全等”，这里的“前一次全等”应本着与前面所找的两对三角形位置相关的三角形来找，这样可以从△AOD与△BOC入手．[证明]∵OA=OB，AC=BD∴OC＝OD又∵∠AOB=∠BOA∴△AOD≌△BOC(SAS)∴∠3=∠4又∵∠5=∠6，AC=BD∴△AEC≌△BED(AAS)∴CE=DE在△OCE和△ODE中∵OC＝ODCE=DE，OE=OE∴△OCE≌△ODE(SSS)∴∠I=∠2∴OE平分∠AOB[说明]当由于△AEC≌△BED而推出∠3=∠4，OC=OD并有公共边OE=OE时，不能用△OCE≌△ODE，因为此时条件是“边边角”没有这一判定条件．【例9】求证：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．已知如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B，AC=A'C'，AD、A′D′分别为BC和B'C'上的中线，且AD=A'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'[证明]延长AD到E，使DE=AD，连结BE，延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'∵AD=A'D'，∴AE=A'E'∴△ADC≌△EDB(SAS)∴AC=BE，∠E=∠2同理A′C′=B′E′，∠E′=∠3∵AC=A′C′，∴BE=B′E′