人教B版-必修三-三角函数-三角函数的性质与图像-正弦型函数的性质与图像“衡水赛”一等奖

《正弦型函数的性质与图像》学案【学习目标】1、能够应用整体代换思想求解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性、奇偶性、对称性、周期性；2、能够应用逻辑思维能力、数形结合思想求解有关正弦型函数问题。【重点、难点】整体代换思想、数形结合思想的应用。【新知探究】探究一：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性导入：（1）正弦函数y=sinx的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）sin(-x)=;(3)函数f(x)的单调性与函数-f(x)，的单调性；探究确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)单调区间的方法是：1、当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，视为X.（1）若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调增区间，则得到2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，从中解出x的取值区间，就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的增区间．（2）若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调减区间，则得到2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，从中解出x的取值区间，就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的减区间．2、当ω<0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．例1、请同学们根据上面介绍的方法，求出①函数的单调递减区间？②的单调递增区间．【规律总结】确定函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的基本思想是思想，即将ωx＋φ视为一个整体．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为再求解．有时还应兼顾函数的．探究二：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的奇偶性导入：（1）函数定义域关于原点对称，若满足f(-x)=，则函数为偶函数，若满足f(-x)=，则函数为奇函数；（2）奇函数图象关于对称；偶函数图象关于轴对称。（3）三角函数中，奇函数的是，，偶函数是.已知，判断函数y=2sinx，y=-2sin3x，y=-2sin的奇偶性，并总结函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的奇偶性的条件。【拓展】根据以上结论归纳函数y＝Acos(ωx＋φ)奇偶性满足的条件。探究三：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的对称性.导入：函数y=sinx的对称轴方程，对称中心为，即函数在对称轴处有，函数的对称中心即为函数图象.探究求解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性的常用方法：1、关于判断函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性有以下结论：①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当.②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当或③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的．应用整体代换思想求解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性的方法：求对称轴方程：令，即对称轴方程为x=，k∈Z；求解对称中心：令，解得对称中心为，k∈Z.例3、（1）函数y＝sin的对称中心是，对称轴方程是.（2）已知函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于点中心对称，求a的值．探究四：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期性.证明:eq\f(2π,|ω|)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．例4、判断函数y＝|sin2x|的周期性.【典例精析】例1.求函数y＝1＋的单调减区间．【变式训练】1.求函数y＝log(sin2x)的增区间．2.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.例2.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【变式训练】若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）C.D.例3.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值为（）【变式训练】已知函数在处取得最大值，则函数的图像（）关于点对称B.关于对称C.关于直线对称D.关于直线对称例4.（1）为了使函数在区间[0,2]上至少出现50次最大值，则的最小值为（）A.B.C.D.（2）已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是.【变式训练】设，函数的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则的最小值为（）B.C.【当堂训练】1．“φ＝”是“函数y=sin（x＋φ）为偶函数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必