空间向量及其加减数乘运算

空间向量及其加减数乘运算第1页，共51页，2023年，2月20日，星期二复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD第2页，共51页，2023年，2月20日，星期二2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的数乘a第3页，共51页，2023年，2月20日，星期二3、平面向量的加法、减法与数乘运算律加法交换律：加法结合律：数乘分配律：第4页，共51页，2023年，2月20日，星期二已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……平面中存在向量,空间中是否也有向量?第5页，共51页，2023年，2月20日，星期二你能类比平面向量的定义、表示以及运算法则推出空间向量的定义、表示以及运算法则.第6页，共51页，2023年，2月20日，星期二平面向量概念加法减法运算运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量第7页，共51页，2023年，2月20日，星期二起点终点第8页，共51页，2023年，2月20日，星期二空间向量与平面向量没有本质的区别！零向量单位向量相等向量相反向量长度为零长度为1方向相同，长度相等方向相反，长度相等第9页，共51页，2023年，2月20日，星期二找一找、说一说相等向量？相反向量？单位向量？ABCDA1B1C1D1第10页，共51页，2023年，2月20日，星期二平面向量概念加法减法运算运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量第11页，共51页，2023年，2月20日，星期二ababab+OABbCa(k>0)ka(k<0)k空间向量的数乘空间向量的加减法第12页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-A1B1C1D1第13页，共51页，2023年，2月20日，星期二平面向量概念加法减法运算运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？具有大小和方向的量数乘分配律加法交换律数乘分配律第14页，共51页，2023年，2月20日，星期二加法结合律：abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+第15页，共51页，2023年，2月20日，星期二推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。第16页，共51页，2023年，2月20日，星期二做一做、想一想ABCDA1B1C1D1第17页，共51页，2023年，2月20日，星期二变式一ABCDA1B1C1D1第18页，共51页，2023年，2月20日，星期二变式二ABCDA1B1C1D1EO第19页，共51页，2023年，2月20日，星期二例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1第20页，共51页，2023年，2月20日，星期二例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1GM

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量第21页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第22页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第23页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第24页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第25页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简第26页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABMCGD(2)原式练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简第27页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABCDDCBA练习2在立方体AC1中,点E是面A’C’

的中心,求下列各式中的x,y.E第28页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.第29页，共51页，2023年，2月20日，星期二ABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’

的中心,求下列各式中的x,y.第30页，共51页，2023年，2月20日，星期二平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零第31页，共51页，2023年，2月20日，星期二作业第32页，共51页，2023年，2月20日，星期二3.1.2空间向量的数乘运算第33页，共51页，2023年，2月20日，星期二一、空间向量的数乘：

2、空间向量的数乘的性质（1）当时，与同向（2）当时，与反向1、定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘（3）当时，第34页，共51页，2023年，2月20日，星期二2、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：（1）数乘分配律1：（2）数乘分配律2：第35页，共51页，2023年，2月20日，星期二1、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量二、空间中的共线向量

（或平行向量）第36页，共51页，2023年，2月20日，星期二2、空间中共线向量的性质

（1）共线（2）非零共线向量的传递性：（3）零向量与任一向量共线，第37页，共51页，2023年，2月20日，星期二（4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量有且只有一个实数，使思考1：为什么要强调思考2：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线第38页，共51页，2023年，2月20日，星期二OABPa若P为A,B中点,则向量参数表示式推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.若则A、B、P三点共线。第39页，共51页，2023年，2月20日，星期二空间向量的基本定理——共面向量定理共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。3—1—2第40页，共51页，2023年，2月20日，星期二1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与

e1,e2有什么关系?

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使a＝a1

e1

＋a2

e22、平面向量基本定理复习：第41页，共51页，2023年，2月20日，星期二

（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使c＝xa＋yb3、共面向量定理：

如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb证明：（2）充分性：如果c满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面BACOc第42页，共51页，2023年，2月20日，星期二共面向量定理的剖析

如果两个向量a，b不共线,★

向量c与向量a，b共面存在唯一的一对实数x，y，使

c＝xa＋yb★

c＝xa＋yb向量c与向量a，b共面(性质)(判定)第43页，共51页，2023年，2月20日，星期二第44页，共51页，2023年，2月20日，星期二得证.为什么?第45页，共51页，2023年，2月20日，星期二※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数，使（2）对空间任意点O，存在实数t,使特别地，当t=1/2时，此时，点C恰为线段AB的中点第46页，共51页，2023年，2月20日，星期二例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：第47页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,

,

,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

第48页，共51页，2023年，2月20日，星期二例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量求证