四川省普通高中2023年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D．在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好2．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．是第四象限角，,，则（）A． B． C． D．4．命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为，类比可得在四面体中，顶点与所对面重心的连线所得四线段交于一点，且分线段比为（）A． B． C． D．5．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A．8B．6C．14D．486．数学归纳法证明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．17．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．8．的展开式中各项系数之和为（）A． B．16 C．1 D．09．在中，内角所对应的边分别为，且，若，则边的最小值为（）A． B． C． D．10．定义在上的函数，若对于任意都有且则不等式的解集是（）A． B． C． D．11．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在x+x+12n+1n∈Z14．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为___.15．若函数的定义域为，则实数的取值范围为．16．命题“∈R，＋2+2≤0”的否定是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知（其中且，是自然对数的底）.（1）当，时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若且关于的不等式在上恒成立，求证：.18．（12分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．19．（12分）设函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围；(Ⅲ)当时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．20．（12分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.①②③（是虚数单位）（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.21．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知．（1）求和的值；（2）求式子的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.2、D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，

∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；

在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；

在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；

在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．3、D【解析】

根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.4、C【解析】

如图，在中，可证明，且与交于O，同理可证其余顶点与对面重心的连线交于O，即得解.【详解】如图在四面体中，设是的重心，连接并延长交CD于E，连接，则经过，在中，，且与交于O，同理，其余顶点与对面重心的连线交于O，也满足比例关系.故选：C【点睛】本题考查了三角形和四面体性质的类比推理，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.5、D【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.方法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位有2种选择.根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.6、D【解析】

求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n=k时，左边的代数式为1k+1当n=k+1时，左边的代数式为1k+2故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：12k+1【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于中档题.7、C【解析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.8、C【解析】

令，由此求得二项式的展开式中各项系数之和.【详解】令，得各项系数之和为．故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和的求法，属于基础题.9、D【解析】

根据由正弦定理可得，由余弦定理可得，利用基本不等式求出，求出边的最小值．【详解】根据由正弦定理可得．

由余弦定理可得．．即．，

故边的最小值为，

故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，解三角形，属于中档题．10、D【解析】

令,求导后根据题意知道在上单调递增，再求出，即可找到不等式的解集。【详解】令则所以在上单调递增，又所以的解集故选D【点睛】本题考查利用导数解不等式，属于中档题。11、D【解析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】则故选：D【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.12、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

令P=x+Q=x-由二项式定理，知P、Q中的x的整数次幂项之和相同，记作S（x），非整数次幂项之和互为相反数.故2S=令.则所求的系数和为1214、【解析】

转化为，由于，即可得解.【详解】又由于即故答案为：【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.15、【解析】试题分析：要使函数的定义域为，需满足恒成立．当时，显然成立；当时，即．综合以上两种情况得．考点：不等式恒成立问题．16、"，x2＋2x+2>0；【解析】

解：因为命题“∈R，＋2+2≤0”的否定是"，x2＋2x+2>0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）当或时，最小值为，当时，最小值为;（3）见解析.【解析】

（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再写出切点坐标，就可以写出切线方程．（2）当时，，求导得单调性时需要分类讨论,,，再求最值．（3）将恒成立问题转化为在上恒成立，设，，求出，再令设，，求最大值小于，进而得出结论．【详解】解：（1），时，，，，，函数在处的切线方程为，即.（2）当时，，，令，解得或，当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；③当时，即时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，．综上所述：当或时，最小值为；当时，最小值为.（3）证明：由题意知，当时，在上恒成立，在上恒成立，设，，，在上恒成立，在上单调递减，，，存在使得，即，因为，所以.当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，设，，，在恒成立，在上单调递增，，在单调递增，，．【点睛】本题考查导数的综合应用，考查了最值问题，考查了不等式恒成立问题.若要证明，一般地，只需说明即可；若要证明恒成立，一般只需说明即可，即将不等式问题转化为最值问题.18、（1）详见解析（2）（3）不存在【解析】

（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.【详解】解：（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以平面．（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面平面，，，所以，所以如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．所以，．设平面的法向量为则即令，则，，所以平面的一个法向量为则．所以二面角的余弦值．（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：解法一：设平面的法向量为，则即令，则，，所以．因为，所以平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面．解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：假设线段上存在点，使得平面，设，其中．设，则有，所以，，，从而，所以．因为平面，所以．所以有，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段上不存在点，使得平面．【点睛】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.19、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值；（Ⅱ）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可；（Ⅲ）将代入函数的解析式，利用导数研究该函数在区间上的单调性，将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围．【详解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.当x变化时，的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘极小↗极大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当时，取得极小值，；当时，取得极大值，；（Ⅱ），其对称轴为.因为，所以.所以在区间上是减函数．当时，取得最大值，；当时，取得最小值，.于是有即.又因为，所以.（Ⅲ）当时，.，由，即，解得，即在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．要使在[1,3]上恒有两个相异实根，即在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有即解得.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数求解函数不等式恒成立以及利用导数研究函数的零点，解题时注意这些问题的等价转化，在处理零点问题时，可充分利用图象来理解，考查化归与转化、数形结合的数学思想，属于中等题．20、（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解析】

（Ⅰ）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【详解】