菱形知识讲解

菱形知识讲解第第2页共13页菱形【学习目标】理解菱形的概念.掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】（菱形）点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：菱形的四条边都相等；角线平分一组对角.（角线所在的直线，对称轴的交点就是对称中心.1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基第4页共13页第第10页共13页∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH= ，BH=1．∴GH=2，Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG= ．菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：1（2015•温州模拟中，点EAB上的一点，连接DEACOBO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BC≌△DC（SA，，∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）例1】【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，周长为8，则此菱形的高等于( )．A.12

B.4 C.1 D.2【答案】C；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于1×2＝1.2类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平，四边形DECF试说明理由．2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AD∥BC知四边形DECF再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵CDACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：ABCAD，分别交ABE，交ACFAEDF【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EFAD，∴△AOFDOFEF∴∠ODF＝∠OAF，又∵ADBAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵AEDFADEF∴AEDF3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BCD，CEACDADGABE，EF⊥BCF．求证：四边形AEFG是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，ADAE＝EF证四边形AEFGAEFGAG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EFAG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEGFEGAE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CDBDAAG∥DBCB(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCDAB∥CD，AB＝CD∵E、FAB、CD∴DF＝1DC，BE＝1AB2 2∴DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC又∵FCD∴BF＝1DC＝DF2又∵四边形DEBF∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用40.3m0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、HBC、CDDA、AB40.3m0.2m的矩这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?相同的菱形?【答案与解析】4.2m2.8m0.3m0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可1414(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱