三角形三边关系“以不变应万变”论文

三角形三边关系“以不变应万变”摘要：初中阶段，学习了三角形三边关系定理以后,我们知道:三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.三角形三边之间的这一关系,在解题中有着较为重要的应用：判断三条线段能否围成三角形；与不等式结合求字母的取值范围；化简含有绝对值的式子等。面对千变万化的题型，我们只要把握问题的本质，以不变应万变，都能迎刃而解。关键词：初中数学，三角形，三边关系，定理应用，化归思想一、判断三条线段能否组成三角形已知三条线段的长分别为a,b,c,判断能否由它们组成三角形。我们不妨设a≤b≤c,如果能围成三角形，则由“三角形任意两边之和大于第三边”得到三个不等式：①a+b>c,②a+c>b,③b+c>a。因为a≤b≤c，所以不等式②和不等式③恒成立。我们只需判断不等式①是否成立，如果不等式①成立，则能组成三角形，反之则不行。问题：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，9；（2）6，7，13；（3）8，9，16

解（1）不能组成，因为3+4<9.（2）不能组成，因为6+7=13.（3）能组成，因为8+9>16.所以我们在用“三角形三边关系”解决这类问题时，不需要判断3次，只需将两条较小的线段之和与最大线段比较，如果大于，则能组成三角形，反之则不能。当然，我们具体教学时可借助木棒和同学们一起试验，以增强同学们的直观认识。二、与不等式结合求字母的取值范围 1.三角形的一边是用字母表示的式子，求这个字母的取值范围（即已知三角形两边的长，求第三边长的取值范围）问题1：已知三角形ABC的两边长分别为3和9，求第三边c的取值范围。 这类问题我们可以直接由“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到9-3<c<9+3,即6<c<12.但我们老师在讲授时还可以帮助同学们从以下两个方面进行理解。第一，直观感受。如图1，线段OA的长度为b，线段OB的长度为a，我们将线段OA固定不动，将线段OB绕点O旋转一周，旋转过程中，有两种情形不存在三角形ABO，第一种情形是点B落在线段OA上，此时AB最短，最短为b-a；第二种情形是点B落在线段AO的延长线上，此时AB最长，最长为b+a；其它任意位置都存在三角形ABO。所以，已知三角形ABO的两边长分别为a,b,则第三边长c的取值范围是b-a<c<b+a(假设b>a)。图1第二，理论分析。 问题：已知三角形ABC的两边长分别为a和b（假设a≤b），求第三边长c的取值范围。我们根据“三角形任意两边之和大于第三边”得到三个不等式：①a+b>c,②a+c>b,③b+c>a。 由不等式②和不等式③变形得到：c>b-a,c>a-b.再结合不等式①得到c的取值范围为：b-a<c<b+a。 那么，今后我们遇到“已知三角形两边的长，求第三边长的取值范围”就可以直接套用上面的结论了。2.三角形的两边是用字母表示的式子，求这个字母的取值范围事物都是不断发展变化的，有些问题并不是像第1种那么简单，我们继续分析下面的问题。问题2：已知三角形ABC中，AB=x,BC=6-x,AC=4,求x的取值范围。 很多同学在遇到这类问题时，丈二和尚摸不着头脑，没法下手。或者盲目套用第1种情形的结论，会出现以下几种答案：

(1)|(6-x)-4|<x<(6-x)+4;

(2)|x-4|<6-x<x+4;

(3)|(6-x)-x|<4<(6-x)+x;

真正计算起来复杂不已，而且写完心里还没底。那到底应该怎么办呢？ 首先，这类问题我们不知道AB、AC、BC的大小关系，不能盲目套用前面的模式。遇到这类问题，大家也不用慌张，我们还是把它转化为“三角形任意两边之和大于第三边”来解决。 解：由“三角形任意两边之和大于第三边”得到：①x+(6-x)>4,②x+4>6-x,③(6-x)+4>x。不等式①恒成立，只需求出不等式②和不等式③解集的公共部分即可。答案为：1<x<5。 我们发现“三角形任意两边之差小于第三边”实际上是由“三角形任意两边之和大于第三边”恒等变形得到的，所以解决这类问题时，我们都可以转化为“三角形任意两边之和大于第三边”来解决。3.三角形的三边均是用字母表示的式子，求这个字母的取值范围古有“关云长过五关斩六将”，我们继续探究下面的情形。问题3：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且b=2a-1,c=a+5,求a的取值范围。弄清前面问题2的实质后，遇到问题3我们不会像无头苍蝇一样乱飞乱撞了。 这类问题我们同样不知道a、b、c的大小关系，但易知c>a,所以a不可能是最长的边。我们只需列两个不等式：①a+b>c,②a+c>b。即①a+（2a-1）>a+5,②a+(a+5)>2a-1.解得a>3。通过以上的探究我们发现，很多三角形三边关系的问题都可以转化为“三角形任意两边之和大于第三边”来解决。我们对“三角形三边关系”就有了一个系统的认识，这