《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学高三第一轮学案和测评复习课件

?正弦定理和余弦定理?新课程高中数学高三第一轮学案和测评(cèpínɡ)复习课件第一页，共40页。2.三角形常用面积公式(1)S=ah(h表示三角形长为a的边上的高）.(2)S=ah=acsinB=bcsinA=absinC.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径）.3.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即

或第二页，共40页。典例分析(fēnxī)题型一正弦定理(dìnglǐ)和余弦定理(dìnglǐ)的应用分析两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦(zhèngxián)定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.4.勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为：,,.【例1】在△ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A、C和c.第三页，共40页。解方法(fāngfǎ)一:∵B=45°<90°,且b<a,∴问题有两解.由正弦定理，得sinA=∴A=60°或A=120°.(1)当A=60°时，C=180°-A-B=75°,∴c=(2)当A=120°时，C=180°-A-B=15°,∴c=故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.第四页，共40页。方法二:由余弦定理有即整理得解得c=或c=.又cosA=①当a=,b=,c=时,由①可得cosA=-,故A=120°;当a=,b=,c=时，由①可得cosA=,故A=60°.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.第五页，共40页。学后反思对于解三角形，假设两边和其中(qízhōng)一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，那么对角进行分类讨论；用余弦定理，那么对边进行分类讨论.举一反三(jǔyīfǎnsān)1.在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦(zhèngxián)值.解析:∵a>c>b,∴角A为最大角.由余弦定理有cosA=∴A=120°，∴sinA=,再根据正弦定理，有∴sinC=第六页，共40页。题型二三角形的面积(miànjī)问题分析三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=60°,只要再能求出边a,问题就解决了，结合条件(tiáojiàn)求边a是解决问题的关键.【例2】在△ABC中，A=60°,b=1,其面积为,则△ABC外接圆的直径是.解由题意知，=bcsinA,所以c=4.由余弦定理知：a=再由正弦定理2R=即△ABC外接圆的直径是.第七页，共40页。举一反三(jǔyīfǎnsān)学后反思要注意正弦定理的统一形式：(其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,或等形式.2.（2009·北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B=,cosA=,b=.(1)求sinC的值；（2）求△ABC的面积.第八页，共40页。解析〔1〕∵角A、B、C为△ABC的内角，且B=，cosA=,∴(2)由〔1〕知.又∵B=,b=,∴在△ABC中，由正弦定理(dìnglǐ)得.于是△ABC的面积S=12absinC=.题型三判断(pànduàn)三角形的形状【例3】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断(pànduàn)三角形的形状.第九页，共40页。分析判定三角形的类型(lèixíng)，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型(lèixíng).解方法一:由正弦定理，设=k>0，∴a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入已知条件得ksinAcosA+ksinBcosB=ksinCcosC,即sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC.根据二倍角公式得sin2A+sin2B=sin2C,sin［(A+B)+(A-B)］+sin［(A+B)-(A-B)］=2sinCcosC,∴2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC.∵A+B+C=πA+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC≠0,∴cos(A-B)=cosC,∴cos(A-B)+cos(A+B)=0,∴2cosAcosB=0cosA=0或cosB=0,即A=90°或B=90°,∴△ABC是直角三角形.第十页，共40页。方法二:由余弦定理知cosA=cosB=cosC=代入已知条件得a·+b·+c·=0,通分得展开整理得即或.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.学后反思（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asinA+bsinB=csinC第十一页，共40页。举一反三(jǔyīfǎnsān)答案(dáàn)：C3.△ABC中，,判断三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：由正弦定理得,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.又因为A,B∈(0,π),所以A=B或A+B=90°.第十二页，共40页。题型四正、余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)的综合应用【例4】(12分)△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求角A的大小；（2）若a=,求bc的最大值；（3）求的值.分析（1）由的结构形式，可联想余弦定理，求出cosA,进而求出A的值.（2）由a=及,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.第十三页，共40页。解

(1)∵cosA=……………1′∴A=120°…………………..2′(2)由a=,得…….3′又∵≥2bc(当且仅当c=b时取等号）,∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号），………………..4′即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1…..6′(3)由正弦定理，得…….7′∴

……………..12′第十四页，共40页。学后反思(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在〔0，π〕上的单调性求角.(2)正、余弦定理均能实现边角转化，在解题时一定要注意根据条件(tiáojiàn)的形式，选择转化方式.举一反三(jǔyīfǎnsān)4.在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件和,求A和tanB的值.解析：由余弦定理cosA=,因此A=60°.在△ABC中，C=180-A-B=120°-B.由已知条件，应用正弦定理,得解得cotB=2,从而tanB=.第十五页，共40页。易错警示(jǐnɡshì)【例】在△ABC中，若C=3B,求的取值范围.错解∵错解分析上面解答忽视了隐含条件B的范围.∵C=3B,A=π-4B>0,即0<B<,∴0<sinB≤1.第十六页，共40页。考点(kǎodiǎn)演练正解∵A+B+C=π,∴C=3B，∴A=π-4B>0，∴0<B<,∴0<<.又∵∴1<3-4<3，∴1<<3.(2010·东营模拟）在△ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方程的两根且2cos(A+B)=1,则AB=

.解析(jiěxī):设AB=c,第十七页，共40页。11.在△ABC中，sinC=2sin(B+C)cosB,判断(pànduàn)△ABC的形状.解析：方法一：由sinC=2sin(B+C)cosB,得sinC=2sinA·cosB.再结合正、余弦定理，得,整理得,所以△ABC是等腰三角形.方法二：由sinC=2sinAcosB,得sin(A+B)=2sinAcosB,整理得sin(A-B)=0,从而(cóngér)A=B,所以△ABC是等腰三角形.12.(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足,AB·AC=3.(1)求△ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.第十八页，共40页。解析(jiěxī)：〔1〕∵,∴.由AB·AC=3，得bccosA=3,∴bc=5.∴S△ABC=bcsinA=2.(2)由〔1〕知，bc=5,又b+c=6,∴b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理，得,∴a=.第十九页，共40页。第八节正、余弦定理的应用(yìngyòng)举例根底(gēndǐ)梳理1.解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.解三角形的类型（1）已知三边求三角，用余弦定理；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，用余弦定理；（3）已知两角和任一边，求其他两边和一角，用正弦定理；（4）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用正弦定理.第二十页，共40页。典例分析(fēnxī)题型一正、余玄定理的综合(zōnghé)应用【例1】如图，在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=且AD=BD，求△ABC的面积(miànjī).分析解答此题可先由余弦定理求出CD的长，再利用正弦定理求∠C的正弦值，最后根据S=BC·AC·sinC求解△ABC的面积解设CD=x，则AD=BD=5-x，在△CAD中，由余弦定理可知：,解得x=1.在△CAD中，由正弦定理可知：第二十一页，共40页。∴S△，∴三角形ABC的面积为.学后反思(1)求三角形的面积时，要充分挖掘题目中的条件将其转化为求两边(liǎngbiān)及夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.〔2〕由α+β=180°，得cosα=-cosβ和sinα=sinβ，这是解三角形中经常用到的等量关系.第二十二页，共40页。举一反三(jǔyīfǎnsān)如图，在四边形ABCD中，BC=a,DC=2a,四个内角(nèijiǎo)A、B、C、D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长.解析：设四个内角A、B、C、D的大小为3x、7x、4x、10x(x>0),由四边形内角和为360°，得3x+7x+4x+10x=360°,∴x=15°,

即A=45°,B=105°,C=60°,D=150°.连接BD，在△BCD中，由余弦定理，得.此时，,∴△BCD为直角三角形，且∠BDC=30°，∴∠ADB=150°-30°=120°.在△ABD中，∵,第二十三页，共40页。题型二构造(gòuzào)三角形模型解应用题分析“最快截住〞是指“机器人从点B沿直线(zhíxiàn)运动时和足球在直线(zhíxiàn)AD上的点C处相遇〞，此时CD=2BC，将问题归结到△ABC中，用余弦定理解决.【例2】(12分)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示，已知AB=dm,AD=17dm,∠BAC=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？∴第二十四页，共40页。学后反思此题中机器人在从点B开始运动时必须选择一个方向，在这个方向上沿直线运动恰好(qiàhǎo)与足球在直线AD上的点C相遇，这样才能到达“最快截住〞的目的，否那么就不是“最快截住〞.这样就可以把问题归结到一个三角形中，用正、余弦定理来解决问题.解设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC=xdm,由题意知，CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得，-2AB·AC·cosA，即-2××(17-2x)·cos45°.解得=5dm,=dm，∴AC=17-2x=7dm或-dm(不合题意，舍去).所以该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.第二十五页，共40页。举一反三(jǔyīfǎnsān)2.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里.问：乙船每小时航行多少海里？解析：方法一：如图，连接，由已知

,∴.又=180°-120°=60°,∴△是等边三角形，∴由已知,=20,∠=105°-60°=45°,在△1中，由余弦定理得第二十六页，共40页。因此，乙船的速度为×60=（海里/小时）.方法二:如图，连接,由已知=20,∠=105°,cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=在△中，由余弦定理，得第二十七页，共40页。由正弦定理得,即∠=60°-45°=15°,cos15°=sin105°=在△中，由已知由余弦定理得∴乙船的速度为（海里/小时）.第二十八页，共40页。【例3】(12分)某观测站C在A城的南偏西20°的方向(fāngxiàng).由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达A城？分析(fēnxī)此题为解斜三角形的应用问题，要求这人要走多少路可到达A城，也就是要求AD的长，在△ADC中，CD=21千米，∠CAD=60°，只需再求出一个量即可.解设∠ACD=α,∠CDB=β,在△CDB中，由余弦定理得：

,……4′则sinβ=,………5′而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°=,………….7′在△ADC中，由正弦定理得第二十九页，共40页。∴AD==15(千米(qiānmǐ))……………11′答：这个(zhège)人再走15千米就可到达A城………………12′学后反思测量距离问题(wèntí)的解题思路是把所要求的问题(wèntí)转化到三角形中，然后利用正弦定理、余弦定理求解.常见错误：〔1〕读不懂题意，从而不能准确作图、建模；〔2〕算法不简练，算式不工整，计算不准确；〔3〕有单位时漏单位或不作答.3.（2009·辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点与D点的仰角均为60°，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，≈1.414,≈2.449）.举一反三第三十页，共40页。解析：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，∴CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴CB是△CAD底边(dǐbiān)AD的中垂线，∴BD=BA，即B、D间的距离与A、B间的距离相等.在△ABC中,因此,BD=≈0.33〔km〕.∴B、D的距离约为0.33km.第三十一页，共40页。题型三三角形与函数的综合(zōnghé)问题【例3】在△ABC中，若AB=AC，则cosA+cosB+cosC的取值范围为()A.B.C.D.分析易用余弦定理把原式化成“边”的形式，又AB=AC，即b=c,B=C,则可把cosA+cosB+cosC转化为以为自变量的二次函数.解由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理得cosA+cosB+cosC=由于b+c＞a,即2b＞a,所以0＜＜2,于是1＜≤.故选B.第三十二页，共40页。举一反三(jǔyīfǎnsān)学后反思

解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用.例如，在三角形中，两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,大边对大角,最大内角的取值范围是[,π),最小内角的取值范围是(0,]等.3.在△ABC中，已知内角A=，边BC=,设内角B=x,周长为y.（1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值.解析：(1)△ABC的内角和A+B+C=π,由A=,B＞0,C＞0得0＜B＜.应用正弦定理知.∵y=AB+BC+AC,∴y=4sinx+(0＜x＜).第三十三页，共40页。(2)∵y=4(sinx+cosx+sinx)+=,∴当x+=,即x=时，y取得最大值.考点(kǎodiǎn)演练解析:由AD=3DB，可知(kězhī)D为OB中点.设圆的半径为R，那么OD=，CD⊥AB，CD=.在直角三角形COD中，，所以.答案(dáàn):10.(2009·深圳模拟)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=3DB，设∠COD=θ，则