五微分中值定理及其应用

个人收集整理 仅供参考学习第五章 微分中值定理及其应用为了应用导数地概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体地工具，这就是微分中值定理．费马定理闭区间连续函数最值定理在数学分析中组成一段罗尔中值定理很漂亮地推理小链条．拉格朗日中值定理柯西中值定理应用： 求极限地待定型、函数作图、 解极值问题§1微分中值定理定义5.1称在点达到极大(小)值，如果存在，使得是在地最大(小)值，即，．(或，)这时，称 点为 地极值点..极大值极小值统称为极值．定理5.1(费马定理)设 在 点附近有定义．若 在 点达到极值，且 在 点可导，则 .定理5.2(闭区间连续函数最值定理 )若 在闭区间 上连续，则 在 有最大值与最小值．即存在 ，使得＝ ， ＝ .定理地意义：该定理是说函数地值域＝1/10个人收集整理 仅供参考学习有最大数与最小数，这一点只有对闭区间上地连续函数才保证恒成立 .例如， 在开区间 连续，但在 函数无最大值.在开区间 连续，但在 函数无最大值和最小值 .虽然定义在闭区间 ，但不连续，无最大值证明 用区间套定理．二等分 ，分点为 .则 ， 两区间中至少有一区间满足性质：另一区间中地每一个点 ，在这个区间中存在一个点 ，使得 .事实上，不妨设 满足上述性质，则， ，使得 .因为若不然， ，使得，有 ，即 满足上述性质.b5E2RGbCAP记 ，二等分 ，分点为 ，则 ， 两区间中至少有一区间满足上述性质， 将这个区间记为 ；二等分 ，分点为 ，则 ， 两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为 ；，如此继续下去，得一区间套 ，由区间套定理，存在唯一地实数 .p1EanqFDPw下证 . ， ， ，使 ，但.由区间套地构造， ，使得 .对 ，，使 ，但 .于是， ，使得. ，如此继续下去，得一数列 ，满足 ，，且 .由于 以及 地连续性，，即 .DXDiTa9E3d最小值地情形，只需考虑 ，便化为已证得最大值地情形 .定理5.2地证明 先证最大值地情形，用实数基本定理证明 .不妨设2/10个人收集整理 仅供参考学习都不是 在 地最大值.扩充 ，使它在 时等于，在 时等于 ，则它在 连续，令RTCrpUDGiT使得 ，这时R地一个分划，事实上，由 知 不空，显然 ，而对任意 ，我们来证 ，如果不然，设 ，由知存在 ，使任意 有 ，由此推出存在 ，使得任意 ，有 ，因此 ＝ 矛盾，这就证明了构成R地一个分划，由实数基本定理，存在唯一地 ，使得对任意，有 ，下面来证明 5PCzVD7HxA，先考虑 地情形，如果不然，存在 ，有 ，这时存在 ，使得 ，且任意 ，有，由 ，知存在 ，使得任意 有，从而 .显然 (否则 )，这与 对一切 成立矛盾，这就证明了对任意，有 jLBHrnAILg其次考虑 地情形，任意 ，存在 使得 ，因此当 时，有由 地定义，知存在 ，使 ，若存在 ，使则由已证地 地情形，知 ，结果得证；若任意 ，有 ，则由 ，在 中令取极限，得 .最小值地情形，只需考虑 ，便化为已证得最大值地情形，3/10个人收集整理 仅供参考学习定理5.2证完.定理5.3（罗尔（Rolle，1652－1719）定理） 若 在闭区间连续，在开区间 可导，且 ＝ ，则在 中存在 ，使得0.xHAQX74J0X注意：定理中地三个条件缺一不可！如 ＝ ，在 连续， ，但不存在 使＝0，这是因为 在 ＝0点不可导.如 ＝ 满足 在 可导， ＝ ，但没有 使 ＝0，这是因为 在 不连续.如 ＝ ，它在 不满足端点值相等，即 ，尽管它在连续且可导，但显然定理结论不成立 .证明 由在 有 ，知 ．作辅助函数＝ )，则 在 连续，在 可导，且 ．由罗尔定理知存在 ，使得 ＝0，即－ ＝0，这就是所要证明地，定理 5．5证完．定理5.4(微分中值定理，或拉格朗日中值定理) 若 在闭区间连续，在开区间 可导，则在 中存在 ，使得＝ ．（拉格朗日中值公式）4/10个人收集整理 仅供参考学习定理地几何意义：记 ， ，上述等式地右边表示 弦地斜率.定理说，在 内总有一点 ，曲线在 处地切线切线平行于弦．当 ＝ 时，定理5.4化为定理5.3.拉格朗日中值定理中，函数连续与可导地条件缺一不可！定理5.4地证明 造辅助函数＝ － － ，则 在 连续，在 可导，且 ＝ ＝0．由罗尔定理知存在 ，使 ＝0，即－ ＝0，这就是所要证明地，定理 5．4证完．拉格朗日中值公式地其它表示形式－ ＝ ，令 ＝ ， ，则公式可写成－ ＝ ，令 ，则 ，上述公式中不论 或 都成立，不论 或 都成立.与微分近似增量对比，这里不是严格等注意， 介于 之间，是 间地中值，这就是中值定理名称地由来．虽然，—般说来，我们只知它位于 之间，并不能确定它地准5/10个人收集整理 仅供参考学习确位置，重要地是它地存在性 ．LDAYtRyKfE推论5.1 若 在 有 ，则 在 单调(严格单调)上升；若 在 有 则 在 单调(严格单调)下降.证明 设 在 有 ．任意 ，，由微分中值定理知存在 ，使－ ＝ ( ) ，故 .即 在 单调(严格单调)上升.另一结论同理可证.推论5.2 若 在 有 ＝0，则 在 为常数.证明 对任意 ，存在 在 之间使得－ ＝ ( )＝0，这就证明了 在 地任意两点地函数值相等，从而 在等于常数.中值定理在证明不等式中地应用例1 证明不等式， 且证明 函数 ＝ 在 或 上满足拉格朗日中值定理条件，故＝ ＝ ， 在0与 之间.当 时，6/10个人收集整理 仅供参考学习当 时，故都有令 ，即得例2 函数在区间 上满足拉格朗日中值定理地条件，故存在 ，使得即 ＝或 ＝对上式令 取极限，这时有 ，从而得请读者思考，这与 不存在矛盾吗？作为拉格朗日中值定理地推广，还有下面地定理 .定理5.5（柯西中值定理）定理5.4地证明 造辅助函数＝ － － ，则 在 连续，在 可导，且 ＝ ＝0．由罗尔定理知存在 ，使 ＝0，即7/10个人收集整理 仅供参考学习－ ＝0，这就是所要证明地，定理 5．4证完．几何解释：设想曲线用参数方程 表示，， ，弦地斜率：任一点地斜率：定理说，在 内总有一点 ，曲线在 地切线平行于弦 AB定理5.5地证明 由在 有 ，知 ．作辅助函数＝ )，则 在 连续，在 可导，且 ．由罗尔定理知存在 ，使得 ＝0，即－ ＝0，这就是所要证明地，定理 5．5证完．在定理5．5中取 ，则定理5．5化为定理5．48/10个人收集整理 仅供参考学习版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.Zzz6ZB2Ltk用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.dvzfvkwMI1Usersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes,butatthesametime,theyshallabidebytheprovisionsofcopyrightlawandotherrelevantlaws,andshallnotinfringeuponthelegitimaterightsofthiswebsiteanditsrelevantobligees.Inaddition,whenanycontentorserviceofthisarticleisusedforotherpurposes,writtenpermissionandremunerationshallbeobtainedfromthepersonconcernedandtherelevantobligee.rqyn14ZNXI9/10个人收集整理 仅供参考学习转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任 .EmxvxOtOcoReproductionorquotationofthecontentofthisarticlemustbereasonableandgood-faithcitationfortheuse