二次函数在给定区间上的最值问题

-.z.二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点.因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向〔与二次项系数的正负有关〕，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我们将以假设干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点＆例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：CaseⅠ、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：假设二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，那么要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间.〔i〕当其对称轴的横坐标在给定区间时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；〔ii〕当其对称轴的横坐标不在给定区间时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例1、二次函数在闭区间上的最大值是_______.例2、函数在区间上的最大值是_______，最小值是_______.例3、，那么函数的最大值是_______，最小值是______.CaseⅡ、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进展分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：假设二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，那么要求二次函数〔〕在给定区间上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进展分类讨论.这里我们以的情形进展分析：〔ⅰ〕假设，即对称轴在给定区间的左侧，那么函数在给定区间上单调递增，此时，；〔ⅱ〕假设，即对称轴在给定区间的部，那么函数在上单调递减，在上单调递增，此时，或，至于最大值终究是还是，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：假设，那么；假设，那么；〔ⅲ〕假设，即对称轴在给定区间的右侧，那么函数在给定区间上单调递减，此时，.综上可知，当时，；.通过同样的分析可得到：当时，；.例4、且，求函数的最值.例5、求函数在区间上的最大值.例6、求函数在区间上的最大值和最小值.例7、设函数〔〕，当时，求函数在区间上的最小值的解析式.例8、函数，假设对于任意的，都有成立，那么实数的取值围是_______.CaseⅢ、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数.解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进展分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：假设二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，那么要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进展分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标.解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.例9、函数定义在区间〔〕上，求的最小值.例10、函数，当〔〕时，求的最大值.CaseIV、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：〔1〕求函数的最值或最值的取值围；〔2〕求函数的解析式；〔3〕证明不等式；〔4〕求参数的取值围；〔5〕探究参数是否存在；……例11、设函数，，为常数.〔I〕求的最小值的解析式；〔II〕在〔I〕中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立.假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.【解析】〔I〕函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线〔i〕假设，即此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递增于是〔ii〕假设，即此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递减于是〔iii〕假设，即此时函数的对称轴在区间上，在区间上单调递减，在区间上单调递增于是综上可知，〔II〕要使对于任意的均成立，只需，下求由函数的图像可见，在上单调递增，在上单调递减于是又故的最小值为例12、函数〔〕，记是在区间上的最大值.〔Ⅰ〕当且时，求的值；〔Ⅱ〕假设，证明.【解析】〔I〕函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的〔I〕当时，函数〔i〕假设此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递增于是，即〔舍去〕〔ii〕假设此时函数的对称轴不在区间上，在区间上单调递减于是，即〔舍去〕〔iii〕假设此时函数的对称轴在区间上，在区间上单调递减，在区间上单调递增于是当时，，舍去当时，或，均舍去综上可知，或〔II〕又，，于是有故，即例13、〔2015高考〕函数〔，〕，记是在区间上的最大值.〔1〕证明：当时，；〔2〕当，满足时，求的最大值.【分析】此题考察的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题.解决此类问题的关键是正确理解"是在区间上的最大值〞这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。【解析】〔1〕函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的，即此时函数的对称轴不在区间上于是函数在区间上单调故〔2〕于是有，，即，，即，又，于是又当，时，，且在区间上的最大值为2，即故的最大值为例14、函数，设函数在区间上的最大值为.〔Ⅰ〕假设，求的值；〔Ⅱ〕假设对任意的，恒成立，试求的最大值．【分析】此题考察的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解"是在区间上的最大值〞这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识.【解析】函数的图像是开口向下，对称轴为直线的抛物线而函数的图像是将函数在轴上方的图像保持不变、把它在轴下方的图像翻折上去得到的〔1〕当时，函数此时其对称轴不在区间上，在区间上单调递增故〔2〕要使对任意的，恒成立，只需下求的最小值.〔i〕假设，即此时函数的对称轴不在区间上函数在区间上单调于是〔ii〕假设，即此时函数的对称轴在区间上于是①当时，此时②当时，此时由〔i〕，〔ii〕可知，对任意的，，都有又当，时，在区间上的最大值为，即故对任意的，恒成立的的最大值为.【课后总结】解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系的讨论.一般分为：二次函数的对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值.建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。须知：函数图像就是指路明灯！！！【习题精练】1、假设，且，那么〔〕A.B.C.D.2、〔2013高考〕，，，函数.假设，那么〔〕A.B.C.D.3、〔2017高考〕假设函数在上的最大值是，最小值是，那么〔〕A.与有关，且与有关B.与有关，但与无关C.与无关，且与无关D.与无关，但与有关4、函数〔〕对任意的实数，都有成立.假设当时，恒成立，那么的取值围是〔〕A.B.C.或D.5、一次函数〔〕的图像不经过第一象限，且在区间上的最大值和最小值分别为1和-2，那么函数在区间上的最大值为〔〕A.-2B.2C.-1D.16、设函数在上单调递减，那么实数的取值围是_______.7、二次函数满足，且，，假设函数在区间上的值域是，那么_______，_______.8、函数在区间上是单调函数，那么实数的取值围是_______.9、抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有〔〕A.最小值-3B.最大值-3C.最小值2D.最大值210、为常数，函数在区间上的最大值为，那么____.11、，假设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，令，那么的解析式为_________.12、〔2013高考〕函数，，设，，〔表示，中的较大值，表示，中的较小值〕.记的最小值为，的最大值为，