不等式解法及应用

仅供个人参考仅供个人参考不得用于商业用途不得用于商业用途第三十二讲 不等式解法及应用一、复习目标要求不等关系〔组的实际背景；一元二次不等式①．经受从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3二元一次不等式组与简洁线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；③从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题，并能加以解决。二、2023年命题推想分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节〔如函数、数列等〕交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简洁不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。推想2023年高考的命题趋势：1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式消灭；以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的力气；在函数、不等式、数列、解析几何、导数等学问网络的交汇点命题，特别留意与函数、导数综合命题这一变化趋势；对含参数的不等式，要加强分类争论思想的复习，学会分析引起分类争论的缘由，合理分类，不重不漏。三、学问精点讲解不等式的解法是争论数学的根本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式学问占相当大的比例。同解不等式〔(1)与同解；与同解，与同解；与同解；一元一次不等式解一元一次不等式〔组〕及一元二次不等式〔组〕是解其他各类不等式的根底，必需娴熟把握，灵敏应用。状况分别解之。一元二次不等式或分及状况分别解之，还要留意的三种状况，即或或，最好联系二次函数的图象。4．分式不等式分式不等式的等价变形：

f(x)>0f(x)·g(x)>0，

f(x)≥0

f(x)g(x)0 。简洁确实定值不等式

g(x) g(x) g(x)0确定值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到确定值不等式。高考试题中，对确定值不等式从多方面考察。解确定值不等式的常用方法：①争论法：争论确定值中的式于大于零还是小于零，然后去掉确定值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解确定值不等式常用以下等价变形：|x|<ax2<a2－a<x<a(a>0)，|x|>ax2>a2x>ax<－a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g(xf(x)<g(x)。指数不等式；；对数不等式等，线性规划平面区域AxByC0AxByC0某一侧全部点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。AxByC0同侧的全部点的坐标(x,yAxByC所以只需在直线某一侧取一个特别点(x,y0 0

Ax0

By0

CAxByC0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C0时，通常把原点作为此特别点。有关概念z2xyxyx4y3yx13x5y25x4y3yx13x5y25z的最大值和最小值。x1C由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x0,y0z2xy0，即点(0,0)在直线l2xy0l的直线l：2xyttR，可知：当l在l的右上方时，直线l上的点0Ax4y30BO3x5y250x00由图象可知，当直线lA(5,2)时，对应的t最大，当直线lB(1,1)时，对应的tz

max

25212，z

min

2113。在上述引例中，不等式组是一组对变量x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，z2xy是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数。z2xyxy的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影局部表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。四．典例解析1：简洁不等式的求解问题

x210例1〔20231〕不等式组x2

3x0

的解集是〔 〕A｜1＜1}C｜＜1}

B＜＜３}D｛｜1＜３}答案：C

x21

1x1解析：原不等式等价于： 0＜x＜1。x(x3)0 0x3点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的根底性学问，是解决其它问题的根底。x1例22023河南、广东1〕不等式x3>0的解集为〔 〕A.{x|x<1}C.{x|x<1x>3}答案：C

B.{x|x>3}D.{x|1<x<3}x10x3∴x<1x>3.

〔－〔－>，故原不等式的解集为{x|x<1x>3}。点评：简洁的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式〔留意分母不为零〕。题型2：简洁确实定值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例31〔2023全国〕不等式1＋〔－｜｜〕0的解集是〔 〕A｜≤＜1} B.｛｜＜0且1}C｜1＜＜1}

x0

D.｛x｜x＜1x≠－1}〔219971〕不等式组3

|的解集是〔 〕6A.｛x｜0＜x＜2}C.｛x｜0＜x＜ 6

3x 2xB.｛x｜0＜x＜2.5}D.｛x｜0＜x＜3}1〕D；≥0〔－〕＞，∴〔＋1〔1〕0，1x1∴x0

0≤x＜1。②0时，原不等式化为〔＋〔＋〕＞0〔1〕＞，∴x≠－1，∴x＜0x≠－1。x＜1x≠－1。1x0 1x0|x|0

②①解得|x|1①解得|x|1x1

－1＜x＜1，②解得|x|1

x＜－1，x＜1x≠－1。点评：该题表达了对争论不等式与不等式组的转化及去确定值的根本方法的要求。〔2〕答案：C3x解法一：当x≥2时，原不等式化为

x23x x2，6去分母得+3－〕＞+3〔2，66即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜06

x 。6留意x≥2，得2≤x＜ ；63x2x当0＜x＜2时，原不等式化为3x 即2x＞0 留意0＜x＜2，得0＜x＜2。

，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。6综上得0＜x＜ ，所以选C。66解法二：特别值法.取x=2，适合不等式，排解A；取x=2.5，不适合不等式，排解D；再取x= ，6不适合不等式，所以排解B；选C。点评：此题考察不等式的解法、直觉思维力气、估算力气。1例4．〔1〕〔1995全国理，16〕不等式〔3〕x28＞3－2x的解集是 。〔2〕〔2023全国文5，理4〕在〔0，2π〕内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为〔 〕A.〔4

5，2〕∪〔π，4〕

4

，π〕C.〔4

5，4〕

D.〔4tx1,x,

5 3，π〕∪〔4，2〕〔306〕设)=logt

(x2

f(x)>2的解集为〔〕(A)〔1，2〕〔3，+∞〕 (B)〔10，+∞〕(C)〔1，2〕 〔10 ，+∞〕 (D)〔1，2〕1〕－24｝将不等式变形得3x2832x则－282，从而x－28＋4〕＜＜，所以不等式的解集是－2＜＜．评述：此题考察指数不等式的解法；答案：C 5解法一：作出在〔0，2π〕区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和46可得C答案。

4—图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.〔如图4—7〕。C；点评：特别不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。3：含参数的不等式的求解问题5．〔1〕设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，假设M［1，4］，求实数aa(x1)〔2〕解关于x的不等式x2 ＞1(a≠1)。分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。1M［4］有两种状况：其一是=；其二是≠=0＞0a的取值范围。f(x)=x2－2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)当01＜＜=［1，4；当=－1时={－1}［4；当a=2m={2}［，。当Δ＞0时，a＜－1a＞2。f(x)=0x，xx＜x，1 2 1 2那么=x，x，M［1，］

＜x≤4f(1)0,且f(4)0，1 2a30

1 2 1a4,且0aa0aa

，解得2＜a＜ ，718∴M［1，4］时，a1，7)。〔2〕原不等式可化为：

(a1)x(2a)x2a2

＞0，①当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解。a1a2由于

1 1

12，a1 a1∴原不等式的解为(－∞，

a2a1

)∪(2，+∞)。a2②当a＜1时，原不等式与(x－ )(x－2)＜0同解。a1a2由于

1 1 ，a1 a1a2a＜0，

1 1

2，解集为(a2，2)；a1 a1 a1a2a=0时，

1 1

2，解集为；a1 a1a20＜a＜1，

1

1 2，解集为(2a2)。a1 a1a2a

a1a

a2a a

＜1时，解集为(2，

；当＜0

a2a

a1 a1点评：考察二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。此题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类争论的数学思想。M=是符合题设条件的状况之一，动身点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。例61〔0615设0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1)有最大值.则不等式logn(x2-5x+7)＞0的解集为 _；〔206重庆文15设a0,a1函的解集为 。

f(x)log(x22x3) log(x1)0a 有最小值则不等式 a解析：〔1〕0a10x25x71，又由于5 x25x7(x )2 05 2 4 x25x71解得2x3；〔2〕由于函数有最小值，故a1x10x1。点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为a1,0a1两种状况，这也是分类的标准。4：线性规划问题例71〔0610

xy10y10xy10满足条件 ，那么

2xy

的最大值〔 〕A．2 B．1 C．2 D．3〔2〕〔063〕x、〔 〕

yxxy2yy3x6y满足约束条件 ，则目标函数

z2xy

的最小值为A．2 B．3 C．4 D．9解析：〔1〕当直线2xyt过点(0，-1t最大，应选B；〔2〕B．点评：近年来线性规划的一些根本运算问题成为出题的热点，该局部学问大多都属于根底题目，属于中低档题目。8．〔1〕〔068〕AB分别为ab，生产乙产品1 121ABa2bdd2元，月初一21AB各cc

千克，要打算本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总1 2xy千克，月利润总额为z元，zdxdy那么，用于求使总利润 1 2 最大的数学模型中，约束条件为〔 〕

axbyc1 2

1 1 1c

axbyc1

2 x0y0

2

2 2x0y0axa

yc

axa

yc1 2 1 1 2 1bxbyc bxbyc1

2 x0y0

1

2 2x0y0xy20,xy20,x2〔206浙江理3在平面直角坐标系中不等式组 表示的平面区域的面积〔 〕1 3 1 9(A)2 (B)2 (C)8 (D)8xy4yx,y1,〔3〕〔06北京理，13〕点P〔x，y〕的坐标满足条件

点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 ，最大值等于 。axayc1 2 1bxbyc解析：〕约束条件为

1 2 x0y0

，选C；A；210、 。210点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题常常消灭。5：不等式的应用9．〔0620〕11定义为：

污物质量 〕物体质量〔含污物〕为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙:分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为x0.8a(1a3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x1 (xa1)，用y单位质量的水第yac二次清洗后的清洁度是ya，其中c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度。(Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ)假设承受方案乙，当a争论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。x0.8解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有x1 =0.99,解得x=19。由c0.95得方案乙初次用水量为3,其次次用水量y满足方程：y0.95a0.99,ya y=4az=4a+3194a+3。由于当1a3时xz4(4a)0,即xz,故方案乙的用水量较少。x〔II〕设初次与其次次清洗的用水量分别为xy，类似〔I〕得

5(1c)，ya(99100c)〔*〕，xy15(115(1c)100a(1c)

1 100a(1c)a15(1c)+a(99100c) 5(1c) ，当a为定值时,

xy2

a1a4 15a5a1 100a(1c)10 5a当且仅当5(1c) 10 5a10 5ac110 5a此时

1 (不合题意,舍去)或c1 1 (0.8,0.99),c1将

110 5a代入〔*〕x10 5a

5a5a1a1,y5a5a

a.c1故

110 5a10 5a5a5a2 5a5a

a, 最少总用水量是T(a)a4

1.2 5a1a3时,T”(a)2 5a当

10

5aT(a5a随着a的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量。点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果。10．〔19982422〕6—1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2盖长方体沉淀箱，污水从AB孔流出，设箱体的长度为ab流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab60平方米.问当a、b米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小〔A、B〕?kyy=abk＞0a、by依据题设，有4b+2ab+2a=60〔a＞0，b＞0〕，30ab=2a〔0＜a＜30)①，yk k k kab 30aa2 a32 64 34(a2

64 )于是 2a342 (a342 (a2)64a218。

a2 a264a+2=a2时取等号，ya=6，a=－10〔舍去〕将a=6代入①式得b=3，a6b3解法二：依题意，即所求的a、b值使ab由题设知4b+2ab+2a=60〔a＞0，b＞0〕，a+2b+ab=30〔a＞0，b＞0〕。2ab2 2ab2 ab当且仅当a=2ba＞0，b＞00＜ab≤18a=2b，ab18。∴2b2＝18．解得b=3，a=6。a6b3点评：此题考察综合应用所学数学学问、思想和方法解决实际问题的力气，考察函数关系、不等式性质、最大值、最小值等根底学问，考察利用均值不等式求最值的方法、阅读理解力气、建模力气。五．思维总结1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式〔组〕，以快速、准确求解。加强分类争论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进展分类争论.复习时，学生要学会分析引起分类争论的缘由，合理的分类，做到不重不漏。加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不行分，相互联系、相互转化归思想的复习，证不等式的过程是一个把条件向要证结论的一个转化过程，既可考察学生的根底学问，又可考察学