平面转环和转盘的滑动摩擦力及其力矩

平面转环和转盘的滑动摩擦力及其力矩孔莉林;谢元栋【摘要】精确求出了平面转环的滑动摩擦力及其力矩，其结果用椭圆积分精确表示.在此基础上，讨论了均匀刚性细圆环在以下三种特殊情况下所受的摩擦力及其力矩:纯平动、纯转动以及平动速度等于转动线速度.这些结果和数值计算结果相比较脸证了其正确性.接着将平面转环的的结果推广到平面转盘，通过拟合曲线得到了平面转盘的滑动摩擦力及其力矩较好的近似结果.利用Matlab进行的数值分析显示，平面转环和转盘的摩擦力及其力矩具有很多相似点.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷)，期】2017(037)005【总页数】4页(P66-69)【关键词】平面转环;平面转盘;滑动摩擦力;摩擦力矩;椭圆积分【作者】孔莉林;谢元栋【作者单位】华南师范大学物理与电信工程学院广东广州510006;华南师范大学物理与电信工程学院广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O313.5平面转环和转盘在日常生活、工业生产中十分常见，例如，汽车的刹车盘、摩擦离合器、机床转台等.人们研究过平面转环所受的滑动摩擦力及其力矩［1］，平面转盘所受的滑动摩擦力［2-4］,甚至还设计了实验装置测量平面转盘的摩擦力矩［5］，但迄今为止，还没有人计算并用解析式表示过平面转环和转盘所受的滑动摩擦力及其力矩.本文求出了平面转环所受的滑动摩擦力及其力矩，其结果用椭圆积分表示，通过拟合曲线得到了转盘所受摩擦力及其力矩的近似结果.并利用Matlab对平面转环和转盘进行数值分析，揭示了平面转环和转盘的摩擦力及其力矩存在很多相似点.如图1所示，在摩擦系数为M的桌面上，有一个半径R的均匀刚性细圆环，它一边以角速度3绕质心转动，一边以速度vc平动.则平面转环的滑动摩擦力及其力矩为［1］：df=-,dM=Rdf0=-,其中入=是转环的线密度，e为转环上的微元与圆心连线对速度方向的夹角.令=a(v0主0),x=sin,式(1)可化为df=-,dM=-,其中k2=对式(2)积分得f=-pmg(K+E),M=-pmgR(K+E),其中K(,k)=E(,k)=dx为完全椭圆积分［6］.为了更加直观形象地感受到平面转环的滑动摩擦力及其力矩与a的关系，令式(3)中叩mg=1、叩mgR=1，利用Matlab绘制转环a-f、a-M的关系曲线如图2所示.可以看出：M随a的增大而增大，f随a的增大而减小，f、M在0<a<1.5区域内变化较快，在a>1.5区域变化较慢.f和M的大小跟a亦即跟的值有关，表明在整个运动过程中转环的滑动摩擦力及其力矩受半径、转速、质心速度的制约，是变速平动和变速转动的合运动.为了验证平面转环滑动摩擦力及其力矩结果的正确性，下面将对圆环做纯平动、纯转动，以及vc=R3这3种情况进行讨论.k很小时，K(k)=[1+()2k2],E(k)=[1-()2k2],代入式(3)得f=-Mmg[1-],M=-pmgR[1-],则当a=0,即圆环纯平动时，f=-pmg/M=0.当vc=0时，a-8，此时圆环做纯转动，圆环受的摩擦力及其力矩为f=O/M=Rdf0=-pAR2gd0=-2nR2pAg=-pmgR.当a=1时，即vc=Rw时，k=1,K—8,E(1)=1,则f=-pmg,M=-pmgR.从上面的分析可知，上述3种特殊情况的摩擦力及其力矩与图2的数值计算结果相吻合，也符合生活的实际情况，说明式(3)在以上3种情况下是正确的，并推广到与3种情况接近的状况也是正确的.将半径从0到R的无穷个平面转环叠加起来，则形成一个半径为R的均匀平面转盘，该转盘同样一边以角速度3绕质心转动，一边以速度vc平动.由式(3)可知，转盘的滑动摩擦力及其力矩为：f面=-(pg)(K+E)dm=-(pg)(K+E)(a2nrdr)=-4apg(K+E)rdr=-2apg()2[(a-a2)K+(a+a2)E]da,dM面=-(pgr)(K+E)dm=-(pg)(K+E)(a2nr2dr)=-2叩g()3[(a2-a)K+(a+a2)E]da其中3壬0，即a壬0.式(4)的积分无法轻易求出，为了方便处理，忽略式(4)前面的系数，认为是定值，利用Matlab绘制转盘a-f,a-M的关系曲线及其对应的拟合曲线如图3、图4、图5.则当一定时，图3、图4和图5可看作转盘所受滑动摩擦力及其力矩随半径的变化情况，可以看出平面转盘所受的滑动摩擦力及其力矩随着半径的增大不断增大.由于a-f曲线分段明显，故分0<a<1,a>1两段进行数据拟合，拟合结果如下：f=M=1.048a3-0.848a+0.223.其中拟合曲线的确定系数R-square>0.999,标准差RMSE<0.042，说明式(5)拟合得较好.将式(5)乘以式(4)的系数可得到转盘的摩擦力及其力矩为f=M=-mg|jR(0.667-0.540a-2+0.142a-3).式(6)可认为近似用于求解平面转盘的滑动摩擦力及其力矩.为更加清楚形象观察到平面转盘的摩擦力及其力矩a的变化情况，令平面转盘纯平动的摩擦力-mgp=1，纯转动的摩擦力矩-mgMR=1,平面转盘的a-f、a-M的关系曲线分别如图6、图7所示.可以看出当转盘质量、半径一定时，平面转盘所受的f和M的大小跟a亦即跟的值有关.f随着a的增大而减小，M随着a的增大而增大，f、M在0<a<4范围内变化较快，所以平面转盘的运动也是变速平动和变速转动的合运动.本文精确地求出了平面转环所受的滑动摩擦力及其力矩，其结果用椭圆积分精确表示，然后通过拟合曲线求出了平面转盘的摩擦力及其力矩的近似结果.利用Matlab对平面转环和转盘的摩擦力及其力矩进行数值分析，发现平面转环和转盘所受摩擦力及其力矩存在很多相似点：平面转环和转盘的摩擦力均随着的增大而减小，摩擦力矩均随着的增大而增大；平面转环和转盘对应的摩擦力和力矩随的变化快慢也相似；平面转环和转盘在整个运动过程中的摩擦力及其力矩均受半径、转速、质心速度的制约，是变速平动和变速转动的合运动.【相关文献】舒幼生，胡望雨,陈秉乾.物理学难题集萃[M].2版(增订本).北京:高等教育出版社,1999:232-236.郑金.对一道奥赛题的拓展[J].物理教师