2017年全国Ⅱ卷高考理科数学真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标H)

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3M

()

A.l+2iB.l-2iC.2+i

D.2-i

2设集合B={X|X3-4X+«=0}若An*”

则口=()

A.{2}B.{叫C.M

D.fl*，}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍

塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏

灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中

的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A.1盏B.3盏C.5盏

D.9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所

得，则该几何体的体积为O

A.B.<3JTC.

”2x+3y-3«0

<2x—3j+3N0

5.设堂，V满足约束条件b+3之。,则z=2x+jr的最小

值是（）

A.-13B.9C.1

D.9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项

工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种

C.24种D.36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成

绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给

甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看

后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则

A.乙可以知道四人的成绩B.丁

可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、

丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的则输出的S=()

A.2B.3C.4

D.5

9.若双曲线C二7一户二^(〃＞。，»＞。)的一条渐近线被圆

任-=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()

A.2B./C.0

2^3

D.三

10.已知直三棱柱曲一216中，NABCTH,AB=2,

8c=81=L则异面直线4与8cl所成角的余弦值为O

迫岳

A.2B.5

叵也

C.5D.3

11.若*=-2是函数/co=a|+皿-1尸.的极值点，则/»的

极小值为（）

A.-1B.-2«T

C.VD.1

12.已知々BC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

点，则》.（而）的的最小值是（）

3

ATB.2C.

4

3D,-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为皿，从这批产品中每次随机取一

件，有放回地抽取1<»次，X表示抽到的二等品件数，则

DX=.

/,(jc)=«1r+^cosx--

14.函数）的最大值是.

,1X—=

15.等差数列t,J的前立项和为％,4=3,S,=10,则I。.

16.已知R是抛物线C二/1=蛇的焦点，M是C上一点，FM的

延长线交J轴于点N.若M为FN的中点，则网=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或

演算步骤。第17〜21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

皿？的内角&区C的对边分别为但，已知

D

sh(J-l-G)=8aB2—

⑴求CMB

⑵若a+c=6,4函面积为2,求五

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对

比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量

(单位：kg)某频率直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：

旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于

50kg,估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把

握认为箱产量与养殖方法有关：

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的

中位数的估计值(精确到0.01)

19.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直

AB=BC=-AD9ZBAD=ZABC=9(f]

于底面三角形BCD,2E

是PD的中点

(1)证明：直线B〃平面PAB

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角

为45°,求二面角M-AB-D的余弦值

20.(12分)

一—+y=1

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2上，过M做

x轴的垂线，垂足为N,点P满足丽=师？.

(1)求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=-3上，且赤•而=1.证明：过点p且垂

直于0Q的直线1过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数皿一篁上/且/（宜）＞0.

（1）求a；

（2）证明：〃力存在唯一的极大值点/，且

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题

作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。

（1）M为曲线0上的动点，点P在线段0M上，且满足

a/.a»=：16,求点P的轨迹G的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为仁不），点B在曲线G上，求Sia

面积的最大值.

234选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知。＞0»3＞0»/+*=2,证明：

（1）之4；

（2）a+b^2.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国n卷）

理科数学解析

1.D

【解析】1+1件乂1-）

2.C

【解析】1是方程V-船+的解，＜=1代入方程得

••・^―七+3=0的角单为工=1或工=3,可

3.B

【解析】设顶层灯数为.，.=2,号=qQ-%=3gl解得,=3.

r1-2

4.B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的

圆柱的一半.

5.A

【解析】目标区域如图所示，当直线取到点（Y，-3）

时，所求N最小值为-14.

6.D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份

工作.

由此把4份工作分成3份再全排得C•用=%

7.D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话.

甲不知自己成绩T乙、丙中必有一优一良，（若为两优，

甲会知道自己成绩；两良亦然）T乙看了丙成绩，知

自己成绩T丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自

己成绩.

8.B

【解析】S=。，"=T代入循环得，时停止循环，

5=3*

9.A

b

【解析】取渐近线片/，化成一般式-一"=°,圆心⑵。）

到直线距离为

得丁=4,•=%

10.C

【解析】“，w,p分别为4,璃，4G中点，则4，g

夹角为s和wp夹角或其补角（异面线所成角为

&A）

MW=-^=—NP=-BCi=—

可知2,2r2,

作"C中点。，则可知33^为直角三角形.

△JBC中，*="+靖-lAB-BCcaaZABC

41-1-2x2x1-=7,

贝产邛，则S中，*同而春

贝1]AFMV中，2-MH-NP

图+图-图而

5

22

11.A

【解析】，㈤=［式+（32）工"-1］」

Ijiy-2)=14-2(a4*2)*a-，]・=0^X1=-1

则才（工）=口一工-1〉尸，㈤=p+工-2）。

令r（t）・。，得x=-z或£=i,

当IXT或工＞1时，rUA。,

当一Zvrcl时，r（x）＜。，

则〃x）极小值为〃1）=T.

12.B

【解析】几何法：

如图，~S+FC=im（»为ac中

点），

则Bi-[PB+PC)=2m-M.

要使无2.访最小，则无i,用方向相反，即p点在线段

加上，

则词.a=4福•国

即求阿啊

最大值，

则明

r_tt2ro-FZfc=-2x?=--

则*2

解析法：

建立如图坐标系，以*中点为坐标原点,

...4。・向，氏1,0)

1，°)

设N”),

立二(一1.我一7)

PB=(-1—X1—.y)

7v=(l-x.-y)

4

则其最小值为I4」2,此时工=%

13.3

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中P-om,

R=1DO

则q-1［一/)-IOOMOJQZMOJB-L96

14.1

【解析/任1"#一小卜铀

3

/(Z)=l-<rfx4-j5cOBZ--

令COBX=t且上£必可

y=-r*+6+；

t3

则当一2时，/在）取最大值1.

2»

15.

【解析】设首项为公差为

则.=.+H=3

4=4q+M=10

求得,=】，1=1,贝lM=n,■-2

il_2+2++2+2

=b<2+2x3++it(«-l)+M(R+1)

4q■二

An-t-1

16.6

【解析】/=既则I,

焦点为尸口。），准线

i:r=-2,

如图，“为将、N中点，

故易知线段皿为梯形

中位线，

・：ar=2,"=4,

・•・阿=3

又由定义阿=阿，

且阿-阿

...叼=刈+阿=6

17.

【解析】(1)依题得：anJ=«an*—=«-1COMJ=4(1-cmH).

22

■:■B.xB4-ctaxS=l>

:.1较—co■犷+coa”=l，

:.(17<aS-15Xaafl-9=0,

(2)由(1)可矢口・iia=亘.

17

•=N，

••=2,

.15

••=----，

2oe17

••a*+c^—fc1=15，

••g+.y-Zac-£=15，

:.36-17-"=15，

18.

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于“为事件属

“新养殖法的箱产量不低于叫”为事件门

।m=0.010x5+0JQMX5-Fa（2Mx5-FOJD14X540JD12X5

p(c)=0JD68x54-0JM6X5-i-a010x5+OJOMx5

=(L66

P(^)=P(B)P(C)=04092

(2)

箱产量

箱产量V叫

妾叫

旧养殖法6238

新养殖法3466

由计算可得必的观测值为

,2(Dx(62x66-38x34y_

100x100x96x104

.RM1>&635)・QJD01

・♦・有尔以上的把握产量的养殖方法有关.

(3)1*5=02,O2-(OJD04+0u<AI+aOI4)=(L(B2

(MB2*QJDa=—AxS-235

17,17

50+235=3,.•.中位数为323f.

19.【解析】

(1)令W中点为连结质，JF,CK.

R为FD,Rf中点，，底为AM的中位线，

iarJ_-AU

-2

又,/Z9AD=NJAC=90",:.BClAD

〃=■＜；,如BCJ_-JU}_・一

又;2,~2,/.EFJJC

.•.四边形K8F为平行四边形，CBlBF.

又'：ATcffrtf,.•.€»］面AM

(2)以皿中点。为原点，如图建立空间直角坐标系.

设"=*=1,则0(0,0,。，40,-1,0),T，3,

qi,o,q),qo,1,0),

收0,o,V5)

M在底面48上的投影为JT,JOTXAIT.:

.・.Am/为等腰直角三角形.

•.•Moe为直角三角形，㈤=亭阳一・."»=b

设n=。，卬1=殍0,刖=i-枭

-

I22J,4=a,o,o).设平面jaw的法

向量・=(°，X，

"*4=0,.•.二=(0,-或，1)

方=(0,2,0),2=0,0,(0设平面4D的法向量为

B=(®»0岁始,

H=(0»OrD

一■x-n

CM<M-B>==-="=--

府5

.♦・二面角M-画-。的余弦值为T.

20.

【解析】⑴设取,力，易知加，6

一M?=^r®=f0,W）

整p-e，力又近I也）

,..哈却

,又M在椭圆上.

.•号团a即2=2.

⑵设点点一3，、）g，力），3，

由已知：而-丽=（与，W＞（T一力•M一川=）

源住-画=亨丽-阿=1

...宇丽何+1=3

，

=比•

设直线匝：“一万",

因为直线I与J垂直.

■=』

%

3«、

y=—曰一与）+.

故直线I方程为%

令…,得f%=3=）,

工-与

9

•:JWfe=3+3。

r=-=-1

若％=0,则%=3七=T才=±1,

直线夜方程为A=0,直线t方程为工=T,

直线I过点(-1，6，为椭圆C的左焦点.

21.

【解析】⑴因为/3)=彳=一。一上力学Q,z>0,所以

malnx>0

令**)--5贝则■<»,人工卜七="r",

当nW。时，r(x)<0期工)单调递减，但?1)=0,Z>1

时，#)<0；

当3时，令"任)・。，得x=G

当时，^W<0,本)单调减；当“二时,

，狂)A0,虱工)单调增

19上单调减,］目<响=。

若则在

9

若。X,则M㈤在6")4目<响=。

上单调增,

若f则於=咽=小。，

综上，。=1.

(2),r(x)=2r-2-lax,x>0.

令*=则*&)=2_7———x>0

令鹏*）=。得

°＜“＜Q时，K）＜。，MM单调递减;当*＞5时,

当

¥任»0,MF单调递增.

Jb(x]L=*f-]=l-2+lii2<0

所以，3

因为可一户2^,0,M2）="h2A。-d。4）,

和G'+"J上，M＜）即r（x）各有一个零

所以在

点.

设f任）在3，）和你“）上的零点分别为"巧，因

为/（X）在H上单调减，

所以当。《〈“时，r（x）＞。，［任）单调增；当、＜”亍

时，f（x）v。，〃工）单调