2018年数学高一必修二专项练习

2018年数学必修二专项练习

姓名：_______________班级：_______________考号：—

一、选择题

二、1、如图，三棱锥S-4州中，棱城防.底两两垂直，且必=瓯=及7,则二面角4-8-S大小的正切

值为（）

昱/h

A.1B.2C.盘D.sEJ

B

2、在空间中，下列命题正确的是（）

A.经过三个点有且只有一个平面

B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面

C.经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个

D.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个

3、在平面直角坐标系中，点A（1,2）,B（3,1）到直线1的距离分别为1和2,则符合条件的直线条数有（）

A.3B.2C.4D.1

4、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是（）

/△

A.2cm2B.VScm3

正视图在视图

C.sVScm3D.3cm3

「臼

5、己知直线y=kx+2k+l与直线y==2x+2的父点位于第•一象限，俯视图

则实数力的取值■•范围是（）

1:11

A.-6<A<2B.-6<A<0C.-6<k<2D.k>2

6、已知圆-2*-3=0,过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点A,B,D,E,则四边形ABDE面积

的最大值为（）

A.4若

B.7C.4D.4

32

7、若直线红■•■加一2=°（d>a*>°）始终平分圆/+/一»-2,=2的周长，则必占的最小值为（)

32^232痘3I24231班

A.4B.2c.2D.4

8、如图，四棱锥P-ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD,ZXPAB和4PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB

所成角的大小为（）

A.45°B.75°

C.60°D.90°

9、己知"••芽为异面直线,a!•平面比，内■!■平面A.直线！满足’则,

3as旦"aB."'A,且，"*■£

c.a与A相交，且交线垂直于/D.a与A相交，且交线平行于/

io、已知产是圆/+）'=/上的一个动点，过点尸作曲线b的两条互相垂直的切线，切点分别为M,"，m

-=aS>*>且/=—,则点E的轨迹方程为3号/岑正W+亘V,

的中点为后,若曲线C：

若曲线7：二1一f=1（n>D>0）,且/=一一3’，则点后的轨迹方程为（）

B6菖C.9加套D,=

W》=豆式

AV菖一石辛

二、填空题

11、如图，圆锥S0中，AB、CD为底面圆的两条直径，ABCCD=0,且ABJ_CD,S0=0B=2,P为SB的中点，则异面

直线SA与PD所成角的正切值为,.

12、在平面直角坐标系xOy中，直线L：kx-y+2=0与直线b：x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到

直线x-y-4=0的距离的最大值为.

13、己知函数/（*：=05+总的图象在点（一3处的切线恰好与直线3*■»■L;

单调递减，则实数£的取值范围是

16

14、动点"(zjf)分别到两定点(一3。13。连线的斜率之乘积为9,设的轨迹为曲线C*,用，K分别

为曲线二的左右焦点，则下列命题中：

(1)曲线C的焦点坐标为耳(一工。)，为(、。)；

⑵若4叫=城，则品—=32；

(3)当*<Q时，的内切圆圆心在直线4=-3上；

(4)设摩.1),则的最小值为2后

其中正确命题的序号是.

15、在平面直角坐标系中，定义〃>0=1勺-4+人一区1为两点既一尤，。(生)1)之间的“折线距离”.在

这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；

③到⑼两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是k-。；

④到MTQXWM)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行直线.

其中正确的命题有.(请填上所有正确命题的序号)

三、综合题

16、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB/7CD,ZDAB=60°,FC_L平面ABCD,AE±BD,CB=CD=CF0

(I)求证：BDJ_平面AED；

(II)求二面角F-BD-C的余弦值。

17、如图,在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为CD的中点,

B

F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题：

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC〃平面DFK?若存在，请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

(2)若平面ADE_L平面ABCE,求证:平面BDE_L平面ADE.

18、直线/过点/(2,1),按下列条件求直线1的方程

(1)直线/与直线六户4=0的夹角为3；

(2)直线/与两坐标轴正半轴围成三角形面积为4。

M:(x+l)a+7a=-W：Cc-C?+y=—

19、己知圆4,圆4,动圆D与圆M外切并与圆M内切，圆心D的轨迹

为曲线E.

(1)求曲线总的方程；

(2)若双曲线C的右焦点即为曲线总的右顶点，直线尸=&为(7的一条渐近线.

①.求双曲线C的方程；

②.过点P(Q，4)的直线？，交双曲线C于43两点，交x轴于。点(。点与C的顶点不重合)，当

g

段=4。*璃0,且4+为一百时，求。点的坐标.

20、如图，ABCD是边长为3的正方形，DE_L平面ABCD,AF/7DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.

(I)求证：AC_L平面BDE；

(II)求二面角F-BE-D的余弦值；

(III)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM〃平面BEF,并证明你的结论.

/(x)=x+-、/(2)=-

21、设函数X定义域为(z见n+8),且2.设点P是函数图像上的

/和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

（1）写出/W的单调递减区间（不必证明）；（4分）

（2）设点尸的横坐标为，求M点的坐标（用制的代数式表示）；（7分）

（3）设。为坐标原点，求四边形”W面积的最小值.（7分）

,一诊料令必

高一期中老部分

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2018年数学必修二专项练习参考答案

一、选择题

1、C

2、C

3、B【考点】IT：点到直线的距离公式.

【分析】由于AB=JG<2+1,故满足条件的且和线段AB有交点的直线不存在，故满足条件的直线有两条，这两条

直线位于线段AB的两侧.

【解答】解：AB=V5<2+1,故不存在和线段AB有交点的直线.

故满足条件的直线有两条，这两条直线位于线段AB的两侧.

故选B.如图：

4、B

5、C

6、B

7、D

【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（L1）,所以有

1=4+%条+唯+9中公+;）

（当且仅当

.■缶时取“=”）,故选D.

8、D

9、D

10、A

解析：由于椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算，所以，猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为:

二、填空题

11、提示：如图，连接P0,则P0〃SA,...NOPD即为异面直线SA与PD所成的角.又AOPD为直角三角形，Z

OD2

POD为直角，r.tan/OPD=OP=&=企.

12、372

【考点】IT：点到直线的距离公式.

(△)

【分析】直线li：kx-y+2=0与直线12：x+ky-2=0的斜率乘积=kXk=-1,(k=0

时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2),N(2,0).可得点M到直线x-y-4=0的距

离d为最大值.

1)

【解答】解：：直线L：kx-y+2=0与直线以x+ky-2=0的斜率乘积=kX'k=-1,(k=0时，两条直线

也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2),N(2,0).

两条直线的交点在以MN为直径的圆上.并且L=-l,可得MN与直线x-y-4=0垂直.

|0一右4|

点M到直线x-y-4=0的距离d=75=3,72为最大值.

故答案为：3近

[-2,-1]

13、

14、(1)(3)

15、①③④.

三、综合题

16、解析：（I）在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,NDAB=60°,CB=CD,

由余弦定理可知CO：=CDa+CB*-2CD-CB-ct^ysf=3CDa

即龙）=疝7。=石/£）,在&松。中，ZDAB=60°,BD=^3AD,则&四。为直角三角形，且

又AE_LBD,A0U平面AED,d&U平面AED,且加（14笈=/,故BD_L平面AED；

（II）由（I）可知4cl.cB,设C6=I,则C*=M=/，建立如图所示的空间直角坐标系，

/2X,2'，,-向量”-=-3网为平面血的一个法向量.

r-------f忑3c

«•££'=0.~2X~2y=^

设向量*=（*•»*）为平面皿W的法向量，则I加.加=°,即I，-.=",

-re・n1石

_cos<wFw>=ppj="^=—

取7=1,则“&♦=：,则**=（611）为平面的一个法向量.III,而

V5

二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为行"。

1

17、【解析】⑴线段AB上存在一点K,且当AK=Z\B时,BC〃平面DFK,

证明如下:

设H为AB的中点,连接EH,则BC〃EH,

1

又因为AK=4AB,F为AE的中点，

所以KF〃EH,所以KF//BC,

因为KFU平面DFK,BC4平面DFK,所以BC〃平面DFK.

(2)因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DFLAE.

因为平面ADE_L平面ABCE,所以DFJ_平面ABCE,

因为BEU平面ABCE,所以DF1BE.

又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中:AE=BE="2,

从而AE2+BE2=4=AB2,所以AE±BE,

因为AECIDF=F,所以BE_L平面ADE,

因为BEU平面BDE,所以平面BDE_L平面ADE.

18、解：(1)利用夹角公式求得直线/的斜率k=#-2或-J1-2,所求直线/的方程为

(小-2)*+/+5—。或(r+2)-对-5=0

(2)易得x+2y-4=0.

19、解：(1)因为圆夕与圆"外切并且与圆网内切，

所以..................1分

由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，长半轴长为2,短半轴长为臣的

椭圆，…3分(求出。=2。=1给1分，求出b=招得1分)则此方程为彳夕

.・,・4分

(2)设双曲线方程为W1-"2一=i，由椭圆W4+乙3_=i,求得两焦点为

所以对于双曲线CH=2,……5分又”为双曲线C的一条渐近线,

bCrV[

所以£一，解得"=1/1=3,…6分故双曲线C的方程~~3~.……7分

(3)解法一：由题意知直线，的斜率上存在且不等于零.

4

设，的方程：八5+4底山。，昭㈤，则以一工,°)

•.屈=4可4(勺+士㈤

8分

,一1=4(凝+工)，

所以.Y=；Vb从而

...小心力)在双曲线(7上，,•.炉44

9分

16+324+16"-竺炉一2I?=006-"中+32%+16-—A*=0

33

06谣+324+16-—*?=0.

同理有310分

若16—"=0,则直线/过顶点，不合题意，二16-

.!i(16-*?)?4-32x4-16--**=0二

•・A，A是二次方程3的两根.炉-163

二左'一•*,……11分此时A>0■二4所求Q的坐标为12分

解法二：由题意知直线/的斜率上存在且不等于零

4.

设】的方程：y双玉仍)，则jt'"."■"fl3=A0^=^G®,

二4T7(“4川・期巧号珀1=3=54==…8分又

8._L+_L=3

4+3=一另，ii一弓,即。+加纣小9分

»=i^

将“U+4代入3,得。一的「一附十目一姆=0,10分

2448-3A3

■,・二力+力=----=-------------3—

,■,I-*1**,否则，与渐近线平行.3-P3-k*.........11分

.飞2448-M?

"3-万=*3-d，：.*=±2,-G(t2,0)

12分

(3)求二面角A—PD—。的正弦值.

(3)解：过点£作威工如，垂足为机连接4"如图所示.

由(2)知，心江平面尸破4"在平面尸G9内的射影是£区

则可证得4KL烟.因此N4四是二面角力一如一C的平面角.由已知，可得/。430°.

还叵立

设力。=a可得44=a,AD=3a,PD=3a,AE=2a.

PJS^D而Q”

在RtZ\4F中，'：AMLPD,：.AM-PD=PA«AD,则4J/=ED=3=Ra.

M姮理

在口△/£(/中，sinZA(&=Mf=4.所以二面角力一/切一C的正弦值为4.

20、【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理.

【专题】计算题；证明题.

【分析】(I)由己知中DE，平面ABCD,ABCD是边长为3的正方形，我们可得DELAC,AC±BD,结合线面垂直的判

定定理可得ACJ_平面BDE；

(II)以D为坐标原点，DA,DC,DE方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE

的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值；

(III)由已知中M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).根据AM〃平面BEF,则直线AM的方向向量与平面BEF

法向量垂直，数量积为0,构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置.

【解答】证明：(I)因为DEJ_平面ABCD,所以DELAC.

因为ABCD是正方形，所以AC_LBD,

从而AC_L平面BDE.…(4分)

解：(H)因为DA,DC,DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

因为BE与平面ABCD所成角为60",即NDBE=60°,

ED_r-

所以而共3

由AD=3,可知DE=3捉，密

则A(3,o,0),)⑶0,V6),E(0,0,3瓜),B(3,3,0),c(0,3,o),

所以而=(0,-3,娓),而=(3,0,-2混).

n-BF=Of-3y+V6z=0

<_<

设平面BEF的法向量为1(x,y,z),则而=0,即13x-2企z=0.

令2=加，则n=(4，2,巫).

因为AC,平面BDE,所以取为平面BDE的法向量，CA=(3,-3,0),

-右、二n"CA_______6

所以cosn，In||CAI3^2XV2613

\[13

因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为石.…(8分)

(III)点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).

贝网=(t-3,t,0).

因为AM〃平面BEF,

所以AM・n=O,即4(t-3)+2t=0,解得t=2.

此时，点M坐标为（2,2,0），

BM^BD

即当3时，AM〃平面BEF.…（12分）

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的

位置关系，其中（I）的关键是证得DELAC,AC1BD,熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标

系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM〃平面BEF,则直线AM

的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0,构造关于t的方程.

/（xj=x+-

21、解:（1）、因为函数X的图象过点

所以

—=2+±=°=1

222

分

函数」（X》在《&『上是减函数.4分

（2）、（理）设

5分

直线PM的斜率一1

则F