2019高等数学(下册)期末考试试题(含答案)

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答

案）

一、解答题

1.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性:

drdy

⑴

⑵』"曹篙）（°<”<以乂田区也■

解:⑴』（x2d3），，，=I「d可〉-dr=2可：产2，"=2万]产25

2-2m

jr2+y2<l））0

71.

------m<1

\-m

oom>1

故当机<1时，原积分收敛，当机21时，原积分发散。

（2）由于f+盯+72=1.。2+>2）+J（x+y）2>。（当（%J）W（0,0）时）

故52+中+加wy2ywy+盯+（当a，y）'（o，。）时）

再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分

同敛散。

p

5<i（%+孙+»）'J；y2（x+xy+y）

由于「_■1_r->0（当（x,y）#（0,0）时），采用极坐标即得

[x+xy+yV

JJdxdy_产d。pdr

2，一

x+y

:2"d

而f-——0_「为常义积分，其值为有限数,

Jo（1Y

Il+|sin2^I

1,

而Jroi尸dr=2--（-1-一---），〃<1；

4-oo,p>\.

由此可知：原积分“20(x，y)2pdxdy当时收敛,当时发散。

2.求下各微分方程的通解：

(l)2y"+y'-y=2e';

解：2r2+r-1=0

,1

"=一"=]

得相应齐次方程的通解为

।

-_£328

y=qe+c2e

令特解为y*=Ae*,代入原方程得

2Ae'+Ae'-Aev=2ev,

解得A=l,故y*=e。

X

tJ

故原方程通解为^=e+c1e-+c2e\

(2)2/+5/=5%2-2%-1；

解：2尸+5厂=0

4=0,5=三

_5.

r

对应齐次方程通解为y=q+c2e-

令y*=x(ax2+历:+c),代入原方程得

2(6<zr+2b)+5(3ax2+2bx+c)=5x2—2x—l

比较等式两边系数得

故方程所求通解为y=G+,2e3*+1；兀3-[%2+±%)

⑶y"+3y'+2y=3屁

解：r2+3r+2=0

1=-1,弓=~2,

-JC_2jc

对应齐次方程通解为y=cle+c2e

令y*=x(Ax+8)e-,代入原方程得

(2AX+B+2A)QX=3叱

3

解得A=-,B=-3

2

则>=（尹一可尸

2v

2x+^|x-3xje-.

故所求通解为y=qe-x+c2e-

(4)y"-2v+5y=e'sin2x；

解：r2-2r+5=0

q2=1±2/

相应齐次方程的通解为

v

y=e(c,cos2x+c2sin2x)

令y"=xe'(Acos2x+3sin2x),代入原方程并整理得

4Bcos2x-4Asin2x=sin2x

得A=--,B=0

4

则y*=——jceAcos2x

4

xx

故所求通解为y=e(clcos2x+c2sin2x)-:xecos2x.

(5)y"+2y'+y=x;

解：r2+2r+l=0

(2=T

X

相应齐次方程通解为y=(c,+C2x)e-

令y*=Ax+B代入原方程得

2A+Ax+3=x

得A=lB=-2

则y*=x-2

v

故所求通解为y=(C]+c2x)e~+x-2

(6)/-4/+4y=e2'.

解：r2-4r+4=0

%=2

对应齐次方程通解为y=(q+。2幻，*

令y*=A?e2*代入原方程得

2A=1,A=±

2

2x22x

故原方程通解为y=(q+c2x)e+1xe

3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1)7-4y'+3y=0,^=6,4力=10;

2

解：特征方程为r-4r+3=0

解得{=1,4=3

3x

通解为y=qe'+c2e

3

y'-qe*+3c2e'

c,+c,=6[c.=4

由初始条件得\12=>\1

q+3G=1()c2=2

故方程所求特解为y=4ev+2e3A.

(2)4y"+4y'+y=0,引A0=2,y，«

解：特征方程为4/+4/*+1=0

1

解得

上

通解为2

y=(G+c2x)e

q=2

由初始条件得1

1

故方程所求特解为y=(2+x)e*

(3)/+4y'+29y=0,乂皿=0,/|^0=15;

解：特征方程为尸2+4〃+29=0

解得/;2=-2±5Z

通解为y=(qcos5x+c2sin5x)

r-2v

y=e[(5c2-2q)cos5x+(-5q-2c2)sin5x]

q=0q=0

由初始条件得，=<

5c2-2q二=15g=3

故方程所求特解为y=3e-2Asin5x.

(4)y"+25y=0,此句=2,处皿=5.

解：特征方程为r+25=0

解得?2=±5i

通解为y=c}cos5x+c2sin5x

r

y=_5clsin5x+5c2cos5x

Cj=2jq=2

由初始条件得vn1

5c2=5c?2=1

故方程所求特解为y=2cos5x+sin5x.

4.求下列微分方程的通解:

⑴y"+y'—2y=0;

解：特征方程为r2+r—2=0

解得4=1,r2=-2

故原方程通解为y=qe*+c2e-2”.

⑵y"+y=0;

解：特征方程为r2+l=0

解得?2=±i

故原方程通解为y=Gcosx+c2sinx

(

(3)4W\~X-20d%r+25x=0；

drdr

解：特征方程为4r2-20r+25=0

解得4=弓=g

5

2

故原方程通解为x=(G+c2t)e'.

(4)y"—4y'+5y=0;

2

解：特征方程为r-4r+5=0

解得d=2±i

2A

故原方程通解为y=e(<?!cosx+c2sinx).

(5)y"+4y'+4y=0;

解：特征方程为产+4r+4=。

解得弓=2=-2

2A

故原方程通解为y=e-(c,+c2x)

(6)/-3/+2y=0.

解：特征方程为r2-3r+2=0

解得r=1,r=2

2v

故原方程通解为y=qe'+c2e.

5.计算下列对坐标的曲面积分:

(l)j[x2y2zdxdy,其中X是球面f+y+z2=R2的下半部分的下侧；

⑵zdxdy+仙比+)dzdx,其中E是柱面x2+>,2=l被平面z=0及z=3所截得的在第I封限

内的部分的前侧；

⑶W(x,y,z)+x]dydz+[2/(x,y,z)+y]dzdx+[/(x,y,z)+z]dxdy,其中J(x,y,z)为连续

函数，Z是平面x-y+z=l在第IV封限部分的上侧；

(4)jjxzclrdy+xydjxlz+yzdzdx,其中Z1是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z-\所围成的空间区域的

整个边界曲面的外侧；

⑸jj.(y-z)dydz+(z-x)dzdr+(x-y)dxdy,其中Z为曲面z=+'与平面z=/?(/?>0)

所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

⑹Jj,y（x-z）dydz+x2dzdx+（y2+xz）drdy,其中£为x^y-z-O,4y=z=a所围成的正方体

表面，取外侧为正向；

解：（1）£：z=-^R1-x1-y2,下侧，Z在xOy面上的投影区域分为：x2+y2</?2.

222222

|£xyzdrdy=-乩xy-x-y）dxdy

=-/de],r4cos2Osin。。（_4片_r）rdr

=一黑飞/2例可:[（/_"）+/?*.血2_闿（代_,）

7

=-'J：（l-C0S4。）呵：[内病二-2心加2一.）3+J（R2一产）5]d（R2_/）

L-1If

\734577

=一77之兀[RY*_/户--R（7?2-r2）2+—（/?2-r2）2

16|_357Jo

105

（2）2如图11-8所示，Z在xOy面的投影为一段弧，

图11-8

故JJ,zdrdy=0,2在)，Oz面上的投影

Dyz={(jy,z)|O<y<l,0<z<3},此时2•可表示为:

x=—,(y,z)GDV2,

故||.rdydz=Jj。-y2dydz

=3~1-),孙

Z在xOz面上的投影为DA.Z={(X,Z)|0<A<1,0<z<3},此时Z可表示为:

y=Jl-x~,(x,z)£Dxz,

故JJ>dzdr=Q"-x2dzdx

=J；dzJ；\ll-x2dx

=3J。\]l-x2dx

因此：zcbxly+xdydz+ydzdx

=2区7^7同

=6j；>/1-？dr

=6-

4

_3K

-T

(3)E如图11-9所示，平面尸y+z=l上侧的法向量为

〃={1,-1,1},〃的方向余弦为

1〃T1

COSa=-7=,COSP=-7=,COS/--i=,

6出超

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得:

y,z)+x~]dydz+[2/(x,y,z)+y]dzdr+[/(%,y,z)+z]dvdy

=JJ「(/+%)cosads+(2/+y)cos0ds+(/+z)drdy

ff/.\cosa」,八\COs4」,,」

=(/+x)-----d.vdy+(2/+y)-----dxdy+(/+z)dxdy

JJwcos/cos/

=J([(/+x)-(2/+y)+(/+z)]dxdy

=JL(x-y+z)dxdy

=JL,(x一)')+1一(x一切心dy

=U”dy

111

=­x1x1

2

~2

(4)如图UTO所示:

图11-10

X—X\+E2+E3+N4.其方程分别为2：z=0,Z2：x=0,Z3：y=0,£4：x+y+z=l,

故j^xzdrdy

=i<«

=0+0+0+jjxzdxdy

=限”(1-'一)')心心，

=JW(i*y)dy=：

由积分变元的轮换对称性可知.

口「.ndjxiz=JJyzdzdr

因止匕.jjxzdxdy+A3'dydz+yzdzdx

=3x±=l

248

⑸记Z所围成的立体为0,由高斯公式有：

Jjv(y-z)dydz+(z-x)dzd.r+(x-y)drdy

=fff(生二)+旦旺+遐*dxdydz

JJJc(axdydz)

=JJ£?Odrdjdz=0

(6)记E所围的立方体为0,

P=y(x-z),Z?=y2+xz.

由高斯公式有

JJj(X-z)dydz+x2dzdx+(/+xz)dxdy

(dPSQOR]、

=r叫rf菽+诙+在悭)也

TJLa+y^dydz

=1：WdyJ：(x+y)dz

=］：呵：始+加

仙孙+]口

LZ」o

paQ-2-

Iacix+—dx

JoL2J

6.证明：坐—在整个x。)，平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元

x~+y

函数的全微分，并求出这样的一个二元函数.

证：P=J,,。=,),,显然G是单连通的，P和。在G内具有一阶连续偏导

X-+yx-+y

数，并且.

3P5Q-2xy

—=—=--------2，(x,y)eG

力dx(x2+y2)

因此弋:髻在开区域G内是某个二元函数〃(x,y)的全微分.

22

上xdx+ydyld(x+y)=d^ln(x2+y2)

田一2~

x2+y22x2+y2

知M(x,y)=^ln(%2+y2).

7.指出下列各微分方程的阶数：

(1)x(y')2-2y/+x=0;一阶

⑵》2,“一个，+丁=0；二阶

(3)个"'+2歹'+/3；=0；三阶

(4)(7x-6y)dr+(x+y)dy=0.一阶

8.设厂为曲线x=r,y=P,z=p上相应于，从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分

Pdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分.

解：由x=f,产落z=户得

22

dx=dtfdy=2tdt=2xdt,dz=3rdt=3ydt,ds=Jl+4x+9yd/.

故cosa=^=/1

dsJl+4Y+9y2

ady2x

COSP=—=I

ds71+4%2+9/

dz3y

cosy=­=,/

ds71+4%2+9/

bkfn」〜nirP+2xQ+3yH]

因而Pdx+Qdx+Hdx=/3=d9

〃J「Jl+4d+9y2

9.计算下列对面积的曲面积分：

（1）JJ、（z+2x+f由，其中£为平面（=1在第/卦限中的部分；

（2）“,（2孙-2x?-x+z）ds,其中W为平面2x+2y+z=6在第/卦限中的部分；

（3）JJ.（x+y+z）ds淇中X为球面f+y2+z2=q2上zN〃（0</2<a）的部分；

⑷JL（孙+"+ZX）dS,其中W为锥面Z=J%2+y2被柱面了2+丫2=2如所截得的有限部

分；

（5）儿（/?2-V一力由,其中巾为上半球面Z=JR2一I一/2.

4一

解：（1）N:z=4-2x-§y（如图10-69所不）

故

JL(z+2x+g)，>=[J。4.=半①dxdy

哼x*x3=4对

ds=丁+(-2尸+(-2)2(1处=3dxdy

J£(2xy-2x2-X+z)ds=JJo3(2xy-2x2-3x-2y+6)cUdy

=3/dx£[2xy-2x2-3x-2y+6)dy

=3J。[(6-3x-2x2)(3-x)4-(x-1)(3-x)2]dr

r31027

=3Jo(3X3-1OX2+9)dr=--.

(3)N:z=yla2-x2-y2且其在xOy面上的投影为D^+^cT-h2且

&'=收2…^2x一村?-十7回一~^1y户「六工a”

故

a,1

JL*+y+z)+=(x4-y4-yja2—x2—y2axdy

JJQ-x2-y2

又寸称相匕Z2i2\

---ffad1xd.y=Tui(a-n).

"xy

(4)z=&2+y2,%:x2+y2<lax

1+^^+dxdy=42dxdy

X+y~X2+y2

故

JL(孙+"+〃)由=何［。［孙+(尤+y)&2+y2出dy

=力J；d。J。［r2sin8cos0+r2(cos0+sin6)］rdr

~2

21

=四/)(sin6cos6+cos夕sin6),二(2。cos8)“d0

J—)

2-

4554

=4V26Zj(sjn^cos0+cos0+sin^coseX。

~2

=8夜/f2cos5^d^=8缶&----=—

J。5315

⑸%:丁+西双

一Xy(-y、dxdy=R±rdy

ds=Jl+

22+JR2_j2_y2)

NN-x-y)卜-2.

故

2

jjqR2_%2由_JjRdrdy=R-欣=TIR，

10.求由抛物线y=f及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数0）。对于直线y=-

1的转动惯量。

图10-65

解：I=+2do"=0J：cUj：(y+l)2dy=?(y+l)3dx

1J：［8-(炉+1)3］的=黑夕

11.已知均匀矩形板（面密度为常量.）的长和宽分别为力和小计算此矩形板对于通过其

形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-36所示.

bhh[

1V

4=JLy"dy=j5drRy2pdy=小py2dy=pbh3,

…-2-2-21，

bAi

k2

ly=JJ-20dy=J%px2dxJjdy=JjphxAx=—phb\

…-2~2~2

12.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域。如下，求指定的转动惯量：

X2y2.

(1)0：—+-^-<1,求/),；

o

(2)0由抛物线V=与直线42所围成，求人和小

(3)D为矩形闭区域：OWxW”,0WyW6,求人和Iy.

解：(1)令x=arcos。,y=%rsin。,则在此变换下

尤2v2

D：3+=41变化为。'：W1,即

a~b

OWrWl,0W0W2?r,且')=abr,

d(r,0)

所以

222

/,=Jk2dx由，=儿arcos0abrdrd0=a司:cos?，dej『dr

=「'(1+cos26)d0--na3b.

8J。4

(2)闭区域。如图10-35所示

图10-35

A

4=lLy&dy=2

：3J。2V25

4=E/&dy=22

dy=2考•

⑶“JLy2dxdy=J：MVdy=d：y2dy*,

/)=Jk&dy=J：x&J：d)，=J；版2dx=21

13.求锥面z=J。+避被柱面z?=2x所割下部分的曲面面积。

解：由z2=?+/,Z2=2X两式消去Z得

x2+y2=2x,则所求曲面在xOy面上的投影区域D为:f+y2w2x,而

dzX

故所求曲面的面积为.

Adxdy=J/。V2dxdy=2d°J；'"y/2rdr

2cos。nn

=3/rd6=4后Jjcos?0d0=2>/2£2(1+cos26)d6=0TL

14.计算下列向量场A的散度与旋度:

⑴A=(V+z2*2+-+力；

解：0,2(y-z,z-x,x-y)

222

(2)4=(^xyz9xyz,xyz^；

解：6孙,卜(22-y2),y(;r2-z2),z(y2-J:2))

x__y__z_

(3)4=

yz'zx'xy

解：J-+-L+L」

yzzxxyxyz\zyxzyx

15.利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积:

(1)Z=6-2一寸及z={f+y2.

(2)x2+y2+z2=2〃Z(Q>0)及x2+y2=z2(含有z轴的部分)；

(3)z=y/x2+y2及z=x2+/；

(4)z=y]5-x2+y2及x2+y2=4z.

解：(1)曲面围成的立体。如图10-55所示。

在柱面坐标系下，Q可表示为：

0<6»<2TT

<0<r<2

r<z<6-r2

图10-55

用柱面坐标可求得Q的体积

v=[ffdv=fffrdrdOdz=["rd”，，dz

JJJaJJJr?JoJoJr

-2nf(6r-r2-r3)dr=2^3r2-—r3-—r4=—n.

%L34Jo3

(2)曲面围成的立体Q如图10-56所示。

在球面坐标系下Q可表示为：

O<0<2n

c71

0<r<2czcos(p

图10-56

利用球面坐标可求得Q的体积:

"=BIcdu=JfU'n岗2岗"=，)dApsinW。/)c0s

4

=2对肆Ye。/修也喝夕=2兀.2/_lcos4^=na\

°33L4Jo

(3)曲面围成的立体Q如图10-57所示。

在柱面坐标系下，。可表示为：

0<6»<2TT

<0<r<l

r2<z<r

图10-57

利用柱面坐标可求得。的体积：

v=WLdv=『d可;呵dz=2或(产r3)dr

314T

=2"兀—】r—r=­兀.

134Jo6

(4)曲面围成的立体。如图10-58所示。在柱面坐标系下，2可表示为:

0W9M2万

0<r<2

—<z<，5-3

4

图10-58

利用柱面坐标可求得Q的体积:

v=rd0drdz=drdrj^-dz

=—白（5—一?尸=:兀（5逐一4）・

3Iodo。

16.三个力Q=(l,2,3),&=(-2,3,-4),尸3=。,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余

弦.

解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

|/?|=>/22+12+42=721

cosa=

17.研究下列函数的极值:

（1）Z=J+y3—3”+）?）；(2)z=e"(x+y2+2y)；

(3)z=(6x—J)(4y—y2);(4)z=(x2+y2)e-('+四；

(5)z=xy(a-x—y),a^0.

（1）解方程组,z*=3X2-6X=0

解:

.Z>=3y2_6y=0

得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).

zn=6x_6,zvv=0,zvv=6y-6

在点(0,0)处，A=~6,3=0,C=-6,B2-AC=-36<0,且A<0,所以函数有极大值

z(0,0)=0.

在点(0,2)处，A=-6,B=0,C=6,B2—AC=36>0,所以(0,2)点不是极值点.

在点(2,0)处，A=6,8=0,C=-6,B2—AC=36>0,所以(2,0)点不是极值点.

在点(2,2)处,A=6,B=0,C=6,B2-4c=-36<0,且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

z^=e2A(2x+2/+4y+l)=0

（2）解方程组《

2A

zv=2e(y+l)=0

得驻点为

z.=4€2'(*+：/+2丁+1)

z刀=4e2'(y+l)

z»=2e2，

在点g,-1)处,A=2e,3=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值=-/

(3)解方程组,z*=(6-2x)(4y-/)=0

=(6x-x2)(4-2y)=0

得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z„~—2(4y-y2),

Zxy=4(3—x)(2—y)

--2

Zvv=2(6xx)

在点(3,2)处，A=-8,B=0,C=-18,B2—47=—8X18<0,且4c0,所以函数有极大值

z(3,2)=36.

在点(0,0)处，A=0,B=24,C=0,^-AOO,所以(0,0)点不是极值点.

在点(0,4)处，A=0,B=-24,C=0,B2-AOO,所以(0,4)不是极值点.

在点(6,0)处，A=0,B=~24,C=0,B2~AOO,所以(6,0)不是极值点.

在点(6,4)处，A=0,B=24,C=0,炉一ACO,所以(6,4)不是极值点.

)(l-x2-/)=O

(4)解方程组,a

2ye-(^+y>(l-x2-/)=0

得驻点尸o(O,O),及产(期,必),其中沏2+兆2=1,

在点A处有z=0,而当在,y)#(0,0)时，恒有z>0,

故函数z在点方处取得极小值z=0.

再讨论函数z=ue"

由包=片"(1一“)，令包=0得〃=1,

dudu

当w>l时，—<0；当w<l时,—>0,

dudu

由此可知，在满足城+为2=1的点(即,光)的邻域内，不论是f+)2>l或f+y2<],均有

z=(x2+y2)e-<-'"+'"1<e"1.

故函数z在点(xo,y°)取得极大值z=e]

Z、.=y(a-2x-y)=0

(5)解方程组

zy=x(a-2y-x)=Q

得驻点为片(0,0),鸟

Zxv=_2y,Zxy^a-2x-2y,zyy=-2x.

-2ya-2x-2y

故z的黑塞矩阵为H=

ci-2x-2y-2x

2aa

0a33

于是“(用=,H(P)=

au2a2a

__3T

易知"(P|)不定，故尸I不是z的极值点,

H(P2)当“<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且=

H(P2)当“>0时负定，故此时巳是z的极大值点，且z(飘)=|^.

18.求函数〃二肛2+23_巧立在点(1,1,2)处沿方向角为二=三,"=］的方向导数。

皿dudududu

解：一=—cosa+—cosp+—COS/

eidx(1,1.2)(1.1,2)&(1,1,2)

2

=(V-J2)cos>(2孙-xz)|(1.1.2)cos:+(3z-^)|(1|2)cosg=5.

19.求下曲线在给定点的切线和法平面方程:

(l)x=asin2/j=加in/cos/,z=ccos)点/=—;

4

(2)/+y2+zJ6,元+y+z=0,点M)(1,一2』)；

⑶/二23,z2M-乂点M)(MJO,ZO).

解：xr=2asintcost,y'=bcos2f,zr=-2ccostsint

曲线在点1二二TT的切向量为

4

TTbc

当1=巴时,x==-，z=—

422

切线方程为

法平面方程为

即

22

(2)联立方程组

x2+y2+z2=6,

V

x+y+z=0

它确定了函数y=y(x),z=za),方程组两边对x求导，得

dyT2o

一zdz

2元+2yz-

dx

出

1+1一-o

〔dxdx

50dyz-xdz_x-y

解得—=-----

dxy-zdxy-z

在点M)(1,-2,1)处，工=0,—=-l

dxdxM

所以切向量为｛1,0,-1).

故切线方程为

x-1y+2z-l

~r~o

法平面方程为

l(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0

即x~z=0.

(3)将方程y2=2nir,z2=A；z-x两边分别对x求导，得

-dy--dz,

2y—=2m,2z—=-l

dxdx

于是电=',dz_1

dxvdr2z

m1

曲线在点(的加々)处的切向量为《1,1~—卜,故切线方程为

I%2z°J

xf_y-%_z-z°

1m1

%2z0

法平面方程为

m1

__

(X-X0)H—(yyo)7~(z-z0)=o.

y。2zo

20.矩型一边长〃=10cm,另一边长b=24cm,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时，求对

角线长的变化.

解：设矩形对角线长为/,则

/=J/+y2,出-J；一(xdx+ydy).

y)x2+y2

当x=10,y=24,dr=0.4,dy=-0.1时，

d/=,1(10x0.4-24x0.1)=0.062(cm)

V102+242

故矩形的对角线长约增加0.062cm.

21.设z=xln(xy),求；及°、工、

dx2dydxdy2

解：—=%­—+ln(xy)=1+ln(Ay),

dxxy

必二y二1匹=。,

dx2xyx'dx~dy

d2z_x_1d3z41

dxdyxyydxdy1/,

22.已知j(x,y)=A2+y2-xytan一，试求f(tx,ty).

y

tx

解：f(tx,ty)=(tx)2+(Zy)2-•fytan—=r/(x,y\

23.指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：

22

(1)x2+—1;(2)36f+9y2—4z=36；

2222

(3)x2--———=1；(4)%2+-———=11;

4949

2

(5)%2+^2--=0.