2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）附答案

2021年高考数学真题试卷(新高考I卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。(共8题；共40分)

1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},则AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

B

【考点】交集及其运算

解：根据交集的定义易知ACB是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3},

故答案为：B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

2.已知z=2-i,贝山zC+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

C

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算

解：z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故答案为：C

【分析】根据复数的运算，结合共舸复数的定义求解即可.

3.已知圆锥的底面半径为V2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2V2C.4D.4V2

B

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)

解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为I,底面半径为r,则有2nr=^x2"l,

360

解得I=2r=2企

故答案为：B

【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

4.下列区间中，函数f(x)=7sin(-7)单调递增的区间是()

八xO

A.(0,1)B.(；JT)C.(n,y)D.(y,2n)

A

【考点】正弦函数的单调性

解：由一：+2k冗工x—；■W1+2k兀得一孑+2kn<x<^-4-2kn,k£Z,当k=0时，一；，号

是函数的一个增区间，显然(0,号］,

故答案为：A

【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.

5.已知臼后是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MFI|・|MF2|的最大值为()

94

A.13B.12C.9D.6

C

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义

22

解:由椭圆的定义可知a=9,b=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

则由基本不等式可得|MF1|21s(皿哼型)=9，

当且仅当|MFI|=|MF2|=3时,等号成立.

故答案为：C

【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.

...„.sin0(l+sin2n)

6.若tan0=-2,则---------=(z)

sin0+cos°

C

【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用

sin0(sin20+2sin0cos0+cos20)_sin0(sin0+cos0)2

解:原式==sin0(sin0+cos。)

sin6+cos。sinO+cos。

_siMe+sin6cos。_tan20+tan0_2

sin20+cos2^tan20+15

故答案为：c

【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.

7.若过点(a,b)可以作曲线y=e'的两条切线，贝U()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

D

【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程

解：由题意易知，当X趋近于-8时，切线为x=0,当X趋近于+8时，切线为y=+8,因此切线的交点必位

于第一象限，且在曲线y=e'的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件"第一次

取出的球的数字是1",乙表示事件“第二次取出的球的数字是2",丙表示事件"两次取出的球的数字之和

是8",丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7”,则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

B

【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式

解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),

则P(4)=P(B)=9「«)=短='PS)=忌=*，

对于A,P(AC)=0；

对于B,PQ4D)=±1

36

对于c,P(BC)=*=9

对于D,P(CD)=O.

若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),

故B正确.

故答案为：B

【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共20分)

9.有一组样本数据xi,X2,.,Xn,由这组数据得到新样本数据yi,y2，…,y。,其中环=为+3=1,2，…,n),c为非零

常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

C,D

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

解：对于A,3=与+"+一+多，当+“+-+即=H+4+-+8“+。=元+©,因为所以完片歹，

nnn/

故A错误；

对于B,若X1,X2,......,Xn的中位数为Xk，因为y=Xi+C,因为CHO,所以丫1,丫2,……M的中位数为

yk=Xk+cHXk,故B错误；

对于c,yi,y2;......,yn的标准差为Sy=；—丫产+(/一川井+…(%—丫产=

+C)—Q+c)]2+[(切+C)—Q+c)]2+…+C)—(7+c)]2

2x22

=；V-y)+(2-y)+•••Un-y)=sx,故c正确；

对于D,设样本数据X1,X2,......,Xn中的最大为Xn,最小为Xi,因为yi=Xi+C,所以y02,...yn中的最大为

yn,最小为yi,

极差为yn-yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xl,故D正确.

故答案为：CD

【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cosB，-sin0),P3(cos(a邛),sin(a+。))，A(l,0),则()

A-I0P1I=loplB-lAPil=IAPIC'0A0R=0P1OPDOA,OPI=0P2-0P3

A,C

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角

和与差的正弦公式

cos22

解：|0P1|=Vcos2a+sin2a=1,\OP2\=7/^+sinj?=1，故A正确;

因为14Pli=J(cosa-+sin2a=72—2cosa,14P21=J(cos0二1尸+siM/?=J2-2cos0，故

B错误；

因为04-0P3=1xcos(a+/?)+0xsin(a+/?)=cos(a+0)‘

0Pr-0P2=cosacos。-sinasin/=cos(a+0),

所以&-0P3=0Pr-0P2

故C正确；

因为04•0P1=1xcosa+0xsina=cosa,

0P2-0P3=(cosg,—sin/?)•(cos(a+0),sin(a+£))=cos/?xcos(a+/?)+(—sin/?)xsin(a+口)=

cos(a+20),

所以D错误

故答案为：AC.

【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.

11.已知点P在圆。-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),贝lj()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时,|PB|=3V2

D.当NPBA最大时，|PB|=3V2

A,C,D

【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

解：直线AB为：3+：=1,即x+2y-4=0,

设点P(5+4cos。，5+4sin0),则点P到直线AB的距离为d=归+宜9隹fin”型=11+4、"n(e+a),则

11-4V5„

djnax=~<1°,dmin

所以A正确B错误；

又圆心。为(5,5),半径为4,则|0B|=,(5-0)2+(5-29=南,

所以当直线PB与圆相切时，NPBA取得最值，此时，\PB\=J\OB\2-r2=V34-16=3A/2

所以CD正确

故答案为：ACD.

【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.

12.在正三棱柱ABC-4"1的中，AB=A4=1，点P满足方=4近+4两，其中入W[0,1],〃

日0,1],则()

A.当入=1时，△ABXP的周长为定值

B.当口=1时，三棱锥P-AiBC的体积为定值

C.当人=：时，有且仅有一个点P,使得力铲1BP

D.当口=：时，有且仅有一个点P，使得&B,平面ABiP

B,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

解：由点P满足~PB=ABC+〃西可知点P在正方形BCCiBi内，

对于A,当入=1时，可知点P在CCi（包括端点）上运动，如下图所示，AABiP中，AB、=遮,AP=

Bj_P=J]+（1-4）2,

因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.

对于B,当”=1时，可知点P在BiCi（包括端点）上运动，如下图所示,

易知BiCi〃平面AiBC,即点P到平面AiBC的距离处处相等，

△AiBC的面积是定值，所以三棱锥P-AiBC的体积为定值，故B正确；

对于C,当；1=；时，分别取线段BB1,CC1的中点M,N,可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如

下图所示,

很显然若点P与D,Di重合，均满足题意,故C正确;

对于D,当〃=：时,分别取线段BBiCCi的中点D,Di,可知点P在线段DDi（包括端点）上运动,

如下图所示,

A,

7;

B

此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

故答案为：BD

【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直

的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分(共4题；共20分)

13.已知函数f(x)=x\a-2x-2-x)是偶函数，则a=

1

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

解:设g{x}=a-2x-2-x,则题意可知函数g(x)为奇函数,则虱0曰20-2—；=0,故a=l

故答案为：1

【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.

14.已知O为坐标原点，抛物线C:丫2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴

上一点，且PQLOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为

3

X=-2

【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义

解：由题意可设P&p),则K°P=2,KQP=，

因此直线PQ的方程为：y-p=-i(x-Q

令y=0,得x=|p

因此|FQI=,P-§=2P=6

则p=3

因此抛物线C的准线方程为：x=-l=~l

【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.

15.函数f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值为

1

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用

解：①当时，f(x)=2x-l-2lnx,则/'0)=2—：=与卫，

当X>1时，f'(X)>0,当］<X<1时，f'(X)<0,所以f(x)min=f(1)=1；

②当0<xW；时，f(x)=l-2x-2lnx,则/'(x)=-2-5=一汽虫<0,

此时函数f(x)=l-2x-2lnx在(0,1］上为减函数，则f(x)min=f=21n2>1,

综上，f(X)min=l

故答案为：1

【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dmxl2dm

的长方形纸.对折1次共可以得到lOdmx2dm、20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240

dm2,对折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

2

S2=180dm„以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么

Sk=isk=dm.

5；720—240.*

【考点】数列的求和，类比推理

解：对折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4种,面积和为3=4x30=120dm2;

2

对折4次有1.25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5种，面积和为S4=5xl5=75dm;

对折n次有n+1中类型，Sn=^(n+1),

因此盒=240.偿+»…+等)，转为=240.仔+/+...+/)，

上式相减，得转%=240•(1+蠢+表+…+/一霜)=240(|一需)

则翱=240(3—噤)=720-240-

故答案为：5,720-240-

n

【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求£Sk.

k=l

四、解答题：本题共6小题，共70分。(共6题；共70分)

a+1,n为奇数

17.已知数列｛an｝满足%=1,an+1｛n2工

an+2,rt为偶数

(1)记bn=a2n>写出瓦，b2,并求数列｛b｝的通项公式；

(2)求｛斯｝的前20项和

(1)2n为偶数，

则a2n+l=a2n+2>a2n+2=a2n+l+1，

aa

2n+2—2n+3,即bn+1=bn+3，且瓦=(^=即+1=2，

.••{,}是以2为首项，3为公差的等差数列,

**•b]=2fb?=59byi=3n—1.

（2）当n为奇数时，an=an+1-1,

・•・{an］的前20项和为

%+。2+…+a20

=（Q1+的■•---1-。19）+（a2+。4------。20）

=［（。2-1）+（a4-1）+…+（。20-1）］+（。2+。4+…+a20）

=2（a2+。4+…+。20）—10・

由（1）可知，

10x9

。2+。4+…+a20=&+历+…+瓦o=2x10H---x3=155.

{an）的前20项和为2x155-10=300.

【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和

【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；

（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.

18.某学校组织"一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题•每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从

中随机抽取一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一

个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0

分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为06且能正确回答问题的概率与

回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

（1）X的取值可能为0,20,100,

尸（X=0）=1-0.8=0.2,

P（X=20）=0.8x（1-0.6）=0.32,

P（X=100）=0.8X0.6=0.48,

■■X的分布列为

X020100

p0.20.320.48

(2)假设先答B类题，得分为Y,

则Y可能为0,80,100,

P(Y=0)=1-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(Y=100)=0.6X0.8=0.48,

Y的分布列为

Y080100

P0.40.120.48

•••E(y)=0x0.4+80x0.12+100X0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

E(y)>E(X),

应先答B类题.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【分析】(I)根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；

(2)根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.

19.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a.,b.,c,已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求cos/ABC.

4c_aB

sir148csinC

•・•BDsin^ABC=asinC,

..22.=a⑨

sinCsxnZABC°'

联立①②得啜="，即ac=b•BO,

BDa

vb2=ac,

・•・BD=b.

(2)若4。=2DC,

△ABC中，cosC=1一2一产③,

2-a-b

,a2+(^)2-b2-

△BCD中，cosC=-』一④,

Za3

,:③=④，

(a2+b2-c2)=3[a2+(1)2-b2],

整理得M+一C2=3a2+/3b2,

•"a?-M+c2=0.

vb2=ac,

QO

・•・6a2—Hac+3c2=0,即或。=万。，

若。=♦时，h2=ac=—,

33

222

rn.l/Ar＞「a+C-b3c27/仝、

贝UCOS^ABC=-------=2^——2-=2~；=7(舍)，

2ac-c仔26

若Q=|C,b2=ac=^c2,

a2+c2-b27

则cos^ABC

2ac12

【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【分析】(1)根据正弦定理求解即可;

(2)根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.

AB=AD.O三棱锥A-BCD中.平面ABDJ_平面BCD,AB=AD.O为BD的中点.

(1)证明：OA_LCD：

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45。，求三棱

锥A-BCD的体积.

(1)•••AB=AD,0为BD中点，

AO1BD,

；4。u面ABD,

面ABD1面BCD且面ABDn面BCD=BD,

4。J.面BCD,

AO1CD.

(2)以。为坐标原点，0D为y轴，。4为z轴，垂直0D且过。的直线为x轴,

设C(y,1,0),0(0,1,0),5(0,-1,0),4(0,0,m),七(0彳，|机)，

；EB=(O,_/_刎)>BC-(y<|,0)>

设近=(%1，%*1)为面EBC法向量，

而.苏=_'一|吟=0

｛说石=yXt+1%=0

2yl+mz1=0

｛%i+V3yt=0'

2

令乃=1，;Zi=—/，x1=­V3,

=(-V3,1,-')，

面BCD法向量为0A=(0,0,m)，

cos何，两=1^^=1=苧，解得巾=1,

・•・OA=1,

S^ABD=鼻xBDxOA=-x2xl=l,

VA-BCD=^-S^ABD-\XC\=^.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向

量求平面间的夹角

【分析】(1)根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；

(2)利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.在平面直角坐标系xOy中,己知点Fi(-V17,0),F2(V17,0),点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=?上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA||TB|=|T叶|TQ|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

(1)•••IMF/-|MF2|=2,

•••轨迹C为双曲线右半支，c2=17,2a=2,

・•・a2=1,h2=16,

・,・%2—=1(%>0).

(2)设T(1,n),

设4B：y-n=^(x-|),

y-n=/c1(x-i)

联立｛2好，

/一匕=1

22222

.•・(16—k])x+(fci—2krn)x—n+krn-16=0,

-ki2+M-kin+16

/+'2=4"2一]6一.

|771|=Jl+ki2(/一》,

|叫=4+32出一｝,

­••\TA\,|7B|=(1+ki2)(与一i)(x-i)=叱2)(22),

424Ki—IO

设PQ：y-n=k2(x-^),

同理|7P|•|TQ|=弋2)(1+2二,

4—16

v\TA\­\TB\=\TP\'\TQ\,

,1+%2_1+&21+17=17

22，22，

kt-16k2-16ki-16k2-16

22