2019年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学理试题

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数学理试题

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页,

共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时

间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=PA.+PB.s=

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P(AB)=PA.PB.球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么V--7TR2

3

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

k

p、、(k)=C：pkQ_py-(k=0,1,2,...〃)

第一部分(选择题共60分)

注意事项：

I.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7[39.5,43.5)3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是

1112

A.-B.一c.一D.-

6323

2.复数T+1=

i

A.-2iB.-ZC.0D.2i

2

3.4，l2,4是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A./,±/2,Z2±/3=>/,///3

B./1,L/2,/2//Z3=>/]±/3

C.12///3///3=>/),/2,/3共面

D./,,12,&共点n/]，A，4共面

4.如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=

A.0B.BEC.4。D.CF

5.函数，，(x)在点x=x0处有定义是/(x)在点x=/处连续的

A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

6.在AABC中.sin2A<sin2B+sin2C-sinBsinC.则A的取值范围是

71717T7C

A.(0,—]B.[—,4)C.(0,—]D.[7)

663

7.已知是R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=(-)A+l,则f(x)的反函数的图像大致是

8.数列｛〃〃｝的首项为3,｛〃｝为等差数列且々=a〃+]—a〃(〃£N*).若则&=一2,Z?10=12,

则q=

A.0B.3C.8D.11

9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨

的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每

辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运

送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=

A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元

10.在抛物线^=*2=奴—5(aNO)上取横坐标为x=T,x=2的两点，过这两点引一条割线,

有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5/+5产=36相切，则抛物线顶点的坐标为

A.(—2,—9)B.(0,~5)C.(2,-9)D.(1,—6)

11.已知定义在上的函数f(x)满足/(x)=3/(x+2)，当)时，/(x)=—/+2x.设

/(x)在[2〃-2,2〃)上的最大值为q(〃eN*),且｛凡｝的前〃项和为S,,贝”5S“=

53

A.3B.-C.2D.一

22

12.在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一个偶数。和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=3,。).从所

有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形

的个数为般，其中面积不超过4的平行四边形的个数为加，则'=

•''n

注意事项：

1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用

铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

2.本部分共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

1」

13.计算(Ig1—lg25)+1002=

14.双曲线上-工=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离

6436

是•

15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面

积之差是.

16.函数f(x)的定义域为A,若XpX26A月.f(x)=f(X?)时总有

X]=X2，贝！J称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+l(xeR)是单函数.下列命题:

①函数f(x)=x?(xeR)是单函数；

②若f(X)为单函数，Xpx2eAMxj*x2,贝Ijf(X1)/flx?)；

③若f：AfB为单函数，则对于任意beB,它至多有一个原象；

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.

其中的真命题是.(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明教程或演算步骤。

17.(本小题共12分)

73

已知函数/(x)=sin(x+—乃)+cos(x——万),xeR

44

(1)求/(x)的最小正周期和最小值;

AAjr

(2)已知cos(£-a)=g,cos(夕+a)=-1,(0<a</?4,),求证："(夕)f-2=0

18.(本小题共12分)

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是

每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计

算)。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为

_L,_L；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为两人租车时间都不会超过四小时。

4224

(I)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(II)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量求J的分布列与数学期望EJ；

19.(本小题共12分)

如图，在直三棱柱ABC-A|B|G中.ZBAC=90°,AB=AC=AA,=1.D是棱CG上的一P

是AD的延长线与AiG的延长线的交点，且PB1〃平面BDA.

(I)求证：CD=C,D：

(II)求二面角A-AQ-B的平面角的余弦值;

(III)求点C到平面BQP的距离.

20.(本小题共12分)

设d为非零实数，%=1(C：d+2Gd2++(H-l)C；-|Jn-1+nC：d"](neN*)

n

(1)写出4,a2，4并判断｛4｝是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由;

(II)设d=ndan(nGN*),求数歹U｛〃J的前n项和Sn.

21.(本小题共12分)

椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线1与椭圆交于C、D两点,

并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(I)当|CD|=』夜时，求直线1的方程；

2

(II)当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ为定值。

22.(本小题共14分)

O1

已知函数/(X)=—%+—,A(x)=y/x

(I)设函数尸(x)=/(%)—以%),求一(X)的单调区间与极值;

33

(II)设awR,解关于x的方程log丐/。一1)-R=log2〃("x)—log2(4—x)

100I

(HI)试比较/(100)/z(l00)-Zh(k)与一的大小.

k=\6

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1、答案：B

221

解析：从31.5到43.5共有22,所以p=——=一。

663

2、答案：A

解析：-i+l=—i-i=-2i

i

3、答案：B

解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定

4、答案D

解析：BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF

5、答案：B

解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。

6.答案：C

解析：由题意正弦定理

a2<b2+c2-be^>b2+c2-a2>bc=>"->1ncosA>—=>0<A<—

be23

7.答案：A

解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。

当x>0,0<(g)'<l,=l<y<2,故选A

8.答案：B

解析：由已知知％=2〃-8,%+|—q=2〃一8,由叠加法

(iz,—<21)+_a,)++(q—%)=-6H—4H—2+0+2+4+6=0=>a=4=3

9.答案：C

0<x<8

0<y<7

解析：由题意设派甲，乙辆，则利润z=450x+350y,得约束条件<x+y412画出

10x+6y>72

2x+y<19

x+y<12fx=7

可行域在1的点4代入目标函数z=4900

2x+y<\9[y=5

10.解析：由已知的割线的坐标

36

(T,U-4Q),(2,2Q—1),K=2—Q,设直线方程为y=(a-2)x+b,则一二----------又

51+(2-a)，

y=x24-ox-5

=>/?=—6=>6/=4=>(—2,—9)

y=(a-2)x+b

11.答案D

解析：由题意/(》+2)=；/(尤),在［2〃-2,2〃］上,

”=1,f(x)=1,w=2,/(x)=；,〃=3J(x)=(gy

12.答案：D

基本事件：由(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)/?=武=3<5=If其中面积为1的平行四边

形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4其中面积为2的平行四边形的个数为

(2,3)(2,5);(淇中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的

平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数

(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行

四边形的个数(4』)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.答案：-20

111

解析：(1g-—1g25)-1002=lg——--=-20

410010

14.答案：

解析：a=8,b=6,c=K,点P显然在双曲线右支上，点尸到左焦点的距离为14,所以

—14=—c=—5=d,=—56

da45

15.答案：2万改

解析：5侧=2仃-2依-户=4万,户—/)=>S恻1mx时，

r2=7?2-r2=>r2^—=>r--R,则4乃7?2-2%7?2=2万

22

16.答案：②③④

解析:①错，玉=±%2,②③④正确。

三、解答题

，/、.77V.737r..3n

f(x)-s\nxcosbcosxsin——+cosxcos——+sinxsin——

4444

17.解析：=V2sinx-V2cosx

=2sin(x-?)

・・・7=2巴/(幻3=2

4

cos(p-a)=cosacos/?+sinasin/《(1)

4

(2)cos(〃+a)=cosacos，-sinasin，=一《(2)

cosacos0=0

7171

0<a</?<5=cos/?=0=/=万

:厅(/3)=氏=(于(/3)芋一2二0

18.解析：

(1)所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为4付2元为=付4

428-248

一小。111

兀为A*广而

则所付费用相同的概率为尸=4+2+4=得

(2)设甲，乙两个所付的费用之和为J,J可为0,2,4,6,8

Pe=0)=:

O

、

r…(<f=c2)=1--1---1--1---1--=—5

442216

P…(<E=4八)=1--1---1--1-----11---1----1-=——5

44242416

P“&=6八)=1--1----1--1----1---3--

442416

PC=8)=",

4416

分布列

402468

15531

P

8记16记16

―55917

84822

19.解析：（1）连接4A交8A于。，4尸〃面BDA],gPu面AB|P,而MP面BAQ=O£>,

.•.4尸〃8,又。为4A的中点,

•••。为AP中点，G为AF,二A4CD=APG£).・.G。=8,D为CG的中点。

(2)由题意A3,AC,ABLA41nA8,面AA&C,过B作A”LAO,连接则

BHYAD,:.ZAHB为二面角A—的平面角。在A4A中，

245

1

AAi=l,AD=—,AiD=—,^AH=^-,BH=^-,cosZAHB=^-=-^=-

、2、255BH3A/53

(3)।天।^^C-B\PD~V用PCD'所以=I"1'1.sAPCD，AA=1

111

S〉PCD=SAPCiC一S"GD-------=—

2441

9+5_5

在AB|£)P中，B、D=*,B\P=4i,PD=—.cosZDB.P==—,sinNDB/=—

222---y[555

2

.<_13区加一31

心22543

20.解析：(1)

%=d

a2=d(d+1)

%=d(d+1)2

[

an=C：d+C；42+*++C；U〃=d(T+dy-

。向=d(l+d)〃

—=d+l

因为d为常数，所以｛4｝是以d为首项，4+1为公比的等比数列。

2=/(1+力1

22222

(2)Sn^d(l+J)°+2J(1+d)'+3d(1+J)++nd(l+dy-'

=J2[(l+d)°+2(1+J)1+3(1+1)?++〃(1+]⑴

(1+d)S,=/[(1+dp+2(1+〃月+3(1+df++〃(1+d)"](2)

⑵-⑴…""+d2n(\+d)n=d+(d2n-d)(l+d)”

:.S„=l+(dn-r)(i+d)"

21.解析：由已知可得椭圆方程为上+£1,设/的方程为丁-1=a(了-0),左为/的斜率。

2

2k4

y=kx+\X|+X,=-----7

1-2+k2…=不

则《y2=>(2+Z:2)X2+2kx—\=0=><

—4-=1-1-2k2+2

2X.x2=----7

1-2+k22+k2

,、2/、28左2+88/+8%29,2C,后

(玉-x)+