2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

I.已知集合P={xIx2<l},M={a}.若PUM=P〃lJa的取值范围是

A.(-oo,-l]B.[l,+oo)

C.[-1,1]D.(-oo,-1]U[l,+oo)

i-2

2.复数上二二

l+2z

43.D.」+当

A.iB.-iC.—i

5555

3.在极坐标系中，圆p=-2sin0的圆心的极坐标系是

A.（1与B.（1,-刍

22

C.（1,0）D.（1,乃）

4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A.-3

B.-1

2

D.2

如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,

延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论:

①AD+AE=AB+BC+CA；

（2）AFAG=ADAE

©△AFB-AADG

其中正确结论的序号是

A.①@B.②③

C.①③D.①②③

6.根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（耳

仁心人

C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A

的值分别是

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

7.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

俯视图

A.8B.6夜C.10D.872

8.设A（0,0）,B（4,0）,C（r+4,4）,D（f,4）（fe用.记N（。为平行四边形ABCD内部（不含边界）

的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（。的值域为

A.{9,10,11}B.{9,10,12）

C.{9,11,12}D.{10,11,12）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

JI

9.在AABC中。若b=5,Z.B——,tanA=2,贝!IsinA二__________；a=________________。

4

10.已知向量a=（5/3,1）,b=（0,-1）,c=（k,V3）o若a-2b与c共线，贝!|k=。

11.在等比数列⑸}中，a尸，,a4=-4,则公比q=；同+图+..・+同=。

12.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个。（用数

字作答）

x>2

13.已知函数=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围

（X-1）3,X<2

是_______

14.曲线C是平面内与两个定点F1（-1,0）和Fr2（1,0）的距离的积等于常数的点的

轨迹.给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则AFiPF,的面积大于，a2。

2

其中，所有正确结论的序号是。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.(本小题共13分)

TT

已知函数，(九)=4cosxsin(x+—)-1。

(I)求了。)的最小正周期:

(II)求/(幻在区间-二7T巴TT上的最大值和最小值。

16.(本小题共14分)

如图，在四棱锥P—A3CD中，PAJ.平面A3CO,底面A8CD是菱形，AB=2,ZB4Z)=60.

(I)求证：8DJ_平面PAC;

(II)若PA=A8,求P8与AC所成角的余弦值；

(III)当平面P8C与平面PQC垂直时，求PA的长.

17.本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认,

在图中以X表示。

甲组乙组

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（II）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分

布列和数学期望。

（注：方差S?=▲［（%］-X）+（工2-尤）++（X"-X）］,其中X为玉，X2,...X”的平均

数）

18.（本小题共13分）

X

已知函数/（工）=（工一女）2〃。

（I）求/（X）的单调区间；

（H）若对于任意的xe（0,-8）,都有/（x）wl,求&的取值范围。

e

19.（本小题共14分）

V*2

已知椭圆G：--b）＞2=l.过点（,",0）作圆+y2=1的切线/交椭圆G于A,B两点.

4

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将|AB|表示为，”的函数，并求的最大值.

20.（本小题共13分）

若数列4=4，%…M22满足旧用一4=1（左=1,2,...,“一1）,数列A“为E数列，记

S（A）=4+4

(I)写出一个满足4=%=0,且5(A)〉0的E数列4,；

(11)若q=12,n=2000,证明：E数列4“是递增数列的充要条件是%=2019：

(III)对任意给定的整数n(nN2),是否存在首项为0的E数列4,使得5(4)=0?如果存在,

写出一个满足条件的E数列4.；如果不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题(共8小题,每小题5分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D

(5)A(6)D(7)C(8)C

二、填空题(共6小题,每小题5分，共30分)

2/c__

(9)----2VT5(10)1

5

(11)—22"-1--(12)14

2

(13)(0,1)(14)②③

三、解答题(共6小题，共80分)

(15)(共13分)

解：(I)因为f(x)=4cosxsin(x+—)-1

6

4cossinx+gcosx)—l

=V3sin2x+2cos2x-1

=V3sin2x+cos2x

71

-2sin(2x+—)

所以/(x)的最小正周期为万

(II)因为—工，所以一工42》+工4里.

64663

TTTTTT

于是，当2%+二=一，即无="时，/0)取得最大值2；

626

jrjrjr

当2x+/=-丁，即x=-二时,/(x)取得最小值一1.

666

(16)(共14分)

证明：(I)因为四边形ABCD是菱形，

所以AC_LBD.

又因为PA_L平面ABCD.

所以PA1BD.

所以BD_L平面PAC.

(II)设ACCBD=O.

因为NBAD=60°,PA=PB=2,

所以B0=l,AO=CO=A/3.

如图，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz,则

P(0,一52),A(0,—V3,0),B(1,0,0),C(0,V3,0).

所以丽=(1,73-2),AC=(0,2>/3,0).

设PB与AC所成角为。，则

八PBAC6V6

COS":~.=—k-------尸=——.

\PB\-\AC\2V2x2V34

(III)由(H)知瑟=(-1,百,0).

设P(0,--\/3,t)(t>0),

则丽=(-1,-岛)

设平面PBC的法向量m=(x,y,z),

则衣•机=0,而加=0

-x+3.Jy=0,

所以《；

-x—J3y+?z-0

令y=y/3,则x=3,z=

所以"2=(3,J5,9)

t

同理，平面PDC的法向量〃=(-3,75,3

t

因为平面PCB_L平面PDC,

所以加•〃=(),即—6+*=0

t

解得。=而

所以PA=J^

(17)(共13分)

解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

所以平均数为

x-=-8+-8-+-9-+-10=—35;

44

方差为

2222

5^1[(8-^)+(8-^)+(9-^)+(10-^)]=11.

4444416

(0)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的

植树棵数是：9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4x4=16种可能

的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲

组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P

同理可得p（y=18）=,；p（y=19）=-；p（y=20）=-；p（y=21）=-.

4448

所以随机变量Y的分布列为：

Y1718192021

\_J_j_j_

P

84448

EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19xP(Y=19)+20xP(Y=20)+21xP(Y=21)

11111

=17x-+18x-+19x-+20x-+21x-

84448

=19

(18)(共13分)

i二

解：(I)f'(x)=-(x2-k2)e'.

k

令/■'(0)=0,得x=±Z.

当k>0时，/（x）与/'（x）的情况如下

X(-00,-A:)-k(-k,k)k(Z,+8)

f'M+0—0+

/(x)/4^e」0/

所以，/。）的单调递减区间是（一8,—攵）和（％,+8）;单高层区间是（—%,女）当k<0时,

/（X）与/•'（%）的情况如下

X(-oo,-Zr)-k(一%,k)k(%,+8)

f'(x)一0+0—

f(x)0/4k2e-'

所以，/（X）的单调递减区间是（-00,-左）和水,+8）;单高层区间是（人,-公

出11

(H)当k>0时，因为/(Z+l)=e*>-,所以不会有Vxe(0,+oo),/(x)4一.

4左2

当k<0时，由（I）知/⑴在（0,+00）上的最大值是/（一6=——

14k-1

所以Vxe(O,+x>),/U)<-等价于f一(一口=一<-.

eee

解得一‘<％<().

2

故当Vxe(0,-hx),/(%)W1.时，k的取值范围是[—」,()).

e2

(19)(共14分)

解：(I)由已知得。=2,6=1,

所以C=M_"2

所以椭圆G的焦点坐标为(一J5,0),(6。)

离心率为e=—=

a2

(II)由题意知,|m|>l.

当机=1时，切线1的方程x=l,点A、B的坐标分别为一方-),

此时IABI=J5

当m=-1时，同理可得|AB|=

当|相|>1时，设切线1的方程为丁=左"一加),

y=k(x-/ri),

由v得(1+4公)/-Sk2mx+4k2m2-4=0

—+/=1.

U)

设A、B两点的坐标分别为(内，必)(%2，%)，则

8公利422m2_4

x{+x2177记'~无2=1+小

又由/与圆/+y2=1相切，得即/上2=公+1.

AF+1

所以IA8|=)(七一七)2+(为一%)2

424(4//”2—4)

(1+公)[64km

(1+442)21+就2

461ml

m2+3

由于当加=±3时，\AB\=V3,

所以依上乎詈皿yfuue

4向〃?|473-

因为IAB卜2,

tn2+3V~

|m|+—

Im\

且当加=±G时，|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.

（20）（共13分）

解：（I）0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0,1,0,1,0