2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题（文史类）

本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

A.{6,8}B.{5,7)

C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}

2.若向量则2a+b与a-b的夹角等于

III）I

A.--B.C.D.—

4III

3.若定义在R上的偶函数/（I）和奇函数满足七氐©=0.，则".[）二

A.ex-eB.—（ex+e*）C.—（e-ex）D.—（ex-e'）

222

4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为。，

则

A."=0B.«=1

C.n=2D.n>3

5.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间

[10,12）内的频数为

A.18B.36

C.54D.72

6.已知函数.软》若/（X）>1,则x的取值范围为

7.设球的体积为I,它的内接正方体的体积为I',下列说法中最合适的是

A.C比1大约多一半B.I比I大约多两倍半

C.I比I大约多一倍D.比I‘大约多一倍半

fI>0

'y>0

8.直线2V〜4O=C与不等式组「表示的平面区域的公共点有

।I-y>-2

141+3j<20

A.0个B.1个C.2个D.无数个

9.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节

的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为

A.1升B.升C.升D.—升

1111!!

10.若实数a,b满足且=0,则称a与b互补，记分N今=7那

么以"〃）=0是a与b互补的

A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一

题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

11.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现

按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家。

12.x--的展开式中含/的项的系数为。（结果用数值表示）

13.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质

期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）

14.过点（一1,—2）的直线I被圆在截得的弦长为J5,则直线/的斜率为

15.里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lg4.其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,

4是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是woo,此时标准地

震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最

大振幅的倍。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)

设△A8C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c＞已知

4

(I)求AABC的周长；

(ID求cos(a—。的值。

17.(本小题满分12分)

成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列｛1｝中

的I.,I,,

(I)求数列的通项公式；

(II)数列共』的前n项和为!,,求证：数列在”+,是等比数列。

18.(本小题满分12分)

如图，已知正三棱柱ABC的底面边长为2,侧棱长为

3JT,点E在侧棱A八上，点F在侧棱B81上，且

AE=2y/2,BF=y[2.

(I)求证：CF±QE；

(II)求二面角石」的大小。

19.(本小题满分12分)

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度

v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆

/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千

米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

(I)当时，求函数v(x)的表达式；

(II)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)

尺)今90可以达到最大，并求出最大值。(精确到1辆/小时)。

20.(本小题满分13分)

设函数人上&423&-1^匕，其中xeR,a、b为常数，已知曲线

y=/(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线/。

(I)求a、b的值，并写出切线/的方程；

(II)若方程，次有三个互不相同的实根0、L、＞,其中再＜I,,且对任意的

xe[%，毛],恒成立，求实数m的取值范围。

21.(本小题满分14分)

平面内与两定点A(rz,O)、A(a,0)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,

加上1,、4两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。

(I)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

(II)当初=一1时，对应的曲线为C)；对给定的mG(-l,0)U(0,+oo),对应的曲线为，设£、

人是。2的两个焦点。试问：在G上，是否存在点N,使得△耳N居的面积Shmia?。若

存在，求tan耳N8的值；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

A卷：1—5ACDCB6—10ADBBC

B卷：1—5DCABC6—10ADBBC

二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。

2817

11.2012.1713.—14.1或一15.6,10000

1457

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分

12分）

解：（I）c2=a2+b~-labcosC=l+4-4x—=4

4

c=2.

AA3C的周长为a+b+c=l+2+2=5.

(II)cosCsinC-Vl-cos2C-

4

,asinC4V15

sinA=------='=----

c28

a<c,.\A<C,故A为锐角，

/.cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=—x—+——x——=——.

848816

17.本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分

12分）

解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a—+4

依题意，得a—d+a+a+d=15,解得a=5.

所以也,｝中的包,勿,々依次为7—d,10,18+d.

依题意，有（7—2）（18+"）=100,解得4=2或2=—13（舍去）

故的第3项为5,公比为2。

由4-22,即5=4.2?,解得伪=(.

所以｛〃｝是以I5为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为勿=彳5-2"7=5-2”一3

§5

(II)数列也,｝的前n项和S“二己-------=5-2"-2即S,+：=5・2"-2

所以£+*=5S“+i+“_5.2"T

2.

14

因此｛S“+j是以|为首项，公比为2的等比数列。

18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论

证能力。(满分12分)

解法1：(I)由已知可得CG=3叵,CE=CXF="2+(2扬2=2后

22222

EF=AB+(AE-BF),EF=CiE=72+(V2)=>/6

22

于是有砂2+G«2=C|F25CE+C,E=cq2

所以C]E上EF,C]EJ_CE

又cCE=E，所以GE，平面CEF

由CFu平面CE£故CT±C、E.

(II)在ACEF中，由(I)可得所=CE=#,C£=2j§

于是有EF2+CF2=CE2,所以CF，EF.

又由(I)知CF1C,E,且EFcC]E=E,所以CF_L平面C|EF,

又G^u平面C|EF,故CF_LC|F。

于是NEFC；即为二面角E—CF—G的平面角。

由(I)知是等腰直角三角形，所以NBFG=45°,即所求二面角E—CF—G的大小

为45。。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

40,0,0),3(a,1,0),c(。,2,0),G(0,2,30),£(0,0,2夜),F(g,1,扬

(I)C,£=(0,-2,-x/2),CF=(y/3,-l,V2)

ClE-CF=0+2-2=0

:.CF工GE.

(II)CE=(Or2虚，设平面CEF的一个法向量为

m=(x,y,z)

z„fm-CE=0,

由加_LCE,mJ_C£得《

m-CF=0,

即-?+2A/2Z=0,可取利=&厄i)

y/3x—y+y/2z-0

设侧面BC,的一个法向量为

〃，由〃_LBC,nJ_CCt,及CB=(A/3,—1,0)

CC}=(0,0,3扬，可眦=(1,6,0)

设二面角E—CF—G的大小为9,于是由。为锐角可得

cos6="〃川=^1_=也,所以。=45°

\m\-\n\6x22

即所求二面角E—CF—G的大小为45°。

19.本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。(满分

12分)

解：(I)由题意：当0<xW200寸,v(x)=60；当20<xW20(时，设以x)=ar+Z?

1

(1-----,

200a+8=0,

再由已知得，解得3

20。+。=60,,200

b--------

3

60,0<x<20,

故函数v(x)的表达式为v(x)=<i(200-x),20<x<200

60x,0<x<20,

(II)依题意并由(I)可得/(x)=<1.r(200-x),20<x<200

当0<x<20H寸,7(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60X20=1200；

当20WxV200时，/(x)=1x(200-x)<1[%+(2^0~^]2=

当且仅当x=2()()-x,即x=l()()时，等号成立。

所以，当x=100时,/(幻在区间［20,200］上取得最大值年”.

综上，当x=l(X)时，/(x)在区间［0,200］上取得最大值笔四。3333。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能

力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分)

解：(I)/'(x)=3%2+4ar+Z?,g<x)=2x—3.

由于曲线y=/(工)与>=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,

故有f⑵=g(2)=0,八2)=g'(2)=1.

8+8。+2b+ci-2,

由此得4。解得

12+8。+/?=1,fb5.

所以。=—22=5,切线/的方程为x-y—2=0

(II)由(I)得/(x)=x3-4x2+5x-2,所以/(x)+g(x)=x3-3x2+2x.

依题意，方程x(d-3%+2-6)=0有三个互不相同的实数0,%,%，

故％,当是方程f-3x+2—根=0的两相异的实根。

所以A=9-4(2—m)>0,即机>.

4

又对任意的工£［%,工2］，/(幻+8。)〈风工一1)成立，

特别地，取工=%时，/(尤1)+8(e)一加2〈一机成立，得加<0.

由韦达定理，可得％+马=3>0,xxx2=2—机>0,故0<玉v

对任意的工£［%,%2］，有*一*2<0,X-Xj>0,x>0

则/(-^)+(g(x)-mr=x(x-x,)(x-^)<0,Xf(^i)+^(-^i)^=。

所以函数/0)+8(幻一例¥&£［%,工2］的最大值为。。

于是当机<0时，对任意的X£［X］,X2］，/(X)+g(X)V根(％-1)恒成立，

综上，加的取值范围是(-L,0).

4

20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整

合和数形结合的思想。(满分14分)

解：(I)设动点为M,其坐标为(x,y),

当XK士。时，由条件可得kMA•女MA,=---------=-7^~~7=机，

x-ax+ax-a

即nvC-y2=mcr^x*+d),

又A(-«,0),&(A,0)的坐标满足mx2-y2=ma2,

故依题意，曲线C的方程为/m：2—y2=2.

22

当〃?<—1吐曲线C的方程为=+—J=1,C是焦点在y轴上的椭圆；

a-ma

当机=一1时，曲线C的方程为f+y2=。2,C是圆心在原点的圆；

22

当-1<加<0时，曲线C的方程为=+上方=1,C是焦点在X轴上的椭圆;

a-ma~

fv2

当初>0时，曲线C的方程为二—-=1,C是焦点在x轴上的双曲线。