2019年数学真题及解析-2019年浙江省高考数学试卷

2019年浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）已知全集-1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},B={-1,0,1},则（CuA）

QB=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-I,0,1,3）

2.（4分）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A.当B.1C.&D.2

'x-3y+4>0,

3.（4分）若实数x,y满足约束条件，3x-y-4<0,贝Iz=3x+2y的最大值是（）

x+y>0,

A.-1B.1C.10D.12

4.（4分）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“累势既同，则积不容异”称为

祖瞄原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=S/?,其中S是柱体的底面积，h

是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：al）

正视图侧视图

俯视图

A.158B.162C.182D.324

5.（4分）若b>0,贝I」“a+bW4”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（4分）在同一直角坐标系中，函数y—loga(x+—)(a>0且aWl)的图象可

2

7.（4分）设0<。<1.随机变量X的分布列是

X0a1

p

~3~3T

则当〃在（0,1）内增大时，（）

A.D（X）增大B.D（X）减小

C.D（X）先增大后减小D.D（X）先减小后增大

8.（4分）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱侬上的点（不含

端点）.记直线P8与直线AC所成角为a,直线尸8与平面ABC所成角为仇二面角P

-4C-B的平面角为丫，则（）

A.P<Y»a<yB.p<a,p<yC.0Va,y<aD.a<p,y<P

x,x<0,

9.（4分）设a,bER,函数f（x）=S131、若函数y=f（x）

当x34（a+l）x49ax,x>0.'

-ar-〃恰有3个零点，则（）

A.a<-1,h<0B.a<-1,h>0C.a>-1,h<0D.a>-h>0

=

10.(4分)设a,beR,数列｛斯｝满足ai=a,an+\an^b,«6N，则(

A.当h=1_H寸，6（|（）＞10B.当6=工时，«|0＞10

24

C.当b=-2时，«|（）＞10D.当匕=-4时，«|（）＞10

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.（4分）复数z=—1—（i为虚数单位），则|z|=.

1+i

12.（6分）已知圆C的圆心坐标是（0,m）,半径长是“若直线2x-y+3=0与圆C相切

于点A（-2,-1）,则,r=.

13.（6分）在二项式（扬x）9展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数

是.

14.（6分）在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,8c=3,点。在线段AC上，若NBDC=

45°,则BO=,cos/ABD=.

22

15.（4分）已知椭圆3_+3_=1的左焦点为凡点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段尸尸

95

的中点在以原点。为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

16.（4分）己知”€R,函数/（x）=ax-x.若存在f€R,使得/C+2）-f（t）区2,则

3

实数〃的最大值是.

17.（6分）已知正方形ABCO的边长为1.当每个为3=1,2,3,4,5,6）取遍±1时，

I入1标+入2前+入3?正MX+入5正+乂丽的最小值是，最大值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（14分）设函数/（%）=sinx,xER.

（I）已知。日0,2n）,函数/（X+8）是偶函数，求6的值；

（II）求函数y=[/（x+2L）]2+[f（x+N）『的值域.

124

19.（15分）如图，已知三棱柱ABC-Ai已Ci，平面4ACQ_L平面ABC,NABC=90°,

N8AC=30°,A\A=AiC=AC,E,F分别是AC,4办的中点.

（I）证明：EFLBCx

（II）求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.

1

20.(15分)设等差数列｛斯｝的前〃项和为S,”的=4,“4=%.数列｛与｝满足：对每个〃€N*,

Sn+h,„Sn+l+b",S〃+2+瓦成等比数列.

(I)求数列｛斯｝,｛瓦｝的通项公式;

(II)记，"6N*,证明：C1+C2+…+Cn<2>/ii，n6N.

21.如图，已知点F(l,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于

A,B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q,

且。在点尸的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为Si，S2.

(I)求p的值及抛物线的准线方程；

22.(15分)已知实数a70,设函数=alnx+m，x>0.

(I)当a=-3时，求函数f(x)的单调区间；

4

(II)对任意+8)均有f(x)<1,求〃的取值范围.

,2

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

2019年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）已知全集U=[-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则（CuA）

AB=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【考点】1H：交、并、补集的混合运算.

【分析】由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果.

【解答】解：：Cu4={-1，3},

（CuA）AB

={-1,3}A{-1,0,/}

={-1}

故选：A.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

2.（4分）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A.返B.1C.V2D.2

2

【考点】KC：双曲线的性质.

【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可.

【解答】解：根据渐近线方程为x±y=0的双曲线，可得。=江所以c=&a

则该双曲线的离心率为e=W=&,

a

故选：C.

【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

3.（4分）若实数x,y满足约束条件，3x-Z-4<0,则z=3x+2y的最大值是（）

x+y>0,

A.-1B.1C.10D.12

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

x-3y+4>0

【解答】解：由实数x,y满足约束条件「xp-440作出可行域如图，

x+y》O

联立八一为+4=。，解得A（2,2）,

[3x-y-4=0

化目标函数z=3x+2y为>=-

由图可知，当直线>=一2.二过A（2,2）时，直线在y轴上的截距最大，

22

z有最大值：10.

故选：C.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

4.（4分）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为

祖晒原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=助，其中S是柱体的底面积，h

是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cn?）

是（）

正视图侧视图

俯视图

A.158B.162C.182D.324

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面

积，代入体积公式得答案.

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，

即S五边形ABCDEV（4+6）X3卷（2+6）x3=27,

高为6,则该柱体的体积是V=27X6=162.

故选:B.

【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

5.（4分）若“>0,b>0,贝I"a+bW4”是“abW4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：Va>0,b>0,+后2^^，

若“=4,b—^-t则cib=1^4,

4

但〃+6=4+2>4,

4

即abW4推不出a+〃W4,

：.a+b^4是abW4的充分不必要条件

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计

算能力.

6.（4分）在同一直角坐标系中，函数y=log”（X+L）（4>0且。#1）的图象可

,-X9

【考点】3A：函数的图象与图象的变换.

【分析】对。进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；

=

【解答】解：由函数y^Oga（x+1），

x9

a乙

当。>1时，可得y=1-是递减函数，图象恒过（0,1）点,

x

a

函数)，=1意“(x+L),是递增函数，图象恒过(L0)；

22

当1>“>0时，可得y=」_是递增函数，图象恒过(0,1)点，

X

a

函数y=loga(x+L),是递减函数，图象恒过(―.0);

22

满足要求的图象为：。

故选：D.

【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题.

7.(4分)设随机变量X的分布列是

X0a1

P

~3~3

则当〃在(0,1)内增大时，()

A.D(X)增大B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列.

【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果

【解答】解：E(X)=0xL+axl_+lxL=^±L,

3333

D(X)=(a+1)2义1_+(a-a+1)2xl.+(1-a+1)2xJ_

333333

V0<a<l,：.D(X)先减小后增大

故选：D.

【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中

档题.

8.(4分)设三棱锥V-A8C的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱侬上的点(不含

端点).记直线P8与直线4c所成角为a,直线P8与平面ABC所成角为由二面角P

-AC-B的平面角为丫，则()

A.0VY，a<yB.0Va,p<yC.p<a,y<aD.a<(3,y<p

【考点】MJ：二面角的平面角及求法.

【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角

的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较

大小，充分运用图象，则可事半功倍，

【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，丫在底面的射影为0,则尸在底面上的射

影。在

线段A。上，作QE_LAC于E,易得PE〃VG,过P作尸F〃AC于F,

过。作。”〃AC,交BG于H,

则a=/8PF,B=NPBD,y^ZPED,

则cosa=£2=殴=理<理_=cosB，可得p<a；

PBPBPBPB

tany=F^>F^=tan0,可得0<丫，

EDBD

方法二、由最小值定理可得0<a,记Y-AC-B的平面角为V(显然V=Y),

由最大角定理可得p<Y'=y；

方法三、(特殊图形法)设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为例的中点，

1返返

易得cosa=-^=Y^,可得sina=Y^3,sin0=-^=Y^,siny=-^=£^,

V366V33VI3

2

故选：B.

n

【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各

种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法.

'x,x<0,

9.(4分)设a,Z?eR,函数f(x)--Aoi、若函数y—f(x)

#4(a+l)x〃9ax,x>0.

-办-b恰有3个零点，则()

A.a<-\,b<0B.a<-1,b>0C.a>-\,b<0D.a>-\,b>0

【考点】57：函数与方程的综合运用.

【分析】当x<0时，y—fCx)-ax-b—x-ax-b—(1-a)x-b最多一个零点；当x

2

NO时，y=f(x)-ax-(〃+])/+〃尤-ax-Z?=L『-A.(〃+1)x-h,利

3232

用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得.

【解答】解：当xVO时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-〃)x-b=O,得避=—♦—；

1一0

y=f(x)-以-〃最多一个零点；

当x20时，y=f(x)-ax-l(。+1)x2+ox-ax---(q+1)2-b,

3232

2

y'—x-(a+1)x,

当a+lWO,即“W-l时，y'>0,y=f(x)-ax-b^[Q,+8)上递增，y=f(x)-

or-〃最多一个零点.不合题意；

当”+1>0,即4<-1时，令>'>0得xe["+l,+8),函数递增，令yvo得xe[0,

a+1),函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点u>函数y=f(尤)-ox-b在(-8,0)

上有一个零点，在[0，+8)上有2个零点，

如右图：

-b>0

且,1。，

1-ay(a+l)3^-(a+l)(a+1)2_b<0

解得匕<0,1-<z>0,b>-X(a+1)3.

6

【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题.

10.(4分)设a,bER,数列｛““｝满足“i=4,an+i=a,^+b,/?GN,则()

A.当寸，ai()>10B.当匕=工时，aH)>10

24

C.当b=-2时，aio>lOD.当。=-4时，a(o>lO

【考点】8H：数列递推式.

【分析】对于B,令乂2_入』=0,得入=1，取a,』，得到当6=4,aio<lO；对

于C,令，-入-2=0,得人=2或入=-1,取“1=2,得到当6=-2时，«|0<10；对于

D,令/-入-4=0,得入J士后,取a.J+后,得到当人=-4时，00<10；对

212

22

于A，a2=a+y>y(a3=(a+y)'aq^a4+a2普).去力

工〉1，当时，0tL=an+2_>l+L=W,由此推导出£犯>(W)6,

16^16anan22a42

从而〃io>上空>10.

64

【解答】解：对于B,令乂2-入==0,得人=},

取多飞寺…，an=y<10«

，当人=1寸，«1()<10,故3错误；

4

对于C,令，-入-2=0,得入=2或入=-1,

取。1=2,.*.6/2=2,…，an=2<10,

・•・当力=-2时，tzio<lO,故C错误；

对于。，令，-入-4=0,得人一土、了”

__2_

取ai="^~'*'•a=---''’’…，&―.<10,

al-'21'a2o-217an-721'

...当匕=-4时,aio<lO,故。错误；

2

对于A，32=3+-^->^a3=(a2+/)26》

a/(/a4+,a2?,3)x2+,丁1>记9？,1飞17>f］，

。〃+1->0,{Cln}增f

当〃24时，-^tL=a“+2_>l+L=W,

anan22

(3)6,,mo＞侬＞10.故4正确.

a4264

a92

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想,

考查推理论证能力，是中档题.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.（4分）复数z=—1―（i为虚数单位），则团=_义2_.

【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模.

【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模.

【解答】解：：z=1-i11.

(1+i)(1-i)-22

2-VI.

-2

故答案为：返.

2

【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题.

12.（6分）已知圆C的圆心坐标是（0,机），半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切

于点A（-2,-1）,则ni=-2,r—_

【考点】J7：圆的切线方程.

【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得修，再由两点间

的距离公式求半径.

【解答】解：如图，

2xk3=0

22

圆心为（0,-2）,则半径r=J（-2-0）2+（_]+2）2=1^.

故答案为：-2,Jg.

【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

13.（6分）在二项式（扬x）9展开式中，常数项是16出,系数为有理数的项的个数

是5.

【考点】DA：二项式定理.

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求

得系数为有理数的项的个数.

9-r

r

【解答】解：二项式（、历）9的展开式的通项为丁武广（近）x「=2~CgX-

由/•=（）,得常数项是丁]=1仅历；

当r=l,3,5,7,9时，系数为有理数，

系数为有理数的项的个数是5个.

故答案为：1仅回,5.

【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.

14.（6分）在△ABC中，NA8C=90°,AB=4,BC=3,点。在线段4c上，若NBDC=

45°,则8。=.12匹,cosZABD=I2Zl.

~5~~10~

【考点】HT：三角形中的几何计算.

【分析】解直角三角形ABC,可得sinC,cosC,在三角形BCD中，运用正弦定理可得

BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值.

【解答】解：在直角三角形A8C中，A8=4,BC=3,AC=5,sinC=A,

5

在△BCD中，可得~^=ED,可得三返；

sinC5

~2~

ZCBD=135°-C,sinZCBD=sin(135°-C)=返(cosC+sinC)(A+A)

_2255

二述

10'_

即有cosNABQ=cos(90°-/CBD)=sinNCBD=^[L,

10

故答案为：三返，丸0,

510

【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简

整理的运算能力，属于中档题.

22

15.（4分）已知椭圆三_+==1的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF

95

的中点在以原点。为圆心，|Of］为半径的圆上，则直线PF的斜率是_，访_.

【考点】K4：椭圆的性质.

【分析】求得椭圆的a,b,c,e,设椭圆的右焦点为尸，连接尸E,运用三角形的中位

线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值.

22

【解答】解：椭圆2一+工一=1的a=3,b—y/S'c—2,e——,

953

设椭圆的右焦点为F,连接尸/L

线段尸尸的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆，

连接AO,可得|PF|=2|AO|=4,

设尸的坐标为（〃?，"），可得3-2W=4,可得,*=-£•,

322

由尸（-2,0）,可得直线P尸的斜率为

【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程

思想和运算能力，属于中档题.

16.(4分)已知“6R,函数/(x)=ax3-x.若存在正R,使得/C+2)-/<?)区2,则

3

实数。的最大值是A.

一

【考点】3H：函数的最值及其几何意义.

【分析】由题意可得|a(z+2)3-(r+2)化为12a(3r2+6/+4)-2|<Z,去

33

绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得〃的范

围，进而得到所求最大值.

【解答】解：存在怎R,使得|/'(f+2)-f⑺|W2,

3

即有|a(1+2)3-(什2)-渥+归2,

3

化为|2a(3产+6什4)-2|WZ,

3

可得2a(3上+6什4)-2wZ

33

即(3上+6f+4)

33

由3』+6f+4=3(r+1)2+l>l,

可得可得a的最大值为&.

33

故答案为：1.

3

【点评】本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变

形能力，属于基础题.

17.（6分）已知正方形4BCO的边长为1.当每个人2,3,4,5,6）取遍±1时,

I入1AB+入2BC+入3CD+MDA+苑AC+法BDI的最小值是0，最大值是，虫

【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算.

【分析】由题意可得获+菽=正，BD=AD-AB，AB-AD=0,化简

......

|AiAB+入2BC+入30MDA+入5AC+MBD

=J（入［->3+1566）2+（1264+入5+入6）2'由于无（'=1'入3,4,5,

6）取遍±1,由完全平方数的最值，可得所求最值.

【解答】解：正方形A8C。的边长为1,可得标+屈=正，BD=AD-AB-

AB-AD=0,

|A|AB+A2BC+A3CD^-A4DA+A5AC+A6BD

-AAB-M/入5晶苑亟崩屈一居"前

=|XIAB+A2AD3

=1（入入3+入5-居）AB+（入2-心+入5+及）Ad

_J（1［_，3+15―.6）2+（:2―入4+15+.6产

由于为（«=1,2,3,4,5,6）取遍±1,

可得入1-入3+入5-相=0，入2-M+入5+乂=0，可取入5=及=1,入1=入3=1,入2="1»M=l,

可得所求最小值为0；

由人］-入3+入5-法，入2-M+入5+法的最大值为4,可取入2=1，M=-1»入5=乂=1»入1=1,

入3=-1'

可得所求最大值为2代.

故答案为：0,275-

BD

【点评】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查

化简运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)设函数/(x)=sinx,x€R.

（I）已知。日0,2n）,函数/（x+0）是偶函数，求。的值；

（II）求函数y=[/（X+2L）]2+[/-（X+2L）]2的值域.

124

【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性.

【分析】（1）函数f（x+6）是偶函数，则8=3-+k兀（依Z）,根据8的范围可得结

果；

（2）化简函数得y=Ylsin（2x工）+1，然后根据x的范围求值域即可.

26

【解答】解：（1）由f（x）=sinx,得

f(x+9)=sin(x+0),

:/(x+8)为偶函数，.♦.8=4+kjr(%ez),

vee[O,2n),

22

(2)y=[/(x+2L)『+v(x+2L)]2

124

=sin(x+----)+sin(x+-----)

124

n

1-C0SC2X+-T-)l-cos(2x+~^-)

=___________6

22

=i1/兀..兀・、

―1—(cos2xcos_^-_sin2xsirr^~-sin2x)

=3.Da9+1

-sm2x-•■-cos2x+1

_V3/TT、

~"^-sin(2x

zb

.・"€R,€I，1L

6

Ay=^sin(2x^-)+lE

函数)，=[/•(x+—)]2+[/-(X+-)]2的值域为：「1二叵,

124Li2

【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角

恒等变换，属基础题.

19.(15分)如图，己知三棱柱ABC-A1SC1，平面A/CCi_L平面ABC,ZABC=90°,

ZBAC=30°,A\A=A\C=AC,E,尸分别是AC,AB1的中点.

(I)证明：EFLBC；

(II)求直线所与平面A/C所成角的余弦值.

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角.

【分析】法一：

(I)连结4E,则A]E_LAC,从而A]E_L平面ABC,A\ELBC,推导出8cL4凡从

而BC_L平面A\EF由此能证明EFLBC.

(II)取BC中点G,连结EG、GF,则EGMi是平行四边形，推导出从而

平行四边形EG布।是矩形，推导出BCL平面EGEAi，连结4G,交EF于O,则NEOG

是直线EF与平面AiBC所成角(或其补角)，由此能求出直线EF与平面AiBC所成角的

余弦值.

法二：

(I)连结AiE,推导出AiE,平面A8C,以E为原点，EC,EA所在直线分别为y,z

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面A|8C所成角的余弦值.

【解答】方法一：

证明：(I)连结AE,'：A\A=A\C,E是AC的中点，

：.AiE±AC,

又平面AiACQJ_平面A8C,AiEu平面A1AC。，

平面AACCiD平面ABC^AC,

；.A1E_L平面ABC,：.A\ELBC,

"：A\F//AB,NABC=90°,：.BCLA\F,

J.BCmAiEF,J.EFLBC.

解：（II）取BC中点G,连结EG、GF,则EGFA\是平行四边形,

由于&E_L平面ABC,故4E_LEG,

平行四边形EG布।是矩形，

由（I）得BC_L平面EGFA\,

则平面AiBC_L平面EGFAi，

...EF在平面418c上的射影在直线AG上,

连结AG,交EF于0,则NEOG是直线EF与平面AiBC所成角（或其补角）,

不妨设AC=4,则在RtZVhEG中，A|£=2A/3，£G=百,

是A|G的中点，故EO=OG=219=Y正，

22

.•.C°S/EOG=EO2+OG2-EG2=W,

2XE0X0G5

二直线EF与平面A\BC所成角的余弦值为芭.

5

方法二:

证明：（I）连结A]E,,：A\A^A\C,E是AC的中点，

：.A\ELAC,

又平面A14CGJ•平面ABC,4£'<=平面414。（7|,

平面AiACCiH平面ABC=AC,

；.AiE_L平面ABC,

如图，以E为原点，EC,E4所在直线分别为y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AC=4,则A/0,0,2代）,8（我，1-0）,8i（心3,2妻）,「（亨，g）,

C（0,2,0）,

EF-哼，看，姐）,前=（-73.1，0），

由丽显=0，得EFLBC.

解：（11）设直线EF与平面AiBC所成角为。，

由（I）得前=（-V3-1，0），（0,2,-2a）,

设平面AiBC的法向量苇=（x,y,z）,

（BC•n=7^x+y=0-厂,

则,____一）取x=1,得n=（1>y[3,1），

A]C,n=y7^z=0

sin0=।y•n_!—=A,

|EFI'lnl5

直线EF与平面A|BC所成角的余弦值为W.

5

【点评】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线

垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通

过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底

面.

20.(15分)设等差数列｛为｝的前〃项和为S,”“3=4,a4=53.数列｛与｝满足：对每个“6N*,

Sn+bn,S"+1+bn>Sn+2+b”成等比数列.

(I)求数列｛斯｝，｛瓦｝的通项公式;

(II)记Cn=｛±n”〃eN*,证明：C1+C2+…+Cn〈25/ii，"CN*.

【考点】81：数列与函数的综合.

【分析】(I)利用等差数列通项公式和前八项和公式列出方程组，求出“1=0,d=2,

从而a”=2w-2,wGN.S”=〃2-”,〃eN,利用(Sn+i+瓦)?=(Sn+bn)(S”+2+b“),能

求出bn-

2n2n-1

(IDci-=,I-=,I-〃CN*,用数学归纳法证明，得至IJC1+C2+…

n丫2bnV2n(n+1)Vn(n+1)

【解答】解：(I)设数列｛斯｝的公差为d,

'a/2d=4

由题意得I1,

a1+3d=3a/3d

解得。1=0，d—2,

an=2n-2,.

2*

:・Sn=n-〃，wGN，

•・,数列仍〃｝满足：对每个坯N*,Sn+b〃,S〃+1+B，S〃+2+与成等比数歹人

：•(S〃+i+b〃)2=(Sn+bn)(S〃+廿bn)，

解得盯3（$"05肝2）'

=1

解得hnn+n,.

用数学归纳法证明:

①当〃=1时，ci=0<2,不等式成立；

②假设〃=匕（kWN*）时不等式成立，即C]+c，2+…+Ck〈2j^,

则当n=k+1时,

cI+C2+…+Ck+c%+1<2------------<2®+_L_

V(k+l)(k+2)VkVk+1

V2A/^+]2_-2y[^+2(Vk+1-Vk)=24k+l，

Vk+l+Vk

即〃=&+l时，不等式也成立.

由①②得C1+C2+…+Cn〈2jji，〃eN.

【点评】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算

求解能力和综合应用能力.

21.如图，已知点尸（1,0）为抛物线『=2*（p>0）的焦点.过点尸的直线交抛物线于

A,B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在尤轴上，直线AC交x轴于点。,

且。在点尸的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为Si，S2.

（I）求p的值及抛物线的准线方程；

（II）求的最小值及此时点G的坐标.

S2

【分析】(I)由抛物线的性质可得：2=1,由此能求出抛物线的准线方程；

2

(II)设A(右,)%)，B(x«,y/j),C(%c>>c)，重心G(XG，)£)，令％=2力fWO,

22

则XA=t2,从而直线AB的方程为x=WLy+l，代入,=4x,得：y22(t^-1)y_^Q,

求出-2),由重心在x轴上，得至iJ2t」'+yc=。，从而C((L_t)2,2(1_”)，

G(2t-2t+2,0),进雌直线AC的方程为y-2f=2f(x-F),得o),由

3t2

此结合已知条件能求出结果.

【解答】解：(1)由抛物线的性质可得：艮=1,

2

•・〃=2,

・••抛物线的准线方程为元=-1；

(II)设A(以，珈)，B(XB，ye),C(xc，yc)，重心G(XG，VG)，

令班=2。存0,则x尸f2,

A

2.

由于直线A8过凡故直线A8的方程为+_Ly+1，

2t

2

代入『=4x,得：y2_2(t二l)y_4=0,

'.2tyn=-4,即yn=-'.B(-^―,-—),

tt2t

又XG=L(XA+XB+XC),yc=—(yA+ys+yc)，重心在x轴上，

33

=0,

2t-j-+yc

：.C((上丑)2,22”，G(2tj--2t2+20)

tt—3t2

直线AC的方程为y-2r=2/(x-/)，得。(广-1,。)，

Q在焦点F的右侧，二上>2,

..三《阳‘川=.小£