2019年数学中考总复习：几何专题专项训练（四边形）（含解析）

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2019年数学中考总复习：几何专题专项训练（四边形）

1.（2019•和平区一模）如图，在平行四边形483中，AE,既分别平分和N48C,交

边3于点£F,线段8尸相交于点〃

（1）求证：AELBF；

（2）若炉=当〃，则8C：四的值是_______

5

2.（2019•九龙坡区校级模拟）正方形《仇》，点£在边仇?上，点尸在对角线4C上，连脏

（1）如图1,连EF,若EF1AC,44f=34C,48=4,求△/（您的周长；

（2）如图2,若AF=AB,过点尸作FGLAC交CD干G,点，在线段FG上（不与端点重合）,

连AH.若N£4仁45°,求证：EXH杀手2C.

3.（2019•花都区一模）如图，在平行四边形力83中，£、尸分别是8c上的点，且8尸

=DE.求证：AF=CE.

2

1

4.（2019•天津模拟）如图，将矩形纸片）8C放在平面直角坐标系中，点力在x轴正半轴上,

点C在y轴正半轴上.若将矩形纸片折叠，使点。的对应点落在边8c上（含端点），落

点记为。，这时折痕与边"或者边（含端点，）交于点£折痕与边0C或者边8。（含

端点）交于点尸，然后展开铺平.已知a=2,0A=4.

（I）如图①，当折痕经过点4时，求%的度数；

（II）如图②，点。与点8重合时，求点尸的坐标，并求出四边形0"的周长；

（III）当三角形“好的面积取得最大值时，直接写出点。的坐标.

5.（2019•江北区模拟）已知：平行四边形力打》中，AD=BDaNADB=9Q°,CE平俵2BCD

交48于点£,交劭于点儿，过点£作四的垂线交4。于点尸，连接8尸，与线段交于

点G.

（1）如果边8c长为4,求花的面积；

（2）求证：y/~2EG=EN

2

1

6.（2019•南京一模）如图①，在中，点£、尸分别在加、BC上,且AE=CF,连接4尸、

酩交于点G,连接CE〃尸交于点”

（1）求证四边形£的/为平行四边形.

（2）提出问题：

在/I。、8c边上是否存在点旦F,使得四边形£明/为矩形？小明从特殊到一般探究了问

题.

【特殊化】

如图②，若N4仍=90：AB=2,BC=6.在力久8c边上是否存在点6F,使得四边形

£的/为矩形？若存在，求出此时的长度；若不存在，说明理由.

【一般化】

如图③，若N4Bg60：AAm,BC^n.在AD.8c边上是否存在点£、尸使得四边形EGFH

为矩形？根据点£尸存在（或不存在）的可能情况，写出对应的久〃满足的条件，存

在时直接写出力£的长度.（用含小〃的代数式表示）

①②③

7.（2019•兰州模拟）【探索发现】

如图1,△碗，是等边三角形，点。为8c边上一个动点，将△43绕点A逆时针旋转60°

得到连接CE小明在探索这个问题时发现四边形48b是菱形.

（1）请参考小明的思路写出证明过程;

2

1

(2)直接写出线段3,CF,4C之间的数量关系：；

【理解运用】

如图2,在中，4"8c于点。.将劭绕，点力逆时针旋转90°得到△?(甲延长

〃与8c交于点G.

(3)判断四边形而防的形状，并说明理由；

【拓展迁移】

(4)在(3)的前提下，如图3,将任■沿/£折叠得到△?!依连接他，若4)=6,BD

=2,求的的长.

8.(2019•锦江区校级模拟)已知，如图所示，在矩形倒?〃中，点£在8c边上，△熊尸=90°

(1)如图①，已知点尸在切边上，AD=AE=5,力8=4,求跌的长；

(2)如图②，已知4£=优G为/尸的中点，试探究线段四，BE,8G的数量关系；

(3)如图③，点£在矩形483的8C边的延长线上，与8G相交于。点，其他条件与

(2)保持不变，4)=5,4ff=4,CE=],求△40G的面积.

2

1

9.(2019•苏州一模)在平面直角坐标系中，。为原点，四边形48C0是矩形，点4C的坐

标分别是4(0,2)和C(2j&0),点。是对角线4C上一动点(不与4C重合)，连

结劭，作DELDB,交x轴于点£以线段仍为邻边作矩形劭££

(1)填空：点8的坐标为.

(2)是否存在这样的点。，使得是等腰三角形？若存在请求出力。的长度；若不存

在，请说明理由：

(3)①求证：至工；

DB3

②设矩形8历的面积为y,求y关于x的函数关系式并求出当点。运动到何处•

时，y有最小值?

10.(2019•高邮市一模)如图，在矩形483中，48=6,仇=8,点£是四边上的动点，将

矩形布3沿的折叠，点4落在点4处，连接/C、BD.

(1)如图1,求证：ZDEA'=2NABE；

(2)如图2,若点/恰好落在薇上，求tanN/1外的值；

(3)点£在4。边上运动的过程中，N*比的度数是否存在最大值，若存在，求出此时

线段的长；若不存在，请说明理由.

2

1

11.(2019•皇姑区一模)矩形483中，48=30,加=40,连接劭，点。在线段劭上(且

不与点8重合)，连接俯，过点户作在JJ0,交直线8c于点F,以小、分为边作矩形

APEF,连接8尸

(1)如图①，当点£与点8重合时，线段以的长为(直接填空)；

(2)如图②当砥=£P时：

①求证AB=AP-,

②线段8的长为(直接填空)

(3)若/Q26,请直接写出线段8尸的长.

12.(2019•沈河区一模)已知正方形4仇办，户为射线48上一点，以8P为边做正方形BPEF,

使点尸在线段第的延长线上，连接£4、EC、AC.

(1)如图1,若点夕在线段四的延长线上，判断的形状，并说明理由.

(2)如图2,若点户在线段四上，

①若点尸是线段的中点，判断△ACE的形状，并说明理由.

②当然=加加时，请直接写出NaE的度数.

2

1

13.(2019•禅城区一模)如图，在△48C中，AB=AC=/0cm,于点。，且劭=8c〃.点

"从点力出发，沿4C的方向匀速运动，速度为2cWs；同口寸点户从点8出发沿外的方向

匀速运动，速度为/cm/s.已知：过点。的直线。。满足。0〃/C,直线图交仇;于点0、

交放于点F.设运动时间为ts(0<t<5)；

(1)当S四边形的=,2S△脑时，直接写出t的值；

16

(2)设四边形户仇，的面积为八/，求y与t之间的函数关系式；

(3)连接PC,是否存在某一时刻t,使点〃在线段外的垂直平分线上？若存在，求出

此时方的值；若不存在，说明理由.

14.(2019•郑城县一模)已知：在菱形483中，NABC=60°,对角线川，被相交于点0,

点£是线段劭上一动点(不与点B,。重合)，连接AE,以为边在的右侧作等边△

AEF.

(1)如图①，若点打落在线段劭上，线段力£、出的数量关系是；

(2)如图②，若点尸不在线段劭上，点E是线段做上，(1)中的结论是否成立？若成

立，请证明：若不成立，请说明理由；

(3)若点£在线段劭的延长线上，连接8尸，若48=2愿，BF=2瓜,直接写出△/!*

或四边形4%石的面积.(写出一个面积即可)

2

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15.(2019•曲靖模拟)如图，点AF、C、。在同一直线上，点8和点£分别在直线段的两

根I],且AB=DE,NA=ND,AF=DC.

(1)求证：XABC^XDEF、

(2)若N/la=90°,4s=4,SC=3,当4尸为多少时，四边形员?才是菱形.

16.(2019•鼓楼区一模)已知：如图，在cABCO中,G、〃分别是力久8c的中点，AELBD,

CFLBD,垂足分别为旦F.

(1)求证：四边形阳片是平行四边形；

(2)已知48=5,47=8.求四边形阳步是矩形时劭的长.

2

1

参考答案

1.(1)证明：•・.在平行四边形48⑦中，AD//BC,

：.ZDA^-ZABC=]80°,

,：AE.8厂分别平分N以8和N/8Q

：2DAB=24BAE、NABC=24ABF,

・・・2N外日2N48尸=180°,即/%&N48f=90°,

：.ZAGB=90°,

JAELBF；

(2)解：.・.在平行四边形帕CZ?中，CD//AB,

4DEA=NEAB,

又•・.施平分N以8,

・•・NDAE=NEAB,

/DEA=/DAE、

:.DE=AD,同理可得，CF=BC、

又.「在平行四边形彳及》中，AD=BC、

，DE=CF、

:.DF=CE、

\9EF=^AD,

：,BC=AD=5EF,

：.DE=5EF、

：・DF=CE=4EF、

：・AB=CD=9EF,

BC：AB=5：9；

故答案为：5：9.

2.(1)解：.「四边形48CZ?是正方形，

：,AB=BC=CD=AD=A,Z^=ZZ7=90°,/ACB=/ACD=/BAC=/ACD=45。,

:.AC=y[^B=4近,

；44尸=347=12&,

1

：.->AF=3-/2,

:.CF=AC-AF=五,

■：EF^-AC,

，△废尸是等腰直角三角形，

:.EF=CF=®CE=4^CF=2^,

在Rt2\>4序中，由勾股定理得：^=VAF2+EF2=2V5«

，△?!炉的周长=A&ERAF=2代+扬3&=2依+4近；

(2)证明：延长GF交8c于M,连接力G,如图2所示：

则AG融和是等腰直角三角形，

：.CM=CG,CgyfjpF,

：.BM=DG、

\'AF=AB,

，AF=AD,

在Rt△力用和Rt△ylOG中,‘AG-AG,

lAF=AD

/.RtA^^RtA/IPe(HD,

：.FG=DG,：.BM=FG,

・：/BAC=/EAH=45°,

:・/BAE=/FAH、

\'FG-LAC,

:.Z.AFH=9C,

'NB二NAFH=90°

在△片维和/中，JAB=AF,

ZBAE=ZFAH

:・XABE空XAFHCASA),

:・BE=FH,

YBM=BBEM,FG=FMG,

：.EM=HG,

'：EC=EM^CM,CM=CG=y[jpF,

：,EC=HG^y[2fC.

2

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3.证明：・.・四边形48①是平行四边形，

C.AD//BC,AD=BC]

又,.•BF=DE,

:・AE〃CF、AE=CF,

・••四，边形北'C尸为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），

:、AF=CE（平行四边形的对边相等）.

4.解：（I）如图1,过。点作力/垂直于"，依题意可知：0A=0D=4,DH=0C=2,

■:DH工OA,

sinZDAO=—,

2

：,ADA0=3Q°,

\'OA=OD,

,\ZODA=ZDOA=————=75°.

2

（II）见题图2：点。与点8重合时,

设CF=x,则OF=BF=A-x,

在RtZ\W中，OG+Cf^=Of^、

/.A22=（4-X）2

解得：

.••尸点坐标为（p2）,BF=OF=^,

同理可得：OE=BE=/,

四边形阳尸的周长=4X^=10.

dll）存在面积最大的△勿£,其面积为4.理由如下:

①当点£在边以上时，如图3.

2

1

s△物=之"3由。庆以得出工0E・0区工0A，00=4,

当点£与点4重合时，火的面积最大，最大面积为4；

②当点£在边4C上时，如图4.

过点F作EFHOA交Q8于点F,交必于点G,

,■•5△牍=^GE-BF,5△收=/•OF,

,5△班二G£•分*炉.。尸=全£{BF+Or)

=0除^EF'OB=方矩形0ACg=4.

当点£在边4C的中点时，的面积最大，最大面积为4.

下面求△。史的面积最大时，点。的坐标.

①当点£与点力重合时，如图3.

由折叠可知，AD=AO=^.

在Rt△/切中，DC=dAD2-AC'=J42-2'=2A/3

：.BD=4-2M，

■-D(4-2A/3,2)；

②当点石在边/IC的中点时，点。与点8重合，如图5,

此时。(0,2).

综上所述，国的面积最大时，点。的坐标为(4-273,2)或(0,2).

2

1

过点C作。a48交48的延长线于点“，设O/的长为X,

•：AD=BD旦4ADB=9G,

，N4=N480=45°,

又•・・四边形彳及力是平行边形

：.AB//DC,

/DCE=4CEB,

•・・笫是N8CZ?的角平分线，

・•・4DCE=4BCE,

/.NBCE=4BEC,

:・BC=BE、

又・.・BC=4,

:・BE=4.

Y4DCB=/CBH=A50,

2

1

在RtZXM/中，有&?=却+。7,

.-.AX2=42,

解得x=2A/2

:.SAB潸gBE，CH

=|><4X2V2

=W2

(2)作G关于维的对称点K连接寐、MG、MN,图形如下所示:

：.ME=GE,MG工BE,

又EFIBE,

:.EF〃MN,

又,：BC=BE,BO=BD=AD,

:・BE=BD,

在1和Rt△昕中

BE=BD

BF公用'

:.RtABDFqRtABEF(Hl

：.4DBF=4EBF=L/DBE=22.5°,

2

又・・・NC£F=22.5°,

：.4EGF=45°,

又•••NGEM=45°,

：.FG//EM,

.二四边形日7G漱是平行四边形.

:.FE=GM.

在△石叨和△8M;中，

2

1

'/FEB=/NBC=90°

<BE=BC

,ZEBF=ZBCN=22.5°

:.XEFB^ABNC(.ASA},

：.EF=BN,

：.GM^NB.

又,：GE=ME,NGEM=45°

，NEG仁Nfi»fG=67.5°,

在△欣W和△8M?中，

'GM=BN

NMGN=/BNG=112.5°.

.GN公用

:・NGMN=4NBG=22.5°,

又丁4EM乱4GMN=4EMN,

・・.N£W=67.5°+22.5°=90°,

・•・△丽是等腰直角三角形，

:.SinZENM=SiM5°=典=返，

EN2

：.-/2EM=EN,

，&EG=EN.

6.(1)证明：..•四边形①为平行四边形，

：.AD//BC,AD^BC,

•:AE=CF,

：.DE=BF,

四边形四边形曲为平行四边形，

：.EH//GF,GE//FH,

，四边形£的/为平行四边形；

(2)解：存在，如图②所示，理由如下：

•••四边形48⑺是矩形，

:.AB=Cg2,NABXNADXZBAD=9G,

:.NAB日NAEB=9Q°,

四边形£07/为矩形时，NBEC=90：

2

1

贝I"吩N砥?=90。,

・•・乙ABE=4DEC、

:.△ABESADEC、

・AE_AB即AE_2

"CD-DE，彳-6一庇'

解得：

即在4?、8c边上存在点&F,使得四边形&76/为矩形，此时熊的长度为3土泥;

(3)解：存在，如图③所示，理由如下：

作API.4?于P,CQX.47于Q,

则8P=CQ,PO=BC=AD,

：.AP=DO,

'：AD//BG.

：,^PAB=^ABC=6Q°,

/.AABP=30°,

AP=——AB=­/77,

22

BP^Cg后—

设AE=x、则PE=A+^7,AQ=n-x-

同(2)得：XBPEsXEQC、

.PE=PB步/、号m

''CQ_EQ'用ML

-^^innr-

整理得：x?+(加-〃)--^-=0,

(/77-n)2-4(.m-—n-3m,

当△，()，即4—3届20时，方程有解，

即加、"满足时，

在4?、8c边上存在点6厂使得四边形&7/7/为矩形，

此时/尸=n-m±Jn、-3m2

2

2

图②

7.(1)证明：：△48C是等边三角形，

AB=BC=ACy

;△加，绕点A逆时针旋转60°得到△?!优

.\ZCAE=6Q°,AC=AE,

・•.ZU宓是等边三角形，

：.AC=AE=CE.

：,AB=BC=CE=AE,

二.四边形48笫是菱形；

(2)线段曲CF,〃之间的数量关系：CNCF=AC,

理由是：由旋转得：NDAF=60°=NBAC,AD=AF,

/BAD=NCAF、

/△48C是等边三角形，

.*.AB=AC^

・•・△勿屋△"尸(.SAS'),

：,/ADB=NAFC、BD=CF.

•：NADaNADB=NAF3/AFE=W,

:.c、F、E在同一直线上，

：.AC^BC^BMCD=CRrCD,

故答案为：CMCF=AC；

(3)四边形儿后尸是正方形，理由如下：

•••Rta/薇绕点A逆时针旋转90°得到

：.AF=AD,/DAF=9Q°,

2

1

•：ADLBC.

：・/ADC=/DAF=/F=9G°,

・•・四边形力外尸是矩形，

'：AF=AD,

・•・四边形4?G尸是正方形；

（4）如图3,连接明

DG=FG=AD=AF=6,

•.•△4劭绕点4逆时针旋转90°,得到△?!宁•,

:./BAgaEAF、BD=EF=2,

：.EG=F&-序=6-2=4,

•将△/在沿〃折叠得到△/始

；.NMAE=NFAE,AF=AM,

：./BAg4EAM,

：.NBACPrNDAM=NEA雌ZDAM,即NBAM=NDAE,

•：AF=AD,

：.AM=AD,

在△%/!/和中，

'AM=AD

NBAM=NDAE,

,AB=AE

△班侬△&。｛SAS'）,

22=22=2

...昨DE=7EG+DGV4+6V13-

8.解：（1）；四边形是矩形，

Z/4=ZC=ZP=90°,CD=AB=A,

2

1

-：AD=AE,』AD=5,

/./!£=5,

在RtZ\4萌中，由勾股定理得，BE=q地2fB2=3,

:,EC=2,

(iff-ip

在RtZU炉和RtZ\4班中，/，

lAE=AD

.".RtA/lfT^RtA/IP/7(HO,

：.EF=DF,

设DF=EF=x,则CF=A-x,

在Rt△庞万中，由勾股定理得：2,(4-x)2=x2,

解得：*=菅,

即好的长为当；

(2)A济BE=JjpG.理由如下■:

作W8C交劭的延长线于M,作GNLBC千N,连接GM,如图②所示:

'NBAE=NMEF

在国和△陟中，，NABE=NEMF,

.AE=EF

:.XABE^XEMF(A4S)

：.AB=EM,BE=FM,

■：AB^-BC,FMLBC,GNLBC,

：.AB//GN//FM,又点G为4尸的中点，

.•.点/V为9/的中点，G仁方3用砌，

:.Gg》M,

:.G4GN,N86390°,

BM=\

：.A济BE=y1^G.

(3)连接晶,作OP工BE于P、作0O_L4G于0,如图③所示：

.・.四边形彳宓。是矩形，

；.BC=AD=5,NABC=90°,

:、BE=BG^CE=b、

2

1

■-AE=7AB2+BE2=V42+62=2后,

•••△力标是等腰直角三角形，G是力尸的中点,

Zfi4F=45°,EGLAF,

•••△4GE是等腰直角三角形，4G£=90°,

：.AE=y[^G,

：.AG=

VZABE=90°,

・・・N48mN47£=180°,

・・・4B、E、G四点共圆，

：・4GBE=4GAE=45°,

・•・△0仍是等腰直角三角形，

：.OP=BP,

设OP=BP=x,

2

VtanZAEB=-=—=—

PEBE63

X

PE3

lx，

•：B丹PE=BE=6,

.'■x^--x=b,

2

解得：X=孕，

5

，汨里用船丝=地

5255

22=

■1•^=VPE+0P-^F^'

D

；.40=AE-如=2近^-殳匝=%亘，

55

在RtZ\47。中，/%。=45°,

...g=返以=变运，

25—

...△47G的面积=%GX%MLXJ^X2^^=半

2255

2

1

图③

图②

9.解：（1）..•四边形40cs是矩形，

：.BC=0A=2,0C=AB=20Z.BCO=BA0=9QQ,

■■B（2仃2）；

故答案为（2对，2）；

(2)存在；理由如下:

0A—2,06^2

一+ac-A0_2_V3

.tanZ/lbU=[———

OC2V33

.-.ZACO=30°,ZACB=6Q°,

分两种情况:

①当5在线段G。上时，△巫C是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC,如图1所示:

；.4DCE=/EDX30",

:.NDBC=NBCD=60°,

，△砥?是等边三角形，

：.DC=BC=2,

在RtZX/OC中，N4co=30。，）=2,

-'.AC=2AO=4,

,\AD=AC-CD=4-2=2,

.♦.当4P=2时，△&C是等腰三角形；

②当£在0C的延长线上时，△切如是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBXZDEX乙CDE

2

1

=15°,如图2所示：

:./ABD=4ADB=75°,

：.AB=AD=2，^,

综上所述，满足条件的的值为2或2«；

(3)①证明：过点。作树交48于肌交0c于小如图3所示:

M(0,2)和G(2炳,0),

・.・直线4c的解析式为y=-返户2,

3

设。(a,-1K2),

3

.•.〃”=-返＞2,84U2百-a,

3

・「N8班9=0°,

BDM/NDE=9G,/BD%/DBM=9G,

:・NDBM=4EDN,•:NBMD=NDNE=9G,

・••△BMD^/\DNE,

・迈=典=岑3+2=返

"BDBM可三

②作〃//_!_于H,如图4所示：

在Rt△/!，//中，\'AD=x,/DAH=NACO=30°,

DE=J-6x+12,

2）22

...矩形8。仔"的面积为y=^（Vx-6x+12=—（^-6比12）=返》-2后4代,

333

・"亨（X-3）2+依，

•.•返>0,

3

「.x=3时，y有最小值

即当点。运动到距彳点的距离为3时，y有最小值.

1

：.Z.AEB=—(180°—N4ED)=90°-—ZA'ED,

22

.・•四边形48CZ?是矩形，

/.Z/f=90°,

：.ZABE=90°-ZAEB=90°-(90°-—^A'ED}=—^AlED,

22

・•・NAED=2/ABE；

(2)...四边形4仇》是矩形,

：・N4=90°,AD=BC=8,

在RtZk/l劭中，根据勾股定理得，80=10,

2

1

设AE=x,

：,DE=AD-AE=3-x,

由折叠知，A1E=AE=x,48=48=6,ZBA'E=ZA=90°,

D=BD-A'B=4,

・•・/%'E=90°,

在Rt△以上中，根据勾股定理得，^4户=4加=16,

(8-x)2-X2=16,

••x=3,

.\AE=3,

在牡△/维中，tanN48E=£^===g；」

AB62

(3)第的度数是存在最大值，

理由：如图1,过点8作8£LOT交7'的延长线于尸，

RFRF

在RtZ\88?中，s\rx^A'CB=—=—,

BC8

尸越大时,sinN/'第越大,即N/1'第越大,

当点£在边距上运动时，点4与尸重合时，8尸最大=48=48=6,

：.A'B±A'C,

：.ZBA'C^9Q°,

由折叠知，NBA'E=NA=ND=90°,

点彳在纸上，如备用图，

•••四边形483是矩形，

，NgN4=90°,CgA46、

根据三角形面积得，S^CE=^BC-AB=^CE-A'B,

•：A'B=AB,

:.CE=BX8,

在RSC史中，根据勾股定理^=VCE2-CD2=2VT>

：.AE=AD-DE=8-2-/j.

2

1

图1

11.解：(1)•.,矩形切中，48=30,4。=40,

•••^7AB2+AD2=50

BPA-AP

:・/APD=/BAD=9N,2ADB=，ADB

外s△外。

.AD^PD

"BD^AD

.40JD

■,50^^40

：,PD=32,

故答案为：32

(2)①YBE=PE

：・ZEBP=4EPB

:四边形为8CZ?是矩形，，四边形彳际是矩形

NABC=NAPE=9G°

「・NAB4=/APB

：,AB=AP

②如图，连接彳£交劭于点0,

2

1

'：AB=AP,BE=PE

二〃7垂直平分BP,

，AO上BP,BO=OP

由(1)可知：OD=32,劭=50

・・・818,

:,DP=DO-OP=32-18=14

故答案为：14,

(3)如图，作为好劭于点0,

若点户在点。的左侧，

■'A0=7AD2-OD2=V402-322

\AO=24

-：AP=26,47=24,

•■•^VAP2-AO2=10

：.BP=BO-W=18-10=8

.・,四边形彳际是矩形

：.PF=AE,AM=EM=MP=FM,

•/NABE=900

：.BM=AM=EM=MP=FM,

二•点4点8点E点8,点尸共圆

：2BAE=/EPB、NPBF=4PEF=W

2

1

■：/EP部/APgqy,/AP侪aPAgqo°

：.NPAO=NEAB=NEPB,且ZAOP=NABE=9Q°

：./\APO^IXAEB

.AEAB

"AP^AO

.AE24

.•.A4E--1--0--4-

5

■=期

5

.•.8尸=而五^=争

若点户在点0的右侧

同理可得：”占10,加=24,点4点只点£点8,点尸共圆,

/.NAPB=NAEB,且ZABE=ZAOP

:.XABEsf\AOP

.APAO

"AE^AB

.,./4£=—

2

：.PF=—

2

•'•^=VPF2-BP2=V

故答案为：等或普■

25

12.解：(1)△/!笫等腰三角形

理由如下：

如图，连接〃；CP,

2

1

1•,四边形ABCD,四边形F8PE是正方形

：.AB=BC,BF=BP,ZABC=90°=NEFB=N印B,

，ABF=/CB49G,SLAB^BC,BF=BP

:.XAFBgXCPB(SAS)

:.AF=CP、/AFB=4CPB,

：.2AF及/EFB=NCPH/EPB

:./AFE=/CPE,且"=C。，EF=EP,

:.△AFE9XCFEqSAS')

:.AE=CE,

•••△力彼是等，腰三角形

(2)是直角三角形

理由如下：

•.•点户是线段的中点，

：.AP^PB^—AB

2

设,AHPB=PE=EF=BF=a,则48=2a=8C,CF=3a,

，：A0=A3+CC=83,芯2=。产+成=10『，45=4尸+左=2a1

:.W=AC+A户、

..•△力然是直角三角形

(3)连接8£,

••,四边形ABCD,四边形FBPE是正方形

，4CAB=2EBP=45°,BE=y[2fB

：.AB=BE

2

1

.\ZEAB=ZAEB=67.5°

^CAE=Z.EAB^Z.CAB=An.5Q

13.解：(1)\'AB=AC=IQcm,BDUC于点。且BD=8cm.

•■•^7AB2-AD2=6C/77

I2

Szx45c=~^~X4CXBD=40cm,

四边形取“=白§△痴

16

'：PQ//AC

:、△BPQ^ABAC

S

.ABPQ_(BP)2=_tiBP_BF

,△ABC杷100,AB-BD

924

•S^=—t,BF=­t,

BP055

i4二8一学，

,・a,=4X2七X(8-^-t)

Zb

4535

O*S4扇"Swp产S4-S四边形用调=40_

ABe22

9,4,35

55T

(不合题意舍去)

2

号S△的

・•・当S四边形POCUC

16

(2)由(1)可知：S△血=±XACXBD=40cnf、S△眄=菅"，S^APU=X21X(8-

2525

四边形

,S4ABe-S^A/S.8P0=Sp0cMi

oA9

.'.y=40-(—12+81-----12)=—t2-81+40

555

(3)如图，过点的作例L48于点”,

2

1

...点"在线段外的垂直平分线上

：.MP=MC,

•：Z.A=^A,，AHk/ADA93

:.XAHUS1\ADB

.AM_AH_HM

''AB=AD=BD

.2ro_AH_HM

一元=6二8

：.AH=—t,HM=—t,

55

：.PH=AB-BP-AH=\Q-t--1=10--t,MC=AC-AM=-\G-2t,

55

22

；.战=芯+碗=(10-—t)+(—t),

55

•：PM=MC

:.P%=MG、

222

：.(10-2t)=(10-—t)+(—t),

55

..工=患，t=o(不合题意舍去)

••・当时，点"在线段外的垂直平分线上.

14.解：(1)..•四边形南⑺是菱形，

：.ACLBD,/胸弓/腕=30°,ZADO^30°,

N040=60°,

•••△/斤是等边三角形，边配在做上，

：.AE^AF,ZOAE=ZOAF^30°,

zDAF=3Q°=4ADO,

:・AF=FD,

2

1

'：AE=AF,

：.AE=FD；

故答案为：AE=FD：

（2）成立，理由是：

如图②，连接亮，

.・.四边形力及M是菱形，

：.AD=CD、

a：ZADC=ZABC=6Q°,

••.△彳切是等边三角形，

.\AC=AD,ZCAD=60°,

••・△4所是等边三角形，

：.AE=AF=EF,ZEAF=6Q°=4CAD