【高中数学】二项分布课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布第七章随机变量及其分布 7.4.1二项分布本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);(3)P(AB)=P(A)·P(B|A)

前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？

复习回顾：特别地：

当A与B相互独立时，P(AB)=P(A)·P(B)观察下列一次随机试验的共同点：试验出现的结果共同点1、掷一枚硬币2、检验一件产品3、飞碟射击4、医学检验正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

伯努利试验——伯努利家族我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

伯努利试验——在实际问题中，有许多随机试验属于伯努利试验。例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:n重伯努利试验——(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；(2)每次试验是在同样条件下进行的；(3)各次试验中的事件是相互独立的；(4)每次试验，某事件发生的概率是相同的。例题1判断下列试验是不是n重伯努利试验：

(1)依次投掷四枚质地不同且不均匀的骰子；

(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次；

(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好取出4个白球.(1)由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验；(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；(3)依次从中抽取5个球，不是有放回地抽样，每次白球出现的可能性不同，因此不是n重伯努利试验.导学案P104√××n重伯努利试验是有放回抽样试验思考

阅读下面3个问题并填写表格：(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,求恰有4次正面向上的概率?(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次,求恰有2次中靶的概率?(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件,求恰有5件次品的概率?随机试验伯努利试验定义“成功”的事件为事件AP(A)重复试验的次数n关注的随机变量X（1）（2）（3）掷硬币正面向上0.510正面向上的次数射击中靶0.83中靶的次数有放回抽产品抽到次品0.0520抽到次品的件数是是是在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X.进一步地求它的概率分布列.3次独立重复试验的结果两两互斥，每个结果都是由3个相互独立事件的积.用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?用下图的树状图表示试验的可能结果：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?则X的概率分布列为:P(X=0)你能求出剩下的概率吗？用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?则X的概率分布列为:P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次数X的分布列可简写为:

共6个.

(2)中靶次数X的分布列为思考:

如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.(1)表示中靶次数X等于2的结果有：

中靶次数X的分布列可简写为：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3,4)，则X的概率分布列为:二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为:二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

k——事件A发生的次数n——实验总次数p——事件A发生的概率

二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).思考对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为:二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个.提醒：一般含有“恰好”“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，求事件A发生的次数X的分布列为:思考

二项分布和两点分布有什么联系？二项分布的分布列如下表：当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.解：课本77页3.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3,0.6).(1)正确.理由如下：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误.理由如下：例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上的概率为(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.60内等价于4≤X≤6，于是所求概率为

例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.解：012345678910

例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.解：012345678910

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解2：

若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为

同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为

思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?

采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会影响甲最终获胜的概率.

从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n=1时,X服从两点分布,分布列为P(X=0)=1-p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)当n=2时,X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2.E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p.D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).均值和方差分别为猜想：如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

一般地，可以证明：

如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

一般地，可以证明：

如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).对方差的证明：1.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有2.二项分布的均值与方差：课堂小结：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=