2023年九年级数学中考专题训练-二次函数的最值(含答案)

中考专题训练一二次函数的最值

1.已知直线/：y="+6经过点（0,7）和点（1,6）.

⑴求直线/的解析式；

⑵若点。（机，n）在直线/上，以。为顶点的抛物线G过点（0,-3）,且开口向下

①求〃，的取值范围；

②设抛物线G与直线/的另一个交点为。，当点。向左平移1个单长度后得到的点0’也在G

上时，求G在4W'Wg+1的图象的最高点的坐标.

2.已知二次函数^=ax2+4ax+b.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

-6-5-4-3-2-1O123456/

-1

-2

・3

:

-5

⑴求二次函数图象的顶点坐标（用含a,6的代数式表示）;

⑵在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于48两点，A曲6,且图象过（1,c）,

（3,3，（-1,e）,（-3,/）四点，判断c,d,e,尸的大小，并说明理由;

（3）点"（m,〃）是二次函数图象上的一个动点，当-2W后1时，〃的取值范围是-1W"W1,求

二次函数的表达式.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线产3的顶点为4与y轴交于点C,线段C8〃x

轴，交该抛物线于另一点A

（备用图）

⑴求点8的坐标及直线AC的解析式：

⑵当二次函数产--级-3的自变量x满足假*机+2时，此函数的最大值为夕，最小值为g,且

p_q=2.求m的值:

⑶平移抛物线产/-"-3,使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线必只

有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为"，请直接写出"的取值范围.

4.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＞0）的顶点为只与x轴相交于点A（TO）和

点反

⑴若6=-2,c=-3,

①求点。的坐标；

②直线x="（勿是常数，1＜加＜3）与抛物线相交于点股与的相交于点G,当MG取得最大值

时，求点必G的坐标；

⑵若3b=2c,直线1=2与抛物线相交于点乂E是x轴的正半轴上的动点，尸是y轴的负半轴

上的动点，当所+收+硒的最小值为5时，求点£尸的坐标.

5.如图，抛物线》=ax2+bx+c与X轴交于除原点。和点A,且其顶点B关于X轴的对称点坐标

为（2』）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线），=以2+法+c上的任意一点G到定点尸的距离

与点G到直线产-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点尸的坐标；

试卷第2页，共10页

②过点F的直线/与抛物线尸尔+法+c交于M,N两点.证明：当直线/绕点F旋转时，+

MFNF

是定值，并求出该定值；

（3）点C（3,⑴是该抛物线上的一点，在X轴，y轴上分别找点RQ,使四边形PQBC周长最小，

直接写出只。的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形A8C。为正方形，点A,B在x轴上，抛物线＞,

经过点B,D（Y,5）两点，且与直线。。交于另一点E.

（1）求抛物线的解析式;

（2）F为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点。，F,E,B

为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P为V轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP.探究

KA/+MP+依是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

7.如图所示抛物线y=++"+c过点A（-1,0）,点C（0,3）,且08=0C

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点DE在直线x=l上的两个动点，且DE=1,点。在点E的上方，求四边形ACD£的周长

的最小值；

（3）点尸为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点尸

的坐标.

8.如图，抛物线产-氐?+法+C与X轴交于点A(-1,O)和点B(4,0),与》轴交于点C,连接8C,

点尸是线段8c上的动点(与点B,C不重合)，连接”并延长AP交抛物线于点Q,连接C2BQ,

设点。的横坐标为“.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2)当△水〃的面积等于2时，求用的值；

(3)在点尸运动过程中，黑是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

9.如图，已知抛物线y=ax%bx+6经过两点A(-1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交

点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设APBC的面积为S,求S

关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值；

(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得NCMN=90°,且aCMN

与AOBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.

试卷第4页，共10页

10.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(l，4),与坐标轴交于8、C、。三点，且8点的坐

标为(TO).

(1)求二次函数的解析式；

(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点肌N,且点/V在点〃的左侧，过肌侦作x

轴的垂线交x轴于点G、//两点，当四边形的出G为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)当矩形制盼的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点儿使3NC的面积是矩形

的用G面积的白？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由.

16

如图，抛物线片;f-gx-4与*轴交于4,8两点(点/在点8的左侧)，与V轴交于点Q连

接4a8c.点户是第四象限内抛物线上的一个动点，点。的横坐标为加，过点。作/W_Lx轴，

垂足为点K成交8c于点。，过点户作反〃AC交x轴于点£交861于点£

(1)求4B,C三点的坐标；

⑵试探究在点。运动的过程中，是否存在这样的点。，使得以4C,。为顶点的三角形是等

腰三角形.若存在，请直接写出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶请用含切的代数式表示线段。尸的长，并求出加为何值时加有最大值.

12.抛物线尸-9挛/指与X轴交于点48(点4在点8的左边)，与y轴交于点Q

63

点。是该抛物线的顶点.

(1)如图1,连接切，求线段⑦的长；

(2)如图2,点。是直线4C上方抛物线上一点，月£Lx轴于点尸，所与线段4C交于点将

线段的沿x轴左右平移，线段的的对应线段是08,当阳的值最大时，求四边形

周长的最小值，并求出对应的点。的坐标；

(3)如图3,点//是线段48的中点，连接缈，将△0861沿直线纷翻折至△0£C的位置，再

将兄c绕点房旋转一周在旋转过程中，点么c的对应点分别是点a,c„直线ac,分别与

直线4ax轴交于点MN.那么，在昆C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使

是以树为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段。泌的长；若不存在，

请说明理由.

13.如图，已知二次函数尸ax?+6肝c的图象与x轴相交于力(-1,0),B(3,0)两点，与y

试卷第6页，共10页

轴相交于点C（o,-3）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若。是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，月/ax轴于点〃，与861交于点生

连接PC.

①求线段成的最大值；

②当是以/W为一腰的等腰三角形时，求点。的坐标.

月'0Bx

14.如图，抛物线*a*+6x经过△以8的三个顶点，其中点力（1,石），点8（3,-6），0

为坐标原点.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4,m）,QCt,n'）为该抛物线上的两点，且〃〈外求下的取值范围；

（3）若C为线段48上的一个动点，当点4点8到直线0c的距离之和最大时，求N80c的大

小及点C的坐标.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=|x2-|x-4与x轴交于A,B两点（点A在点B

左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A,B,C的坐标；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B

点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另

一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，^PBO的面积S最大，并

求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M,使aBMC

的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图1,抛物线Ci：y=f+亚与G：尸=-/+4相交于点0、c,4与G分别交x轴

a

于点B、A,且B为线段A0的中点.（1）求石的值；（2）若OCJ_AC,求aOAC的面积；（3）抛

物线0的对称轴为I,顶点为M,在（2）的条件下：

①点P为抛物线0对称轴I上一动点，当APAC的周长最小时，求点P的坐标；

②如图2,点E在抛物线&上点0与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若

存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.

17.已知抛物线*=—+3（6是常数）经过点4-L0）

试卷第8页，共10页

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m,t）为抛物线上的一个动点，F关于原点的对称点为P.

①当点。落在该抛物线上时，求碗的值;

②当点尸落在第二象限内，P*取得最小值时，求加的值.

18.如图所示，已知抛物线y=a（x+3）（x-1）（«w0）,与X轴从左至右依次相交于A'8两点，与）

轴相交于点c,经过点A的直线y=-Mx+b与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点。的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点尸，使得以A、8、P为顶点的三角形与AABC相似，求

点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AO上的一点（不含端点），连接BE.一动点Q从点8出

发，沿线段仍以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段9以每秒苧个单位的速度运动

到点。后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

19.如图，抛物线y=-x，2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于

点C,顶点为D.

⑴求出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

⑵连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF〃DE交

抛物线于点F,设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设4BCF的面积为S,求S与m的函数关系式，S是否有最大值？如有，请求出最大值，没

有请说明理由.

20.如图，已知抛物线y=ox2+6x+c(aHO)与x轴交于点4(1,0)和点8(-3,0),与y

轴交于点Q且0R08.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点F为第二象限抛物线上一动点，连接在，CE,求四边形60g面积的最大值，并求

出此时点万的坐标；

(3)点。在抛物线的对称轴上，若线段必绕点。逆时针旋转90°后，点4的对应点4恰好

也落在此抛物线上，求点。的坐标.

试卷第10页，共10页

参考答案：

1.⑴直线/解析式为：y=-x+7；

(2)①相<10,且*0；②最高点的坐标为(-2,9)或(2,5)

【分析】(1)根据待定系数法求出解析式即可；

(2)①设G的顶点式，根据点P在直线/上得出G的关系式，根据题意得出点(0,-3)不能成为抛物线G

的顶点，进而得出点尸必须位于直线丁=-3的上方，可求"的取值范围，然后结合点P不能在y轴上得出

答案；

②先根据点。，点Q'的对称，得QQ'=1,可表示点Q和Q'的坐标，再将点Q'的坐标的代入关系式，求出。，

再将点(0,-3)代入可求出，"的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即

可.

(1)

解：•.•直线>=收+6经过点(0,7)和点(1,6),

.]女+。=6

,・jb=7，

伏二一1

解得〃r,

[b=/

・•・直线/解析式为：y=-x+7；

(2)

解：①设G：y=a(x-m)2

・.•点尸(加，n)在直线/上，

n=-m+7；

G：y=a(x-m)2-m+7(a<0)

V(0,-3)不在直线/上，

・・・(0,-3)不能成为抛物线G的顶点，

而以尸为顶点的抛物线G开口向下，且经过(0,・3),

，点P必须位于直线产-3的上方，

贝ij〃=一根+7>—3,机<10,

另一方面，点p不能在y轴上，

/."2W0,

・••所求加取值范围为：“<10,且加；

②如图，关于直线1=机对称，且QQ'=1,

•••点Q横坐标为，〃+g,

113113

而点。在/上，，。(机+万，一根+万)，Q(tn--,-w+y)；

I13

VQ{in-—,+在G：y=a(x-m)2-m+7±.,

.a_13.

・・m+7=—mH,ci=-2,

42

/.G：y=—2(x—m)2-/n+7,^y=-2x2+4nvc-2m2-7??4-7.

•・•抛物线G过点(0,-3),

-2m2一机+7=-3，

即(26+5)(加-2)=0,

5。

mf?=2；

当初二-j时，抛物线G为y=-2工2-lOx-3,对称轴为直线x=-1,

对应区间为-2WXW-1,整个区间在对称轴x=-2的右侧，

此时，函数值y随着x的增大而减小，如图，

当X取区间左端点X=-2时，y达最大值9,最高点坐标为(-2,9)；

Q10

当m=2时，对应区间为2Wxv],最高点为顶点P(2,5),如图，

，G在指定区间图象最高点的坐标为(-2,9)或(2,5).

【点评】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等.解

题的关键是掌握当机=0时，顶点在直线/与y轴的交点(0,7),此时抛物线不可能过点(0,-3),因此，

可能会被忽视.

2.(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2,b-4a)；

⑵当〃<0时，e-f>c>ch当。>0时，e-f<c<d-,理由见解析

(3)二次函数的表达式为产.2+右=或产-.

999999

【分析】(1)利用配方法即可求解；

(2)由对称轴为直线产-2,AB=C>,得至IJ4,8两点的坐标分别为(-5,0),(1,0),画出草图，分两种情况，

利用数形结合求解即可；

(3)分两种情况，利用数形结合求解即可.

(1)

解：y-ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4')+b=a(x+2)2+b-4a,

二次函数图象的顶点坐标为G2，入4a)；

(2)

解：由(1)知二次函数的图象的对称轴为直线k-2,

又•.•二次函数的图象与x轴交于4,8两点，AB=6,

8两点的坐标分别为(-5,0),(1,0),

e=f>c>d；

当公>0时，画出草图如图:

(3)

解：•.•点M(%，〃)是二次函数图象上的一个动点，

当6!<0时，

根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1,当帆=1时，函数值为-1,

b-4a=1

即,解得：

a+4a+b=—\

7Q1

...二次函数的表达式为尸

99y

当a>0时，

根据题意：当〃?=2时，函数有最小值为-1,当机二1时，函数值为1,

2

-4。=-1人9

即“+解得：

-9

...二次函数的表达式为广

综上，二次函数的表达式为产7\+oD1产-o卦高R七1.

【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第(2)(3)

题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果.

3.(1)B(2,-3),直线AC为：产*3；

(2)机=1-夜或，"=-1+&；

7

(3)〃=不或I<n<4；

O

【分析】(1)求得抛物线与)，轴交点C,再由对称轴x=l求得点3坐标，由点A、。坐标待定系数法求直线

AC解析式即可；

(2)利用二次函数的对称性分情况讨论：①当m+2W1时，户加时取最大值，工="，+2时取最小值，②当m+2

>1且mVl,\-m>m+2-\时，/时取最大值，x=\时取最小值，③当初+2>1且〃2<1,1-m<m+2-\时，

产机+2时取最大值，x=\时取最小值，④当心1时，x=m+2时取最大值，时取最小值；根据p-4=2列

方程求解即可；

(3)过点A作直线于E,作直线轴于R根据坐标特征求得AECF是正方形，于是点A沿

直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等；结合图形可得设抛物线向左平移到与直线A8只有.1个交点时与

射线区4也只有一个交点，由平移后的抛物线与直线84联立求值即可；当抛物线由点A向右平移至左半部

分过点8时，与射线船也只有一个交点，将8点坐标代入平移后的抛物线计算求值即可；

(1)

解：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

・•・顶点坐标A(1,-4),对称轴x=L

当x=0时尸-3,即C(0,-3),

点、B、C关于对称轴户1对称,则8(2,-3),

设直线ACy=kx+b,由A(1,-4),C(0,-3),可得

(-4=k+b4,[k=-l

.,，解得：,工

[-3=b[b=-3

直线AC为:y=-x-3；

(2)

解：①当w+2<l时，即m<-\时,

九二加时取最大值，K=m+2时取最小值，

m2-2机一3-[(加+2)~-2(加+2)—3]=2,

解得：机=-;,不符合题意；

②当m+2>1且〃7V1,1-相>m+2-1时，即-IVmVO时,

户加时取最大值，x=l时取最小值，

ITT—2m.—3—(~4)=2,

解得：m三1一6,或片1+血(舍去)，

③当机+2>1且〃2V1,l-"zV/n+2-l时，即OV〃?V1时，

户〃计2时取最大值，x=l时取最小值，

；・(机+2)2—2(6+2)—3—(一4)=2,

解得：W=一1+夜，加二一一夜(舍去)，

④当m>l时，

x=m+2时取最大值，时取最小值,

/.(〃？+2)~-2(6+2)-3-["?2-2m-3J=2,

解得：不符合题意；

〃『0时，二次函数在OS烂2上最大值-3,最小值-4,-3-(-4)=1不符合题意;

综上所述：呐4-夜或机二-1+正；

(3)

解：由题意作图如下，过点A作直线AE_LBC于E,作直线A尸，轴于R

,:C(0,-3),

：.F(0,-4),E(1,-3),

VAF=1,AE=1,CF=1,CE=\,ZAEC=90°,

・・・四边形AECF是正方形，

：.ZCAE=ZCAF=45°f

根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移加长度时，横坐标平移加・cos45。，纵坐标平移”cos45。,

即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，

设抛物线向左平移机单位后，与直线48只有1个交点，则

(x+zH-l)2-4+m=x-5

x2+(2加一3)X+(加-1)~+772+1=0

令△=0,解得：片：，

8

由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点,

设抛物线向右平移机单位后，左半部分过点B,则

8(2,-3)在抛物线>'=(了-机-1)2—4-加上，

,、2

—3=(2—//z—I—4—n?,

解得：m=0(舍去)或加=3,

/.1</?<4,

,7

综上所述〃二丁或1<於4；

8

【点评】本题考查了一次函数和二次函数的综合，根据二次函数的对称性求最值，二次函数的平移，三角

函数等知识；数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.

4.⑴①(1,-4)；②点”的坐标为(2,-3),点G的坐标为(2,-2)；

⑵点呜可和点小-乳

【分析】(I)①将从c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出。的值，再用配方法求出顶点

坐标即可；②先令)=0得到8点坐标，再求出直线8P的解析式，设点M的坐标为(加而-2〃?-3),则点G

的坐标为(肛2%-6),再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；

(2)根据m=2c,解析式经过A点，可得到解析式：y=ax2-2ax-3a,再表示出P点坐标，N点坐标，

接着作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N',再把P和V的坐标表示出来，由题意可

知，当PF+FE+硒取得最小值，此时尸尸+FE+EN=PN'=5,将字母代入可得：

P'N'2=P'H2+HN'2=9+49a2=25.求出a的值，即可得到E、尸的坐标；

(1)

①.抛物线^二奴?+bx+c与x轴相交于点A(-l,0),

a-b+c=0.又。=-2,c=-3,得q=l.

...抛物线的解析式为y=r-2x-3.

y=Y-2X-3=(X-1)2-4,

二点P的坐标为(1,-4).

②当y=0时，由f_2x_3=0.

解得玉=-Lx2=3.

.,.点8的坐标为(3,0).

设经过B,P两点的直线的解析式为y=^+〃,

3k+n=0,，=2,

有%+〃=_4解得

[n=-6.

直线BP的解析式为y=2X-6.

•・,直线x=m(m是常数，1＜相＜3)与抛物线)'=/一21一3相交于点M,与3P相交于点G,如图所示:

・••点M的坐标为(加,62一2m-3),点G的坐标为(租,2加-6).

MG=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3=-(m-2)2+1.

・・,当机=2时，MG有最大值1.

此时，点M的坐标为(2,-3),点G的坐标为(2,-2).

(2)

由(1)知。一/?+c=0,又3A=2c,

b=-2a,c=-3a,(a＞0)

，抛物线的现毕析式为y=以2_2利_3a.

*.*y=ax2-2ax—3a=a{x—\)2-4a,

，顶点尸的坐标为(1,-4。).

直线x=2与抛物线y=ax2-2cix-3a相交于点N,

・••点N的坐标为(2,-3。).

作点尸关于y轴的对称点P',作点N关于x轴的对称点N',如图所示:

P't------Lx/Z-Lf

/PF

得点P的坐标为(-1,7。)，点N'的坐标为(2,3a).

当满足条件的点E,F落在直线PN'上时，/+EE+EN取得最小值,

此时，PF+FE+EN=PN'=5.

延长P'P与直线x=2相交于点”，则产

在RtAPHN，中,P'H=3,HN'=3a-（-4a）=la.

p'N'2=P'H2+HN'2=9+49a2=25.

44

解得q=],%=-,（舍）.

点尸的坐标为（-1,-野点N'的坐标为（吟）.

420

则直线PN的解析式为y=

...点E停，。）和点尸（0,一都

【点评】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、

勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键.

5.（1）y=^-x2-x.（2）*2,0）；工+3=1,证明见解析（3）「件，。），°N，一义]

【分析】（1）先求出顶点8的坐标为（2,-1）,在设抛物线的解析式为y=“x-2）2-l,根据抛物线过原点,

即可求出其解析式；

（2）①设点F坐标为（2/），点G坐标为利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；

②设直线/的解析式为旷=女（工-2）,直线/与抛物线交于点M,N,直线方程与抛物线联立得出

加+6=4已%・％=-4d，在结合①的结论，分别表示出MRNF的值，即可求解；

（3）先求出点C的坐标，分别作点C关于x轴的对称点U,点8关于y轴的对称点连接BC,交x轴

于点P,交>轴于点Q,则点尸，。即为所求

【解析】解：（1）••・点B关于x轴对称点的坐标为（2,1）

，点8的坐标为（2,-1）

设抛物线的解析式为y=a（x-2）、1

•••抛物点过原点

r.0=a（0-2）2-l

解得。=!

4

•••抛物线解析式为：y=；（x-2）2-1即y=；丁-x

（2）①设点尸坐标为（2,b）,点G坐标为

由题意可得：J(a-2)2=；/-〃+2

C2\

整理得：b---2a-b=0

、2>

:2=0

，点尸的坐标为(2,0)

②设直线/的解析式为y=k(x-2),直线/与抛物线交于点M,N

y=-X2-X

<.4

y=%（x-2）

4（左Jk

整理得：y2-4k2y-4k2=0

2

yM+yN=43,.yN=-4k

由①得MF=y“+2,NF=y"+2

1111

...---1---=-----1----

MFNF加+2w+2

11yw4-VA,-+4

MFNF加班+2（加+%）+4

,114k2+4,

MFNF442+4

（3）•点。（3/72）在抛物线y=；/一X上，

/??=-x9-3=-—

44

如图：作点。关于x轴的对称点C,点8关于〉轴的对称点9

则点C'(3，T，点8'(-2,-1),连接"'，交x轴于点P,交>轴于点。，则此时四边形PQBC周长最小

设直线BC的解析式为y="+6

-2k+h=-l

<3

3k+b=-

4

:b=----3-

解得10

k=—

20

73

・•・直线B'C’的解析式为丁=豪-木

，点尸坐标为。，。1点Q坐标为(。,一高

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，

以及点的对称问题，综合性较强

6.(1)J=X2+2X-3；(2)存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为

(-1,夜)或(-1,-夜)或卜1,5-万)或11,5+a)；(3)£M+”P+依存在最小值，最小值为d+1，

此时点M的坐标为11：).

【分析】(1)由题意易得45=48=5,进而可得A(TO),则有以1,0),然后把点B、。代入求解即可；

(2)设点厂当以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分

①当所=8£时，②当防=8£时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；

(3)由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM,由题意易得。M=£M,四边形BOM尸是平行四边形，进

而可得OM=BP,则有E/0+MP+P3=£)M+MO+l,若使EM+MP+P8的值为最小，即DW+MO+1为最

小，则有当点。、M、。三点共线时，DW+A/O+1的值为最小，然后问题可求解.

【解析】解：(1)•••四边形ABCD为正方形，。(-4,5),

AAD=AB=5,A(-4,0),

JAO=4f

・•・OB=lf

・・・8(1,0),

,[16-4Z?+c=5

把点8、。坐标代入得：।八,

[\+h+c=On

fb=2

解得：，，

[c=-3

•••抛物线的解析式为y=V+2x-3；

（2）由（1）可得3（1,0）,抛物线解析式为y=V+2x-3,则有抛物线的对称轴为直线4-1,

：点。与点E关于抛物线的对称轴对称，

，£（2,5）,

/.由两点距离公式可得8炉=（1-2）2+（0-5『=26,

设点厂（-1,4）,当以点Q,F,E,8为顶点的四边形是以防为边的菱形时，则根据菱形的性质可分:

①当所=8£时，如图所示：

由两点距离公式可得8尸=8£2,即（1+1）2+（0-4=26,

解得：a=+5/22）

点F的坐标为（-1,反）或（-1,-^）；

由两点距离公式可得EF2=BE2,即（2+1）2+（5-of=26,

解得：a=5±y/17,

点尸的坐标为卜1,5-折）或卜1,5+旧）；

综上所述：当以点Q,F,E,8为顶点的四边形是以的为边的菱形，点尸的坐标为（-1,衣）或（-1,-厄）

或（T5一呵或卜1,5+呵；

由（2）可知点。与点E关于抛物线的对称轴对称，3（1,0）,

：.OB=1,DM=EM,

•••过点尸作抛物线对称轴的垂线，垂足为加，

/.PM=OB=1,PM//OB,

四边形BOMP是平行四边形，

OM=BP,

：.EM+MP+PB=DM+MO+1,

若使EM+MP+P8的值为最小，即DM+MO+］为最小，

当点。、M、。三点共线时，ZW+MO+1的值为最小，此时。。与抛物线对称轴的交点为M,如图所示:

•；。（工5）,

,6>£>=V42+52=741-

DW+MO+1的最小值为历+1,即EM+A/P+PB的最小值为"T+l，

设线段。。的解析式为>=依，代入点。的坐标得：k=~,

4

；•线段。。的解析式为y=-：x,

4

••・限用•

【点评】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的

性质及轴对称的性质是解题的关键.

7.(1)y=4+2x+3,对称轴为直线x=l；(2)四边形AC£>E的周长最小值为9+jm+l；(3)

耳(4,-5),2(8,-45)

【分析】(1)OB=OC,则点B(3.0),则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

即可求解；

(2)CD+AE=AD+DC,则当A\D、C，三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，即可求解；

(3)SAPCB：SApcA=yEBX(yc-yp)：yAEx(yc-yp)=BE：AE,即可求解.

【解析】(1)：OB=OC,.•.点B(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a--l,

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；

对称轴为：直线x=l

(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=7T5、DE=1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=CD,

取点A，(-1,1),贝I]AD=AE,

故：CD+AE=AD+DC,则当A\D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，

图1

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=弧+1+AD+DO如+1+AC=9+1+旧;

(3)如图，设直线CP交x轴于点E,

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，

又,.,SAPCB：SApcA=yEBX（yc-yp）：AEx（yc-yp）=BE：AE,

贝”BE：AE,=3：5或5：3,

则AE=：5或3

22

即：点E的坐标为（|,0）或（g,0）,

将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3,

解得：k=-6或-2,

故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②

联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），

故点P的坐标为（4,-5）或（8,-45）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1）,

通过确定点A，点来求最小值，是本题的难点.

8.（1）y=-T-r2+—x+2,C（0,2）；（2）m=2+J^'或2—（3）■存在最大值

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；

（2）连接OQ,得到点Q的坐标，利用S=SA℃Q+SAOBQ-SAOBC得出△BCQ的面积，再令S=2,即可解出m

的值；

（3）证明△APCS/\QPH,根据相似三角形的判定与性质，可得当=空,根据三角形的面积，可得QH=

APAC

七根据二次函数的性质，可得答案.

【解析】解：（1）•.•抛物线经过A（-1,0）,B（4,0）,可得：

0--■--b+c[,3

?b=—

■]，解得：2,

0=——x16+4Z?+cc=2

2I

13

•••抛物线的解析式为：y=-^x2+|x+2,

令x=0,则y=2,

...点C的坐标为(0,2)；

(2)连接OQ,

•••点Q的横坐标为m,

[3

Q(m,—H—〃z+2),

22

・1c1J123小1czi

..S=SAOCQ+SAOBQ-SAOBC=+—X4X-—m+—+2--x2x4

J4\乙乙J乙

=-m2+4机,

令S=2,

解得：m=2+虚或2-四；

(3)如图，过点Q作QH_LBC于H,

♦/=#+22=6,BC=j4?+2:闻,AB=5,

满足AC2+BC2=AB2,

NACB=90°,又NQHP=90°,ZAPC=ZQPH,

.".△APC^AQPH,

.PQ_QHQH

''AP~AC~'

".'SABCQ=^BC«QH=^QH,

.♦.QH=旱,

PQQH_S4

+—

瓦一正一M5

•・・当m=2时,当存在最大值?

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法,

勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合.

2227177

9.(1)y=-2x+4x+6；(2)SAPBC=-3m+9m(0<m<3)；—；(3)M(1,8),N(0,万)或M(“

S593gq3

—N(0,」)或M(一，—),N(0,=)或M(3,0),N(0,--)

884882

【分析】（1）根据点4、8的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点P作轴，交BC于袅F,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点8、

C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点尸的坐标为（江-2m2+4/+6）,则点尸的坐标

为（m，-2m+6）,进而可得出P尸的长度，利用三角形的面积公式可得出-3*+9小，配方后利用

二次函数的性质即可求出△P8C面积的最大值；

（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点

M,点N的坐标即可.

【解析】(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax?+bx+6.

a—b+6=0a--2

得:解得:

9a+3b+6=0b=4

抛物线的解析式为y=-2X2+4X+6.

（2）过点P作PF〃y轴，交BC于点F,如图1所示.

.♦.点C的坐标为（0,6）.

设直线BC的解析式为y=kx+c,

将B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得:

j3A+c=0k=-2

,解得：c=6

Ic=6

直线BC的解析式为y=-2x+6.

设点P的坐标为(m,-2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,-2m+6),

PF=-2m?+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m,

I(327

••S4PBC=~PF+OB=-+9/72=—3l——I+,

327

当机=5时，4PBC面积取最大值，最大值为亍.

•.•点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,

.,.0<m<3.

(3)存在点M、点N使得NCMN=90。，且△CMN与△OBC相似.

如图2,ZCMN=90°,当点M位于点C上方，过点M作MD_Ly轴于点D,

•.,/CDM=NCMN=90°,NDCM=NNCM,

.♦.△MCDS/XNCM,

若ACMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，

设M(a,-2a2+4a+6),C(0,6),

DC=-2a2+4a,DM=a,

当2^=丝=3=』时，△cOBs/\CDMsaCMN,

CDOC62

•a-1

"-2a2+4a~2，

解得，a=l,

AM(1,8),

ND=-DM=-,

22

AN(0,—),

2

当乌=竺=」时，△COBS^MDCS^NMC,

DMOC2

.-2a2+4a1

••--------=一

a2

7

解得

4

此时N(0,—).

8

过点M作ME±y轴于点E,

设M(a,-2a2+4a+6),C(0,6),

.".EC=2a2-4a,EM=a,

Ozy-—4/71O/j~—4/7

同理可得：""J.或〃的=2,aCMN与^OBC相似，

ala

9

解得。=;或a=3,

4

939

•**M(一,—)或M(3,0),

48

33

此时N点坐标为，N(0,1)或N(0,

综合以上得，M(1,8),N(0,—)或M(一,•—),N(0,――)或M(一,■—)>,N(0,—)或M

2488488

3

(3,0),N(0,--),使得NCMN=90。，且△CMN与△OBC相似.

【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最大值，相似三角

形的判定与性质，以及渗透分类讨论思想.

10.(1)y=-V+2x+3（2）最大值为10

⑶故点P坐标为：4,乡或（2±延,-3-6立或土逑［3+6立）.

242424

【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-lY+4,将点B的坐标代入上式，即可求解；

（2）矩形M/WG的周长C=2MN+2GM=2（2X-2）+2（-V+2X+3）=-2X2+8X+2,即可求解;

（3）S^=-=-xPKxCD=-xPWxsin45°x3>/2,解得：PH=-=HG,即可求解.

NC8224

【解析】（1）二次函数表达式为：y=&x-iy+4,

将点3的坐标代入上式得：0=4。+4,解得：a=-l,

故函数表达式为：y=-x2+2x+3…①；

（2）设点M的坐标为卜,一w+2x+3）,则点N（2—x,—f+2x+3）,

则MZV=x-2+x