2023版高考数学一轮复习讲义：第九章平面解析几何9-7

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或x2＝434．解析：由题意知：双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x答案：D5．解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(0，－2)，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y6．解析：设点M的坐标为(x0，y0)，则有|FM|＝x0＋1＝6，解得x0＝5.答案：5提升关键能力考点一例1解析：(1)由y2＝4x可得F(1，0)，准线为x＝－1，设P(x，y)，因为|PF|＝4，由抛物线的定义得x＋1＝4，解得：x＝3，所以y2＝4×3＝12，所以＝|OP|＝(x-0)2+(y-0)2＝3(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.答案：(1)A(2)4一题多变1．解析：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝4＝16+4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.答案：252．解析：由抛物线的定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3+7|32答案：2对点训练1．解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x＝－2交x轴于点F′，作NA⊥l于点A，MB⊥l于点B，如图，而点F(2，0)，M为FN的中点，则|NA|＝2，|FF′|＝4，|MF|＝|MB|＝|NA|+|FF所以|FN|＝2|MF|＝6.答案：B2.解析：令抛物线y2＝8x的焦点为F，则F(2，0)，连接PF，如图，因l是抛物线y2＝8x的准线，点P是抛物线上的动点，且PM⊥l于M，于是得|PM|＝|PF|，点F(2，0)到直线l1：2x－y＋3＝0的距离d＝|2×2-0+3|22又PN⊥l1于N，显然点P在点F与N之间，于是有|PM|＋|PN|＝|PF|＋|PN|≥d，当且仅当F，P，N三点共线时取“＝”，所以|PM|＋|PN|的最小值为d＝75答案：B考点二例2解析：(1)由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，1＋p2＝2，p＝解析：(2)如图：∵直线AF的斜率为－3，∴∠PAF＝∠AFK＝60°，∵抛物线的定义知|PF|＝|PA|＝4，∴△PAF为等边三角形，∴|AF|＝4，∴在Rt△AKF中，|KF|＝2，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.答案：(1)D(2)A对点训练1．解析：抛物线y＝ax2(a>0)即x2＝1ay(a>0)，可得准线方程y＝－1因为Mm，12到其准线l所以12+14a＝1，解得答案：A2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y=x-1y2=2px，整理得x2－2(1＋p)x＋1则x1＋x2＝2(1＋p)，可得y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p，由点N为AB的中点，所以N(1＋p，p)设M(x0，y0)，因为OM＝3ON，可得M(3＋3p，3p)，又由点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，可得(3p)2＝2p×3(1＋p)，即p2－2p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.答案：B考点三例3解析：(1)由(FA+FB)·AB＝0可知，△AFB是以AB为底的等腰三角形，由A在抛物线C上得x0＝4p，由抛物线的定义得|AF|又|BF|＝p2＋2，|AF|＝|BF|∴p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)知A(2，22)，F(1，0)，设直线l的方程为x＝my-2，联立得y2=4xx=my-2，消去x得y2－4my＋8＝0，Δ＝16m2－32由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝8.直线MA的方程为y－22＝4y1+22(∴yP＝-16y1+22＋2同理可得yQ＝22∴PBBQ＝＝y2+22y1-2对点训练1．解析：设直线y＝k(x－1)(k>0)，由y=kx-1y2=3x得ky2－3y－3k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1+y2=3ky1y2=-3，又AP＝3PB，所以(1-x1，－y1)于是-2y2=3k-3y22=－3，且k答案：B2．解析：(1)由题意不妨设Bp2将点B