2023版高考数学一轮复习讲义：第二章函数的概念与基本初等函数2-1

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第一节函数及其表示最新考纲·1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．函数与映射的概念函数映射两个集合A，B集合A，B是两个非空的________集合A，B是两个非空的________对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应．按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个元素a，在集合B中都有________的元素b与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________．(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：________________、________________、________________．[提醒]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[提醒]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、必明3个常用结论1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)对于函数f：A→B，其值域是B.()(2)函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数．()(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应，那么这个对应关系就是函数．()(4)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数．()(5)分段函数不是一个函数而是多个函数．()(二)教材改编2．[必修1·P18例2改编]下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x+1)2B．y＝3x3C．y＝x2x＋1D．y＝x3．[必修1·P17例1改编]已知f(x)＝x+3+1x+a，若f(－2)＝0，则a(三)易错易混4．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝(x+1)2,x<14-x-1,x≥1,则使得f(x)≥5．(忽视新元范围)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．(四)走进高考6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函数f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，x≤2.若f(f(6提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一函数的定义域[基础性]1．函数y＝lg2-x12+x-x2＋(x－1)0A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．23．[2022·江西抚州模拟]若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数f2xx-3的定义域为(A．(0，3)B．[1，3)∪C．[1，3)D．[0，3)4．[2022·陕西渭南高三检测]若函数y＝ax+1ax2-4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是A．0，12B．0，12C一题多变●1．(变问题)将题3中的“函数f2xx-3的定义域”改为“函数f(x－5)的定义域为________2．(变条件，变问题)将题3改为“已知函数f(x－5)的定义域为[0，6]，则函数f(x)的定义域为________．”反思感悟1．给定函数的解析式，求函数的定义域2．求抽象函数定义域的方法考点二函数的解析式[综合性][例1](1)已知f2x+1＝lgx，则f(x)的解析式为(2)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)的解析式为________．(3)[2022·佛山一中月考]已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________．听课笔记：反思感悟求函数解析式常用的方法[提醒]由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．【对点训练】1．若函数f(1－2x)＝1-x2x2(x≠0)，那么f(12A．1B．3C．15D．302．已知fx+1x＝x＋1x，则函数f(x3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．4．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝________考点三分段函数[基础性、综合性]角度1求分段函数的函数值[例2](1)[2022·安徽合肥检测]已知函数f(x)＝x+1x-2，x>2，x2+2，x≤2，A．－12B．C．4D．11(2)[2022·郑州模拟]已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx-1+1，x>1，A．12B．－C．－1D．1听课笔记：反思感悟分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度2分段函数与方程[例3][2022·长春模拟]已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0A．－3B．－1C．1D．3听课笔记：反思感悟根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范围.角度3分段函数与不等式[例4][2022·湘赣皖长郡十五校一联]设函数f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x＋2)>f(3A．x<1B．x≥1C．－2<x<1D．0<x<1听课笔记：反思感悟与分段函数有关的不等式问题主要表现为解不等式(有时还需要结合函数的单调性)．若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数，则只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解即可.【对点训练】1．[2022·长沙长郡中学月考]已知函数f(x)＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0)＝A．－1B．1C．－1或1D．－1或－12．[2022·福州市高三质量检测]函数f(x)＝x，x<0，ex-1，x≥0，则f(2)3．[2021·深圳模拟]已知函数f(x)＝1+x2，x≤01，x>0，若f(x－4)>f(2x－3微专题❹学通学活巧迁移新定义函数交汇创新所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[例][2022·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnx．其中是一阶整点函数的是(A．①②③④B．①③④C．①④D．④解析：对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D项；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A项；对于函数h(x)＝(13)x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B项．故选C项答案：C名师点评本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．[变式训练]1．[2022·山东滨州月考]具有性质f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x0<x<1，0x=1，A．①②B．②③C．①③D．只有①2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx在①f(x)＝sinx，②f(x)＝-2x3，③fx＝1－x这三个函数中，____________第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示积累必备知识一、1．数集集合任意唯一确定任意唯一确定2．(1)定义域值域(2)定义域值域对应关系(3)定义域对应关系解析法图象法列表法3．对应关系三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．解析：对于A，函数y＝(x+1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B.答案：B3．解析：因为f(x)＝x+3+所以f(－2)＝-2+3+1-2+a＝0，解得答案：14．解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1，即4－x-1≥1，解得1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：(－∞，－2]∪5．解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)6．解析：因为6>4＝2，所以f(6)＝(6)2－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.答案：2提升关键能力考点一1．解析：要使函数解析式有意义，须有2-x>0解得x<2，-3<x<4，x≠1，所以－3<x<2且x≠1.故函数的定义域为{x|－3<x<2答案：B2．解析：因为－2x＋a>0，所以x<a2，又因为函数定义域为(－∞，1)，所以a2＝1，所以a答案：D3．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以x≠3，函数f2xx-3的定义域为[0，3)．故选答案：D4．解析：要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则a>0，Δ=-4a2-4·a·2<0，即a>0，a2a-1<0，解得0<a<12答案：D一题多变1．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，则0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函数f(x－5)的定义域为[5，11].答案：[5，11]2．解析：因为函数f(x－5)的定义域是[0，6]，则0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函数f(x)的定义域为[－5，1].答案：[－5，1]考点二例1解析：(1)(换元法)令2x＋1＝t，则x＝2t-1.因为x>0，所以t>1，所以f(t)＝lg2t-1，即f(x)的解析式是f(x)＝lg2x-1(2)方法1：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t-12，所以f(t)＝4t-122－6×t-12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x方法2：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.方法3：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a=4，4a+2b=-6所以f(x)＝x2－5x＋9.解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13e答案：(1)f(x)＝lg2x-1(x(2)f(x)＝x2－5x＋9(3)f(x)＝23e－x－13对点训练1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝1-x2x2(当x＝14时，f(12)＝1-116方法2：设1－2x＝t，则x＝1-t2结合f(1－2x)＝1-x2x2(f(t)＝41-t2－1＝所以f(12)＝4-1-12答案：C2．解析：令t＝x+1x(因为x+1x≥2，则t2＝x＋1x＋2(t≥2)，得到x＋1x＝t2－2，所以由f(x+1x)＝xf(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．答案：f(x)＝x2－2(x≥2)3．解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以a=2，5a+b=17，解得a=2，b=7.所以f(x)答案：2x＋74．解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f1x＝3x，所以将x用1x替换，得2f1x＋f(x)＝3由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠0)答案：2x－1x(x≠考点三例2解析：(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋13-2＝4.故选C(2)f43＝f43-1＋1＝f13＋1＝cosπ3f-43＝cos-4π3＝cos∴f43＋f-43＝