2023版高考数学一轮复习讲义：第七章不等式

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第一节不等关系与不等式·最新考纲·了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．·考向预测·考情分析：不等式性质在高考中单独命题较少，多出现在解题过程中，其中不等式性质与指数、对数函数性质结合将是高考的热点，题型以选择题为主．学科素养：通过不等式性质的应用考查逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔________．(2)a＝b⇔a－b＝0.(3)a<b⇔________．2．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔________．(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒________．(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c.(双向性)(4)同向可加性：a>b，c>d⇔________．(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(6)a>b>0，c>d>0⇒________．(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈二、必明2个常用结论不等式的两类常用性质1．倒数性质(1)a>b，ab>0⇒1a<1(2)a<b<0⇒1a>1(3)a>b>0，0<c<d⇒ac>b(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<2．有关分数的性质若a>b>0，m>0，则(1)真分数的性质ba<b+ma+m，ba>b−m(2)假分数的性质ab>a+mb+m，ab<a−m三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)a>b，c>d⇒a－d>b－c.()(2)a>b⇒a3>b3.()(3)a>b⇔ac2>bc2.()(4)a>b，c>d⇒ac>bd.()(5)a>b⇒1a<1(6)若1a<1b<0，则|a|>|(7)若a>b且ab<0，则1a<1(二)教材改编2．[必修5·P74练习3题改编]若a，b都是实数，则“a−b>0”是“a2－b2>0A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[必修5·P75习题T2改编]已知a＝1，b＝3−2，c＝6−5，则a，A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>b>a(三)易错易混4．(搞错绝对值的意义)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A．1a−b>1aB．1C．|a|>|b|D．a2>b25．(求范围时忽视α<β)若－π2<α<β<π2，则α－(四)走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]若a>b，则()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a3－b3>0D．|a|>|b|提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一比较两个数(式)的大小[基础性]1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a+b，B＝a+b，则A，A．A≤BB．A≥BC．A<BD．A>B2．已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<NB．M>NC．M＝ND．不确定3．若a＝ln33，b＝ln44，A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c反思感悟用作差法比较两个实数大小的四步曲考点二不等式的性质[综合性][例1](1)若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A．ac2<bc2B．1a<C．ba>abD．a2>ab>(2)下列对不等关系的判断，正确的是()A．若1a<1b，则a3>B．若aa2>bb2C．若lna2>lnb2，则2|a|>2|b|D．若tana>tanb，则a>b听课笔记：反思感悟不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．【对点训练】若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ac−bC．ad>bcD．a考点三利用不等式性质求范围[应用性][例2]已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．听课笔记：一题多变1．(变条件)将本例的条件改为“－1<x<y<3”，则x－y的取值范围为________．2．(变条件)将本例的条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，则3x＋2y的取值范围为________．反思感悟利用不等式的性质求取值范围的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范围．【对点训练】已知π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，则2α－第七章不等式第一节不等关系与不等式积累必备知识一、1．(1)a－b>0(3)a－b<02．(1)b<a(2)a>c(4)a＋c>b＋d(6)ac>bd三、1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×2．解析：a−b>0⇒a>b⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0a答案：A3．解析：由3−2＝13+2，6−5＝16+5，而3+2<6+答案：A4．解析：因为a<b<0，所以a－b<0，a<0，所以a(a－b)>0.将1a−b>1a两边同乘a(a－b)，可得a>a－b，所以答案：A5．解析：∵－π2<α<β<π即－π2<α<π2，－π2<β<π2，且从而－π2<－β<π∴－π<α－β<0，即α－β的取值范围是(－π，0)．答案：(－π，0)6．解析：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.答案：C提升关键能力考点一1．解析：由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.故选B.答案：B2．解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故选B.答案：B3．解析：易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log8164<1，所以a>b；bc＝5ln44ln5＝log答案：B考点二例1解析：对于A，(1)当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；对于B，当a＝－2，b＝－1时，1a＝－12，1b＝－1，此时1a>1b，B错误；对于C，∵ba−ab＝b2−a2ab<0，∴ba<ab，C错误；对于D，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab∴a2>ab>b2，D正确．(2)a＝－1，b＝1满足1a<1b，但a3<b3，A错；a＝1，b＝－2，满足aa2>bb2，但2a>2b，B错；lna2>lnb2⇒a2>b2⇒|a|>|b|⇒2|a|>2|答案：(1)D(2)C对点训练解析：∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴bdcd>accd，即bc答案：D考点三例2解析：∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.答案：(－4，2)(1，18)一题多变1．解析：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4①又∵x<y，∴x－y<0，②由①②得－4<x－y<0，故x－y的取值范围是(－4，0)．答案：(－4，0)2．解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m+n=3m−n=2，∴m=即3x＋3y＝52(x＋y)＋12(x－又－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴－52<52(x＋y)<10，1<12(x－y∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<232，即－32<3x故3x＋2y的取值范围是−3答案：−对点训练解析：设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，则m+n=2，m−n=−1，∴即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－∵π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π∴π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α∴－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β∵2α－β的取值范围是−π，π答案：−π，

第二节一元二次不等式及其解法·最新考纲·1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．·考向预测·考情分析：不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下．学科素养：通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记1个知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________{x|x≠−Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集________________________二、必明3个常用结论1．分式不等式与整式不等式(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)g(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x2．绝对值不等式的解法(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；(3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．3．(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔a>0，(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔a<0三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．()(4)x−ax−b≥0等价于(x－a)(x－b)≥(二)教材改编2．[必修5·P80习题T2改编]设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝1x−1的定义域，则A∩BA．(1，2)B．[1，2]C．[1，2)D．(1，2]3．[必修5·P104习题T3改编]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是−12，13(三)易错易混4．(不等式变形必须等价)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________．5．(注意二次项系数的符号)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________．(四)走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩▒B＝()A．(－∞，1)B．(－2，1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一不含参数的一元二次不等式的解法[基础性]1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为()A．−1，B．−C．(－∞，－1)∪D．−∞，−2．不等式1−x2+x≥A.[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)∪D．(－∞，－2]∪反思感悟解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法[综合性][例1]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．听课笔记：反思感悟含参数的一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．【对点训练】1．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|−12<x<−13}，则不等式x22．解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．考点三一元二次不等式恒成立问题[综合性]角度1在R上的恒成立问题[例2]对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－2，2)D．(－2，2]听课笔记：反思感悟一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度2在给定区间上的恒成立问题[例3]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．听课笔记：反思感悟一元二次不等式在区间上恒成立的条件设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒n或m<−b2a(2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒n≤m<−b2a角度3给定参数范围的恒成立问题[例4]若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________．听课笔记：反思感悟给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【对点训练】1．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为()A.a<－12或a>12B．a>12C.a>12D．－12<a2．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是()A.(－∞，4]B．(－∞，－5)C.(－∞，－5]D．(－5，－4)微专题26转化与化归思想在不等式中的应用思想方法转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．[例]关于x的不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则a－bA．－1B．－2C．－3D．－4解析：令f(x)＝34x2－3x则f(x)＝34(x－2)2＋1，所以f(x)min＝f由题意可知a≤1，且f(a)＝f(b)＝b，a<b，b>2，由f(b)＝b得到34b2－3b＋4＝b解得b＝43(舍去)或b由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，所以a－b＝－4.故选D.答案：D名师点评(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想；函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．[变式训练]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．第二节一元二次不等式及其解法积累必备知识一、{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选D.答案：D3．解析：由题意知－12，13是ax2解得a=−12，b=−2，所以a＋b答案：－144．解析：原不等式等价于(x＋5)(x－3)<0，解得－5<x<3，即该不等式的解集为(－5，3)．答案：(－5，3)5．解析：由(x＋1)(3－2x)≥0，得(x＋1)(2x－3)≤0，所以不等式的解集为{x|−1≤答案：{x|−1≤x≤6．解析：A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<1}．故选A.答案：A提升关键能力考点一1．解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>32答案：C2．解析：原不等式化为(1−x)(2+x)(x−1)(x+2)≤0x+2≠0，,答案：B考点二例1解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以x−1a(所以当a>1时，解得1a<x当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<1a综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<1当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|1a对点训练1．解析：由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且所以−12+故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.答案：{x|x≥3或x≤2}2．解析：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a当a>0时，不等式的解集为−∞，−a当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪0当a<0时，不等式的解集为−∞，a考点三例2解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有a−2<0，解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2，2].答案：D例3解析：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx−122＋34m令g(x)＝mx−122＋34m当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<67，所以0<m<6当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是−∞，6答案：−∞，例4解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则g1<0，解得1−32<x<故x的取值范围为(1−3答案：(1−3对点训练1．解析：当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；当a≠0时，a>0，Δ<0即解得a>12答案：C2．解析：令f(x)＝x2＋mx＋4，∴x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立，∴f1≤解得m≤－5.答案：C微专题26转化与化归思想在不等式中的应用变式训练解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x+a22＋b因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24，所以f(又因为f(x)<c，所以x+a22即－a2−c<x所以−②－①得2c＝6，所以c＝9.答案：9

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题·最新考纲·1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．·考向预测·考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，主要以选择题和填空题的形式出现．学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域,不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式组各个不等式所表示平面区域的________2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的______________________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的____________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的________线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的________解析式可行解满足线性约束条件的解________可行域所有可行解组成的________最优解使目标函数取得________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题二、必明2个常用结论1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．判断二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()(二)教材改编2．[必修5·P86练习T3改编]不等式组x−3y+6<0，x−y+2≥0表示的平面区域是3．[必修5·P91练习T1(1)改编]若变量x，y满足2x−y≥0，x+y−4≤0，y≥0，则x－2(三)易错易混4．(目标函数的几何意义不清)已知x≥1，x−y+1≤0，2x−y−2≤0，则x2＋y5．(最优解个数无数理解不透)已知实数x，y满足不等式组y≥0，y−x+1≤0，y−2x+4≥0.若z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则(四)走进高考6．[2021·全国乙卷]若x，y满足约束条件x+y≥4，x−y≤2，y≤3，则z＝3x＋A．18B．10C．6D．4提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域[基础性]1．在平面直角坐标系中，不等式组x−y≥0，x+y−1≤0，A．1B．12C．142．若不等式组x−y≥0，2x+y≤2，y≥0，x+y≤aA．a≥43B．0<a≤C．1≤a≤43D．0<a≤1或a≥3．已知由不等式组x≤0，y≥0，y−kx≤2，y−x−4≤0确定的平面区域ΩA．－3B．－1C．3D．1反思感悟二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)线定界：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线；(2)点定域：在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，代入不等式检验，若满足不等式，则包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域，否则为另一侧所表示的平面区域；(3)交定区：若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，求这些区域的公共部分，这个公共部分即为所求．考点二求目标函数的最值问题[综合性]角度1求线性目标函数的最值[例1](1)设实数x，y满足不等式组x−y+1≥0，x−2y−1≤0，x+y−1≥0，则2x－A．[－4，2]B．[－1，2]C．[－1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)[2021·浙江卷]若实数x，y满足约束条件x+1≥0，x−y≤0，2x+3y−1≤0，则z＝x－1A．－2B．－3C．－12D．听课笔记：反思感悟1．求目标函数的最值形如z＝ax＋by(b≠0)的目标函数，可变形为斜截式y＝－abx＋zb(b(1)若b>0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；(2)若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．2．求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：(1)将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；(2)将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度2求非线性目标函数的最值[例2]变量x，y满足x−4y+3≤0，(1)设z＝yx，求z(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．听课笔记：一题多变1．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝x2＋y2”改为“z＝x2＋y2＋6x－4y＋13”，如何求解？2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝yx”改为“z＝|x＋y|”反思感悟求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解．常见非线性目标函数类型及其几何意义．(1)x2+y2表示点(x−a2+y−b2表示点(x，y)与点((2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y−bx−a表示点(x，y)与点(a，(3)Ax+By+CA2+B2表示点(x，y)到直线Ax角度3求参数值或取值范围[例3](1)已知x，y∈R满足条件x−y+1≥0，x+y−2≥0，x≤2，若目标函数z＝ax＋y仅在点(2，3)处取得最大值，则实数A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3]B．[1，3]C．(－∞，2)D．(2，＋∞)听课笔记：反思感悟由目标函数的最值求参数的方法(1)把参数当常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数求出最值，通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，数形结合确定含参数的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[提醒]参数可能在表示可行域的不等式中(影响可行域的形状)，也可能在目标函数中(影响最优解的位置)，求解时注意参数的影响，有时需要对参数进行分类讨论．【对点训练】1．若x，y满足约束条件x−y≥0，2x+y≤6，x+y≥2，则z＝x＋32．设x，y满足约束条件x+y≥2，x−y≤2，y≤2，则目标函数z1＝2x－y的最大值是________，目标函数z2＝3．设x，y满足x≥0，x+y−2≤0，ax−y−a≤0，若z＝2x＋y的最大值为72A．－72C．1D．－72考点三线性规划的实际应用[应用性][例4]某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是________．听课笔记：反思感悟1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【对点训练】[2022·河北省“五个一名校联盟”考试]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元B．16万元C．17万元D．18万元第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题积累必备知识一、1．边界直线边界直线公共部分2．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．不等式(组)一次一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．答案：C3．解析：不等式组2x−y≥作出直线x－2y＝0并平移，当经过A(4，0)时，(x－2y)max＝4－2×0＝4.答案：44．解析：作出x≥1，x−y+1≤0，2x−y−2≤0表示的可行域，如图中阴影部分所示，易求得点A(1，2)，B(3，4)．x2＋y2的几何意义为可行域内的点到原点O的距离的平方．由图知，可行域内的点A到原点的距离最小，所以x2答案：55．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：16．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．解方程组x+y=4y=3得x=1y=3，即点A的坐标为(1，3)．从而z＝3x＋y的最小值为3答案：C提升关键能力考点一1．解析：作可行域如图中等腰直角三角形OAB所示，由x−y=0，x+y−1=0，得x=12，y=12所以其面积为12×12答案：C2．解析：作出不等式组x−y≥0，2x+y≤2，y≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．即a的取值范围是0<a≤1或a≥43答案：D3．解析：作出不等式组x≤可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y＝kx＋2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k<0.由y−kx=2，可得D2k−1依题意应有12×2×2解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.答案：B考点二例1解析：(1)如图，画出可行域(如图，阴影部分含边界)，令z＝2x－y，y＝2x－z.当z＝0时，画出初始目标函数表示的直线y＝2x，当直线平移至点A(0，1)时，z＝2x－y取得最小值zmin＝2×0－1＝－1，根据可行域可知，无最大值，所以2x－y的取值范围是[－1，＋∞)．解析：(2)画出满足约束条件x+1≥如下图所示：目标函数z＝x－12y化为y＝2x－2z由x=−1，2x+3y−1=0，解得x=−1，y=1，设当直线y＝2x－2z过A点时，z＝x－12y取得最小值为－3答案：(1)C(2)B例2解析：由约束条件x−4y+3≤由x=1，3x+5y−25=0，解得A1，由x=1，x−4y+3=0，解得C由x−4y+3=0，3x+5y−25=0，解得B(1)因为z＝yx＝y−0所以z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25，zmax＝kOA＝22所以z的取值范围为25(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.所以z的取值范围为[2，29].一题多变1．解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例．z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝−3−52所以z的取值范围为[16，64].2．解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例．z＝|x＋y|＝2·x+y2的几何意义是可行域上的点到直线x＋y＝0的距离的2倍．结合图形可知，可行域上点C(1，1)到直线x＋y＝0的距离最小，可行域上点B(5，2)到直线x＋y所以zmax＝2×5+22＝7，zmin所以z的取值范围为[2，7].例3解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，且目标函数仅在点A(2，3)处取到最大值，所以－a<kAB，即－a<1，所以a>－1，故选D.解析：(2)不等式1≤y≤x＋y≤ax＋3等价于y≥1，x+y设z＝y－2x，则y＝2x＋z，且z的最大值是3，由图形知，a－1≤2，解得a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3].答案：(1)D(2)A对点训练1．解析：由x−y≥由2x+y=6，x+y=2，解得A(4，－2)，由x−y=0，2x+y=6，解得将函数y＝－13x当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；当目标函数的图象经过B(2，2)时，zmax＝2＋3×2＝8.答案：－282．解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最小值，即z2＝x2＋y2的最小值为−21答案：623．解析：由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组x≥0，x+y−2≤0，ax−y−a≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值72，由x+y−2=0，ax−y−a=0，得答案：C考点三例4解析：根据题意，设培优小组A，B能够成立的学生人数分别为x，y(x，y均为正整数)，则z＝x＋y，2x+3y≤14，2x+y≤9，x∈N，y∈N，作出不等式组所表示的平面区域，为图中四边形OABC及其内部的整数点，作出直线x＋y答案：5对点训练解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点∴M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.答案：D

第四节基本不等式·最新考纲·1．理解基本不等式ab≤a+b2(a2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．·考向预测·考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中．学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．基本不等式：ab(1)基本不等式成立的条件：________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，和x＋y有最________值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，积xy有最________值p2[提醒]利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．二、必明1个常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba+ab≥2((3)ab≤a+b22(a，b∈(4)a2+b22≥a+b以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2(2)(a＋b)2≥4ab.()(3)“x>0且y>0”是“xy+yx(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈(二)教材改编2．[必修5·P100练习T1改编]当x>1时，x＋1x−13．[必修5·P100练习T2改编]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.(三)易错易混4．(未注意等号成立的条件)当x≥2时，x＋4x+25．(未注意字母的正负号)函数f(x)＝2x2+x+3(四)走进高考6．[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则x+12y+1xy的最小提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一利用基本不等式求最值[综合性]角度1配凑法[例1](1)已知x>54，则f(x)＝4x－2＋1(2)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为________．听课笔记：反思感悟配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度2常数代换法[例2]若正数m，n满足2m＋n＝1，则1mA．3＋22B．3＋2C．2＋22D．3听课笔记：反思感悟常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度3消元法[例3]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则(1)x＋3y的最小值为________；(2)xy的最大值为________．听课笔记：反思感悟消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的取值范围．【对点训练】1．已知函数f(x)＝22x−1＋xx<A．f(x)有最小值52B．f(x)有最小值－C．f(x)有最大值－12D．f(x)有最大值－2．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则1x+1考点二基本不等式的综合应用[综合性]角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题[例4](1)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2aA．2－2B．2－1C．3＋22D．3－22(2)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn+8a听课笔记：反思感悟基本不等式与函数、数列、解析几何结合的题目，往往先通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．角度2求参数值或取值范围[例5](1)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为()A．2B．22C．4D．9(2)[2021·江西吉安期中]设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式1x+ay≥4对任意的x，A．[4，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(4，＋∞)听课笔记：反思感悟求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或取值范围．【对点训练】1．设x>0，y>0，且2x+3y＝1，若3x＋2y>m2＋2A．(－∞，－6]∪B．(－∞，－4]∪C．(－6，4)D．(－4，6)2．若△ABC的内角满足3sinA＝sinB＋sinC，则cosA的最小值是()A．23B．79C．1考点三基本不等式的实际应用[应用性][例6]小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)听课笔记：反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．【对点训练】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是微专题27均值不等式的向量形式交汇创新我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a+b2≥ab(a，b∈由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．但将a+b2≥ab(a，b∈R＋注意到a+b2≥ab(a，b∈R＋)⇔a+b22≥ab(a，b∈R＋)，而不等式(a＋b)2≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得a+b22≥这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．定理2设a，b是两个向量，则a+b22≥a·b，当且仅当[例1]若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．解析：方法一由定理1得32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，所以a·b≥－98，当且仅当b＝－2a故a·b的最小值是－98方法二由定理2得2a·(－b)≤2a−b则a·b≥－98，当且仅当b＝－2a故a·b的最小值是－98答案：－9说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，a·b的最大值为m24λ；当λ<0时，a·b的最小值为[例2]已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．解析：引入正参数λ，由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b，1－2b2＝a·b≤12λa当且仅当λa2＝1λb2，即b2＝λ2所以1－2λ2＝a·b≤12λa解得λ＝|b|≥12故|b|的最小值为12答案：1[例3]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．解析：由(a－c)·(b－c)＝0得c2＝c·(a＋b)，由定理1及已知条件得c2＝c·(a＋b)≤12[c2＋(a＋b)2＝12(c2＋a2＋b2)＝12(c解得|c|2≤2，故|c|的最大值是2.拓展1已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是1cos拓展2已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是m2[例4]平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC2＋1解析：由定理2得0<AB·BC≤AB+则AC2＋1AB·BC≥AC2＋4AC2＝|AC|2故当且仅当AB＝BC，且|AC|＝2时，AC2＋1[例5]设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围．解析：由定理1得a·b≤a2所以a·b≤3−a解得a·b≤1.又由定理1得(－a)·b≤−a所以a·b≥－a2+b解得a·b≥－3.所以－3≤a·b≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b＋b2≤9.名师点评以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．第四节基本不