湖北省仙桃重点学校2022-2023学年高二下学期第二次诊断考试数学试题及参考答案

-2023学年度高二年级第二次诊断考试数学试题考试时间：120分钟考试分数：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知，，则（

）A． B． C．0 D．13．直线的方向向量为，直线过点且与垂直，则直线的方程为（

）A． B．C． D．4．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于（

）A．3B．2 C．1 D．07．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间8．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6二、多选题9．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上则直线l与圆C相切10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是11．下列说法正确的是（

）A．是直线的一个方向向量B．点关于直线的对称点为C．过，两点的直线方程为D．“”是“直线与直线平行”的充要条件12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（

）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是第II卷（非选择题）三、填空题13．已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是___．14．已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______________．15．已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.16．在中，若的面积为2，则___________四、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.18．已知圆C过点，，且圆心在x轴上．(1)求圆C的方程；(2)设直线与圆C相交于A，B两点，若，求实数m的值．19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.20．已知直线方程为．（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？21．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．22．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：1．A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.2．B【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.【详解】解：，，.故选：B.3．A【分析】先由直线的方向向量求得，再利用直线垂直的性质求得，从而利用点斜式即可求得直线的方程.【详解】因为直线的方向向量为，所以，又因为直线与垂直，所以，故，所以由直线过点可得，直线的方程为，即.故选：A.4．B【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B5．D【分析】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上,代入椭圆方程求出即可.【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上.将,代入椭圆方程得:,解得,椭圆C的标准方程为.故选:D.6．D【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．【详解】以为基底向量，则，∵，，又∵，即，故选：D．7．C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.8．C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】9．ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.10．BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，，，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.11．AB【分析】利用“直线的方向向量，点关于直线的对称点，直线的两点式方程，两直线平行的充要条件”等知识，对每个选项进行分析，即可求解．【详解】对于A，直线的斜率为，所以是该直线的一个方向向量，故A正确；对于B，因为在直线上，且，连线的斜率为－1，故B正确；对于C，需要满足条件，，故C错误；对于D，因为两直线平行，所以斜率相等，即可得，但当，时，满足，直线与直线重合，所以“”不是“直线与直线平行”的充要条件，故D错误．故选：AB．12．ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；故选：ABC13．或【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再根据已知即可的解.【详解】解：由得，所以曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），直线y＝k（x+2）过定点，当直线直线y＝k（x+2）与圆相切时，圆心到直线的距离，解得，因为直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，所以k的取值范围是.故答案为：.14．【分析】根据题意作出示意图，易知圆和轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、二倍角公式进行求解.【详解】易知圆的圆心为，半径，且该圆和轴相切，切点为原点，连接，设，则两条切线的夹角为，，，即两条切线夹角的正切值是.故答案为：.15．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P在椭圆上列方程可得、，即可求参数b.【详解】由题设，，且，可得，又，则，综上，，又，则.故答案为：216．【分析】由条件将切化为弦，结合正弦的和角公式、辅助角公式先求出角，由面积公式可得答案【详解】解：在中，，则,所以，可得，所以所以可得，由正弦定理可得，可得，又因为，所以，又因为，所以，又则所以或解得或(舍去)所，解得．故答案为：．17．（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合，化简整理可得，从而可求出，进而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，从而可得，则有，而，所以【详解】解：（1）根据正弦定理得，整理得因为，所以，又，可得（2）在中，由余弦定理得：将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知有，因为所以.18．(1)(2)【分析】（1）设圆C的半径为r，圆心，由距离公式得出圆C的方程；（2）由得出直线l过圆心，从而得出的值.(1)设圆C的半径为r，圆心，由题意得解得∴圆C的方程为．(2)∵点M在圆上，且，∴直线l过圆心，∴，解得．19．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.20．（1）证明见解析；（2），最大值为.【解析】（1）先把直线方程化为，对任意都成立，解即可得到定点坐标；（2）当变化时，垂直直线时，点到直线的距离最大，求出，，可得直线的斜率，即可求出答案.【详解】（1）证明：直线方程为，可化为，对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点．（2）当变化时，垂直直线时，点到直线的距离最大，最大值，，则的斜率为，可得，解得．【点睛】本题主要考查了直线恒过定点问题，考查了点到过定点的直线距离的最值问题.属于中档题.21．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆C的标准方程为：.（2）（