湖南省常德市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷及答案

数学(时量：120分钟满分：150分)l个方向向量为=(-2,-8,1)，平面a的一个法向量为=(x,,2)，若l∥平面a，则x=()ABCD．1ymxmym4在四棱锥中，底面是平行四边形，E为PD的中点。若，，，则用基底表示向量为A．B． C． D． ．在椭圆中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为()A．3x+4y=0B．3x-4y=0C．3x+4y-12=0D．3x-4y+12=0MPN，则C的离心率的取值范围是()A． B． C． D．8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，动点M在侧面BCC1B1上运动(包括边界)，且MB1=2MB，则D1M与平面ADD1A1所成角的正切值的取值范围为()A． B．C． D．9．关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论，其中正确的有()A．离心率为B．长轴长是10.以下四个命题表述正确的是()A．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为Bxylxy=0的距离都等于1D．若圆x2-2x+y2=0与圆M关于直线x＋y＝0对称，则圆M的方程为x2+y2+2y=0ABCDABCDABGCDKAD中点，M为AB中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，则下列结论正确的有()ABDACDBAPAD的取值范围是C.PQ+QG的最小值为D.过点GKM的平面截正方体所得多边形的面积为.12.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆。若椭圆过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则()A．椭圆的离心率为C．M到的左焦点的距离的最小值为D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则三、填空题(每题5分，共20分)13.已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则k的值为_________．则直线l的方程为_________．15.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点 (切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=_________。16.已知点M是椭圆C：上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，则四边形MF1PF2的面积最大值为_________． )(1)求直线l过的定点P的坐标；(2)直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当△AOB面积最小时，求直线l的方程；ABCDABCDAAAB=2，E为CC1的中点.(1)求证:AC1//平面BDE.(2)若F为BB1中点，求直线A1F与平面BDE所成角的正弦值，19．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直且其“欧拉线”与圆M：(x-3)2+y2=r2相切．(1)求ABC的“欧拉线”方程；(2)点(x,y)在圆M上，求x+y的最值．段BQ的交点为P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若过点B的直线l交曲线C于M，N两点，求的取值范围.21．已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．(1)求证：平面MBCN；(2)在线段BC上是否存在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆E的方程（2）如图，动直线：交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB=2:3，⊙M的半径为MC，OS,OT是⊙M的两条切线，切点分别为S,T.求三SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.高二期中数学答案1.C2.D3.C4.D5.A6.C7.C8.B9.ACD10.ACD11.ACD12.ABD13.2114.+4y-12=016.27.【解析】连接，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA、PB分别与圆O切于点A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，连接，则，∴．又是上任意一点，则，又，∴，则由，得，又，∴．故选：C．8.【详解】设点M在平面的投影为点N，则，所求线面角为，则，因为，所以，在平面上，以A为坐标原点，AD为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，则，，设，，化简得：，，故点N的轨迹为以为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST，如图所示，连接，与圆弧ST相交于点，此时取得最小值，由勾股定理得：，所以，当点N与S重合时，取得最大值，由勾股定理得：，则，．故选：B．11.【详解】对于A选项，连接，则，由题可知，平面，且平面，则，又，面，平面，平面，则，同理可得，，面，直线平面，则选项A正确；对于B选项，由题可知，，，所以四边形为平行四边形，则A1D∥B1C，所以与B1C所成角即为异面直线与A1D所成角，易知是等边三角形，又点在线段B1C上运动，所以直线与A1D所成角的取值范围是，则B选项错误；对于C选项，如图展开平面，使平面共面，过G作，交B1C与点，交C1C与点Q，则此时最小，由题可知，，，则，即的最小值为，则C选项正确；对于D选项，作中点，连接，如图，易知多边形为过点GKM的平面截正方体所得多边形，易求，即多边形为正六边形，连结交于点，故.故选：ACD.12.【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，故D正确。故选：ABD．15.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设,,由M到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN的方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故,则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：16.【解析】由椭圆的方程可得，，所以，故，，又MP平分∠F1MF2，则P到MF1、MF2的距离相等，设为h，则，设，则，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点M为椭圆C上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2.故答案为：2所以直线l过的定点P(2,3).线l过的定点A(2,3)，可得，则△AOB面积为，此时对应的直线方程为，即3x+2y-12=0.【解析】(1)证明：如图所示：连接AC与BD交于点O，因为E，O为中点，所以AC1//OE，又AC1平面BDE，OE平面BDE，所以AC1//平面BDE；A1(1,0,2),F(1,1,1),B(1,1,0),D(0,0,0),E(0,1,1)=(0,1,-1),=(-1,-1,0),=(-1,0,1)，19.xy0；(2)最大值为3+2，最小值为3-2【详解】(1)因为在△ABC中，AB=AC=4所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，△ABCBCAD。BCD(BC的斜率为=-1，可得BC的垂直平分线的斜率为1，所以BC的垂直平分线方程为y-=x-，△(2)圆M：(x-3)2+y2=r2的圆心为M(3,0)，半径为r，因为直线x-y-1=0与圆M相切，所以圆M(3,0)到直线x-y-1=0的距离为r，即==r，令z=x+y，即即y=代入圆M的方程，可得所以x+y的最大值为3+2，最小值为【答案】(1)(2)【解析】(1)连接PA，由于l，是线段AQ的垂直平分线，所以|PA|=|PQ|，PAPBPQPBBQAB所以点P的轨迹C是以A、B为焦点，以4为长轴长的椭（2）①当直线的斜率不存在时，，，所以．②当直线的斜率存在时，设：，代入消去y得，设，则，因为，所以因为，所以，所以，综上可知，的取值范围是．21.【答案】(1)证明见解析(2)存在，或，【解析】（1）证明：△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以平面MBCN；（2）由（1）可知两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，因为，，所以平面，所以为平面的一个法向量，假设线段BC上存在点D，设，则，所以（），所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为