四川省泸县重点中学2022-2023学年高二下学期5月期中理数试题及参考答案

II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________14．若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为_______．(用数字作答)15．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近、可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）．16．如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（12分）若函数在处取得极值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．18．（12分）甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为（Ⅰ）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；（Ⅱ）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.19．（12分）如图，四边形ABCD为圆柱的轴截面，EF是该圆柱的一条母线，，G是AD的中点．（Ⅰ）证明：平面EBG；（Ⅱ）若，求二面角的正弦值．20．（12分）如图所示，、分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．21．（12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在处取极小值，求实数m的值；（Ⅱ）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．（选修4-4极坐标与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程．23．（选修4-5不等式选讲）已知定义在上的函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若实数，求的最小值及取得最小值时对应的的值．数学（理工类）参考答案1．A2．A3．B4．C5．D6．D7．A8．A9．C10．D11．C12．C13．14．915．16．17．解：（1），由，得．（2），．由，得或．当时；②当时或．当变化时，的变化情况如下表：12-0+0-因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．函数的极小值为，极大值为．18．解：(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则.(2)，，，19．（1）由已知平面，平面，所以，因为是圆的直径，所以，因为，所以平面，平面，故，因为，所以，易知：△△，所以，从而，又，所以平面.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，设位平面的法向量，则，所以，由（1）知：平面的法向量为因为，所以二面角的正弦值为.20．解：（1）由题意，设，则由余弦定理可得：①，又②，由①②得：，，于是，∴椭圆的标准方程是：；（2）当直线的斜率不存在时，，，则四边形的面积是，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，、，将与联立并消去，整理得，恒成立，∴，，则，由于直线与直线垂直，且经过点，∴直线的方程为，且点到直线的距离为，∴，则四边形的面积：，由于，故，于是（当时取得最大值），综上，四边形面积的最大值为．21．解：（1），由题意得，即，当时，，此时在上递减，在上递增，所以符合要求；当时，，此时在上递增，在上递减，所以不符合要求.综上，（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点由得不等式恒成立，令，求导得，当，，所以在上单调递增，因为，所以不符合题意；当时，令，则在上递增，又，且在上连续，所以存在唯一，使得，当时，，故递减；当时，，故递增.且，，所以，所以，即，令，则，所以在上递减，在上递增，又，所以方法2：指数化､换元处理由得，指数化得不等式恒成立，令，则，不等式恒成立，令，则，当时，，所以不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以所以，即，令，则，所以在上递减，在上递增，又，所以.22．解：（1）将，，代入曲线的极坐标方程，得曲线的