(压轴题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（）A． B． C． D．2．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则（）A． B． C． D．3．在中，若，，，则的面积为（）A． B．C． D．4．在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A． B． C． D．5．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cosA，则a＝（）A．1 B．C． D．6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10m B．30m C．10m D．10m7．在中，分别为三个内角的对边，若，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为（）A． B．C． D．9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点间的距离为（）A．80 B． C．160 D．10．已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是（）A． B． C． D．11．在中，若，，，则等于（）A． B．或 C． D．或12．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（）A． B． C． D．二、填空题13．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点、，测得，，，，则、两点的距离为______.14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，则______．15．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径______________.16．在中，，．当取最大值时，的外接圆半径为________．17．内角，，的对边分别为，，，若，，则__________．18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最大角的大小是________.19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.20．已知中，角、、所对的边分别是、、，边上的高为，且，则的取值范围是___________.三、解答题21．在中，，点D在边上，满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.22．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50.在甲出发2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130，山路AC长为1260，经测量得，，为钝角.（1）求缆车线路AB的长：（2）问乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短.23．在中，分别是角的对边．若，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：（1）求的值；（2）求角A的值及的面积．条件①：；条件②：．24．已知的内角的对边分别为，且．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值；①，；②，.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.（2）若，，求的面积．25．已知是的内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值26．在中，．（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.【详解】，由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得：，，所以，由，有，得，所以，，，，由余弦定理可得.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．D解析：D【分析】由，利用面积公式和和差角公式求出角C，用余弦定理求出ab，求出面积.【详解】因为，所以，所以，所以.由，得，所以.故选：D【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．3．C解析：C【分析】在中，，化简可得，又和，解得，，最后通过正弦定理求出，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由得：，∴，又，则，则，又，则或，，则或，又，则取，得，，又，根据正弦定理，，∴.故选C.【点睛】思路点睛：在三角形中，由于,根据诱导公式，，,，,,等，以上常见结论需要非常熟练.4．A解析：A【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果.【详解】由余弦定理：，得，由正弦定理：.故选A【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.5．A解析：A【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sinA＝cosA，再由同角三角函数间的关系求得cosA＝，运用余弦定理可求得边a.【详解】因为b＝2，c＝，S＝cosA＝bcsinA＝sinA，所以sinA＝cosA.所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.又，所以所以，故解得cosA＝.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选：A.【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.6．B解析：B【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【详解】解：如图，依题意知∠ABC＝30°+15°＝45°，∠ACB＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知，∴AC•sin∠ABC20（m），在Rt△ACD中，AD•AC2030（m）即旗杆的高度为30m．故选B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．7．D解析：D【分析】根据，利用正弦定理将边转化为角得到，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为，由正弦定理得：，所以，所以或，即或所以一定是等腰三角形或直角三角形，故选：D【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.8．A解析：A【分析】由余弦定理求得，并求得，利用三角恒等变换思想将化为以角为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由和余弦定理得，又，.因为三角形为锐角三角形，则，即，解得，，，即，所以，，则，因此，的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D【分析】如图，中可得，再利用正弦定理得，在中，由余弦定理，即可得答案；【详解】如图，中，，，，∴，由正弦定理得，解得，中，，，，∴，∴，中，由余弦定理得，∴，即A，B两点间的距离为．故选：D.【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．D解析：D【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得，结合三角形为锐角三角形可得的取值范围.【详解】∵，∴由正弦定理可得，∵由余弦定理，可得，又，∴可得，∵锐角中，若B是最大角，则B必须大于，所以，所以，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.11．D解析：D【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，从而求得．【详解】∵，即，∴，又，∴，即，则，∴，故选：A．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．二、填空题13．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边解析：【分析】在中，利用正弦定理计算出，分析出为等腰三角形，可求得，然后在中，利用余弦定理可求得.【详解】在中，，，，，在中，，，，由正弦定理可得，，在中，，，，由余弦定理可得，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解的值即可.【详解】根据正弦定理得：,故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a接着由正弦定理可得本题答案【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用解析：【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a，接着由正弦定理可得本题答案.【详解】由题意得，，所以，得，因为，即，得.故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用.16．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2【分析】设与两边平方后相加，可得，即，可知时，最大，可得角，再利用正弦定理即可求解.【详解】设，则，又因为，所以，所以，所以当时，，，此时的外接圆半径为．故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.17．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形解析：【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到，根据正弦定理可得，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果.【详解】内角，，的对边分别为，，，且，整理得，所以，由正弦定理得，整理得，因为，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.18．【分析】根据设根据大角对大边确定角C是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】根据，设，根据大角对大边，确定角C是最大角，再利用余弦定理求解.【详解】因为，所以设，所以角C是最大角，因为，所以，则的最大角是.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算解析：【分析】在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】在中，因为，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因为，，所以，由正弦定理得：，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：【分析】由余弦定理得出，由三角形的面积公式得出，进而可得出，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围.【详解】如下图所示：由余弦定理得，，，由三角形的面积公式得，得，，则，，，当时，即当时，取得最大值.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到的大小，进而求得的大小；（2）由，得到，根据向量的线性运算，求得，进而得到，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以或，当时，可得，可得；当时，可得，因为（舍去），综上可得.（2）因为，所以，由，所以，即，又由，可得，解得，则，所以.22．（1）1040；（2）【分析】（1）在中，根据，，由正弦定理，可得AB；（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，再利用二次函数求解.【详解】（1）在中，根据，，由正弦定理得：，得()所以缆车线路AB的长为1040（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，又在AB段的时间，即，故时，甲，乙两游客的距离最短.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．23．（1）；（2），.【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得，利用余弦定理和，即可求解；选用条件②：由正弦定理求得，得出，再由，求得得，结合正弦定理，即可求解；（2）由余弦定理求得的值，结合面积公式，即可求解．【详解】（1）选用条件①：因为，由正弦定理得，可得，又因为，所以，可得，又由，由余弦定理得，将代入上式，解得．选用条件②：因为，由正弦定理得即，又因为，所以，可得，则，又由