青年教师初中数学解题比赛决赛试卷及答案(广州市)

O广州市青教师初中数解题比赛O决赛试卷本试卷，第1-2为选择和填空题，3-8页解答题答卷。请将择题和空题的答做在第3页的卷上。全卷三大题25小题，分150分考试时钟。题号答案

121011DCDAADCCA第I卷（选题，共44分）一、选择

（本大题共题，每小题，满分分请将一确答案号在3页答卷）1任意实数，下列判断一定正确的是（）（Aa

a（B）a2

（C

a

（D

2、已知集{xx

2

{

2

则集M）（A{|

（B{x（C{

（D{|3}3、若二次数yax的图象如图所示，则点（a＋b，）在（）.（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（）第四象限O（第3题）4、同圆的接正十边形和外切正十边形的周长之比等于（）（A）°（B）°（C）°（D）sin36°5、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第8个图案中有白色地面砖（A）块.(A)34(B)36(C)38(D)406、将正方形的四边四等分，包括顶点共有6个点，这16个点可得到的直线条数是（）.(A)120(B)84(C)82(D)807、如图，O中，弦∥，DA＝，∠＝160°，则∠等（）.（A）20°（B30°（）°（D）50°

A（第7题）8、如果,实数，且x

2y2

0,则的取值范围是（）.

(A)任意实数(B)负实数0x

12

9、方程

x所有实数根的和等于（）.1

(A)

(B)1(C)0(D)10、将四个完全相同的矩长是宽的3倍同的方式拼成一个大矩形设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是（）A)1种(B)2种(C)3种(D)4种、一次函数f(xaxa整数）的图象经过点9819x轴的交点为,它与轴的交点为（0，q）,若p是质数，q正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为（）.(A)0(B)1(C)2(D)大于2的整数第II卷（非选择题，共106分）二、填题（

本大题共6小，小题5分共分将答案接在三的题上12、函数lgx在定义域上是

OU

函数（填奇或偶区间0

上是增加的.13、如图，有两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点大圆的弦CD过点且CD＝，PD4，两圆组成的圆环的面积是36PI

A

14、已知

ac，那么直线()tx定通过第cb

C2、3

.（第13）象限.T=2，分析：利用和分比公式得15、已40

0

,为内一点OM上的点ON上的点的周长取最小值时的数100°.

1316、已知实数,满a

2

2

t

2

2

,那么t的取值范围是17、,c为实数，abc2,那么a的小值可达到

4.三、解题

（8小题满76分解应出要字明演步和明程）18题8分）若直线与x

y

交，求实a的取值范围.19、（本题8分）菱形ABCD边AB=5，对角线BD=6，且ACBD相交于点O沿BD折叠得四面体ABCD，已知该四面体的体积等于8，求二面角A-BD-C的大小.20题8分）设

,求

xx2

的值.21题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润元在进行市场调查后，为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了套，总利润比计划多了元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？2

22题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S.作BC的平行线与1、AC分别交于D、.设三角形BDE的面积为M求证：M≤S423题11分）已知：如图，Rt△ABC中，斜边AB＝厘米，BC＝a厘米，AC＝厘米，＞b，且a、b是方程x

mx两根，

A'A⑴求a和b的值；⑵△A

'

B

'

'

与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC定不动，将

MB'BC'C△'C1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动ⅰ)设秒后△A

'

B

'

'

与△的重叠部分的面积为y平方厘米，求与之间的函数关系式,并写出x的取值范围；3ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？824题11分）已知：如图，⊙O与⊙P相交于、B两点，点P在⊙上，⊙的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙PD、E，经过E作EF⊥CE交CB的延长线于F.⑴求证：BC是⊙P的切线；⑵若CD＝2，CB2，求EF的长；⑶若设k＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD好是等边三角形?若存在,求出k的值；若不存在，请说明理由.2512分如图EFGH正方形ABCD的内接四边形两条对角线EG和FH交于点O且它们所夹的3

锐角BEG与都是锐角，已,FH,四边形EFGH的面积为S，（1）求证sin

2kl（2）试k、l、表示正方形的面积.4

22222005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-20一、选题答案（每题4分，共44）二、填题答案（每题5分共30分）三、解题

（8小题满76分解应出要字明演步和明程）18、

解数方法）由题意，

xyxy0号考

即

2直线与圆相交，04a2a

2)则

0，2

时，有直与相交（题有何法相评）19、解：AO=OC=

AB5

，易AOBD,OCBD,AOC

为二面角A-BD-C的平面角。名姓

AOC

AOsin8sinVSABCDAOCi校

依题意16sin

8,sin

1，2学区

所以

6

或

5,故所求二面角的大小为或6620、解：分析已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。因为

x

xx

a故5

.及12ADEAE.及12ADEAEx11,即x+,a又

4

2

2

1x21)xa

1aa所以

224121、解：设实际销售运动衣x套，每套运动衣实际利润为y元则

)(y16000解得

80020y1

（舍去）答：实际销售运动衣800，每套运动衣实际利润元22、证明：由于与是高的三角形，故S

MBD-AD

又与也是等高三角形，故SADSAB

S同理，

SAC

又DEBC，故

ADAE，设此比值为AC6

2223322233将M

ABAD

-1

ADAEABAC

1-

ADADABAB即

M

法一：展开得x0有实根，故4SM解之得MSM法二：由xS

)MS423、解:(1)∵△ABC是Rt△且，AC=b，AB=5（a>b）又a、b是方程的两根∴

m

∴(a+b)

2

-2ab=25

A'AMB'BC'C(m-1)2-2(m+4)=25推出(m-8)(m+4)=0………….得m=8m=-4经检验m=-4不合舍去12∴m=8…………∴x2-7x+12=0x=3x=412∴a=4，b=3(2)∵△A''以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。∴x秒后BB′=x则B′C′=4-x∵C′M∥AC∴△BC′M∽△BCA∴

AC

(4S

y

12

3(4))4

即yx8

∴y=x

当y=时(4)

=

x=3x=5(不合舍去)12∴经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。24）证明：连结PA、PB，∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半径，∴AC⊥PA，即∠PAC=90

0

，7

00S又∵四边形PACB内接于⊙O，∴∠PBC+∠PAC=1800。00S∴∠PBC=90

0

，即PB⊥CB。又∵PB是⊙P的半径，∴BC是⊙P的切线。（2）解：由切割线定理，得

2

=CD*CE。CE

BC2(22)4DE=CE-CD=4-2=2。∴PB=1,在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF=∠BCP∴Rt△EFC∽Rt△BPC，

EF1EFBPCB2

.1（3）解：存在实数k=时，△PBD为等边三角形。3下面证明：k

CE3PC，又，PC，而由（）知道

PBC

90，COSBPA，BPA60，PD，为三角形25）证明：

。

11分EOFEOH11211GO22122

11kl22所sin

2kl（2）解过EF、GH分别作、CD、的垂线