2023届上海市浦东新区高三二模数学试题

2023届上海市浦东新区高三二模数学试题一、填空题1．已知集合，，则_____________．【答案】【分析】解一元二次不等式得到，从而求出交集.【详解】解不等式得，故.故答案为：2．若复数z满足（是虚数单位），则复数_____________．【答案】．【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案.【详解】由可得.故答案为：.3．若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为_____________．（结果保留）【答案】【分析】求出圆柱的底面半径，从而得到侧面积.【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得，故这个圆柱的侧面积为.故答案为：4．的二项展开式中项的系数为_____________．【答案】270【分析】利用的展开式的通项公式，求出项的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令得，故，故的二项展开式中项的系数为270.故答案为：2705．设随机变量服从正态分布，且，则_____________．【答案】##【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解.【详解】服从正态分布，其正态分布曲线关于轴对称，由对称性可知.6．双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________．【答案】2【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.【详解】的右焦点为，渐近线方程为，不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.故答案为：27．投掷一颗骰子，记事件，，则_____________．【答案】【分析】先计算出，利用求条件概率的公式求出答案.【详解】投掷一颗骰子，出现的点数共有6种情况，因为，故，其中，故.故答案为：8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．【答案】【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.【详解】，由正弦定理得，因为，所以，故，由于，故，则.故答案为：9．函数在区间上的最小值为_____________．【答案】．【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：二、解答题10．已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________．【答案】．【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案.【详解】，因为，，所以，因为函数在上有唯一的最小值-2，所以，解得，故的取值范围是.故答案为：三、填空题11．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．【答案】【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值.【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，故内切圆半径，由对称性可知，关于轴对称，设，，则，，其中，故，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：12．已知，设，，其中k是整数．若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是__________．【答案】．【分析】对二次求导，得到的凹凸性，有的几何意义是点和点连线的斜率，因此当时，满足要求，当时，需使点都在处的切线上或切线上方即可，求出曲线在处的切线方程，得到，整理变形，换元后画出及的图象，数形结合得到的取值范围.【详解】，令，则，因为，所以，令得或，令得，，故在和上单调递增，在上单调递减，因为，，其中，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，且在和内下凹，在内上凸，的几何意义是点和点连线的斜率，当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，因此当时，严格递增，而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，故需使点都在处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，，，故曲线在处的切线方程为，令，化简得，，因此，即，令，则，即，其中，画出及的图象，如下：由图可知，，即故答案为：【点睛】方法点睛：若函数在区间上有定义，若，则称为在区间上的凸函数，反之则称为在区间上的凹函数，其性质为：若为在区间上的凸函数，则，则，反之，.四、单选题13．已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．【答案】B【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.【详解】解，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，故“”成立时，等价于；当“”成立时，等价于，故成立时，不一定推出成立，反之成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B14．某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（

）．245683040607080 【答案】A【分析】代入，得到，从而得到随机误差的效应即离差.【详解】当时，，故随机误差的效应即离差为.故选：A15．在空间中，下列命题为真命题的是（

）．A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．【答案】D【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交，如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误；B选项，如图2，，，则，故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误；C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为，则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误；选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下：因为，，，所以，因为⊥，，所以⊥，故，证毕.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确故选：D16．已知函数，其导函数为，有以下两个命题：①若为偶函数，则为奇函数；②若为周期函数，则也为周期函数．那么（

）．A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题【答案】D【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题；对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题.故选：D五、解答题17．已知数列是首项为9，公比为的等比数列．(1)求的值；(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．【答案】(1)(2)当2或3时，取得最大值3【分析】（1）求出等比数列的通项公式，由等比数列的前项和求解即可；（2）记，由（1）知，由等差数列的前项和求出，由二次函数的性质即可求出答案.【详解】（1）由题，则，（2）记，由（1）知，所以，，当2或3时，取得最大值3．18．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据已知条件、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的平面角的定义及向量夹角的关系即可求解.【详解】（1）连接，因为、分别为、的中点，所以且，又因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示则，，,．所以，，由题意知，平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．【答案】(1)(2)该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题；理由见解析【分析】（1）先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；（2）分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案.【详解】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则，（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，设该代表队必答环节的得分为，，，，，，，则的分布为：此时得分期望情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，设该代表队必答环节的得分为，,，，，，，则的分布为：此时得分期望由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．20．椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．(1)求椭圆的离心率；(2)若为直角三角形，求的面积；(3)若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在；【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再根据椭圆的离心率公式即可得解；（2）分和两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解；（3）设，则直线，再根据已知可得，，化简，再根据韦达定理结合求得的关系，即可得出结论.【详解】（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，则，故，所以离心率；（2）设，，当时，，此时，由对称性，不妨设，且在第一象限，令，得，则，此时，综上，的面积为或；（3）设，则直线，由已知，同理：，因而，是方程的两根，所以，得，又点为椭圆上的动点，所以，则，由在第一象限得，所以，所以存在，.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；④消去变量，得到定量关系.21．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；(2)已知，．证明：点是的0度点；(3)求函数的全体2度点构成的集合．【答案】(1)原点是函数的一个1度点，点不是函数的一个1度点(2)证明见解析(3)或【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当，即．故原点是函数的一个1度点，该切线过点，故，令，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，也时最小值，且，故无解，点不是函数的一个1度点（2）设，，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当（*）．设，则当时，，故在区间上严格增．因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．（3），对任意，曲线在点处的切线方程为．故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．设．则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．若，因为，解得有两个驻点．由或时得严格增；而当时，得严格减．故在时取得极大值，在时取得极小值．又因为，，所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；