2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（文）试题

2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由，得，解得，即，由，得，即，所以.故选：A.2．复平面内表示复数的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由复数的乘法运算求出，即可得复数对应的点，判断即可.【详解】因为，所以对应点坐标为，该点在第一象限，故选：A.3．从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），选到一男一女的选法有4种，分别为：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），则选到一男一女的概率为.故选：.4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值为（

） 【答案】C【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，所以，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故选：C5．已知实数x，y满足，则z=2x-y的最小值是（

）A．5 B． C．0 D．-1【答案】C【分析】作出可行域，将问题转化为求y=2x-z的截距的最大值，进而根据几何意义求解即可.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由，得，平移直线，由图可知当直线过点时取得最小值.由得，所以的最小值是.故选：C6．已知，则下列不等式不成立的是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故为定义域上的增函数，故，则，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.7．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【解析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.【详解】如图：，，，，在中由余弦定理可得：，即，所以，即，解得：或，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.8．已知函数在上有且只有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用两角差的正弦公式变形后，结合正弦函数性质可得出其根，把正根按从小到大顺序排序后，由前面三个根属于可得参数范围．【详解】原题等价于方程在上有且只有3个实数根，即方程在上有且只有3个实数根，，，，，正根从小到大排列即为，，，，所以，则，故选：B.9．已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件【答案】B【分析】根据充分必要的定义判断．【详解】因为对任意的且，，当n＝2时，，当n＝4时，，所以成立；充分性成立当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，，当n＝1时，不成立，必要性不成立．故选：B．10．若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】讨论实数，化简方程式，结合图象求得距离最值即可.【详解】当时；当时；当时，如图所示：直线与渐近线的距离点到的距离，所以当时上的点到直线的最大距离为综上：点到直线的距离的取值范围是，故选：C．【点睛】讨论实数，化简方程式，数形结合是解题的关键.11．已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数m，t满足，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数的运算求得，，引入函数且），利用导数可得最小值．【详解】令，则，解出，或（舍），所以，即，，令，，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，故选：B.12．已知双曲线C：的右支上一点M关于原点的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，设，且，则双曲线C的离心率e的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取双曲线的左焦点为，可得四边形是矩形，，这样矩形的边可用和表示，结合双曲线定义得出关系求得离心率，然后利用三角函数性质得出离心率最大值．【详解】假设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支，连接，，根据双曲线的定义：，由已知得四边形平行四边形，所以，所以有，又，所以四边形是矩形，得，所以，，所以，则离心率，由，得，所以当时，即时，的最大值为，又，所以的最大值为，故选：D.二、填空题13．若直线是曲线在处的切线，则实数______．【答案】/【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，把代入中，得，于是有，由可知，切线的斜率为，所以有，因此有，故答案为：14．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________．【答案】15【分析】由根与系数关系得，利用等差中项的性质即可求的值.【详解】∵为方程的两根，∴，由等差数列的性质得，即，∴由等差中项的性质，．故答案为：15.15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3c=4b，，A=60°，则△ABC的面积为___________.【答案】【分析】根据余弦定理求得边的长，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】由余弦定理得：，代入，，A=60°，解得，，所以．故答案为：16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．【答案】【分析】由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．【详解】因为，所以，由题意可得，则，因为，所以，所以.因为，所以，，所以，可得，解得．故答案为：三、解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【答案】（1），；（2）、，乙组的成绩更稳定.【分析】（1）由题意可得，可求出的值，由平均数的公式列方程可求出y的值；（2）利用方差公式计算甲、乙两组数据的方差，然后进行判断即可【详解】（1）由，得，由，得．（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，甲组数据的平均数为，，，因为，所以乙组的成绩更稳定．18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E是线段BC的中点.（1）求证：平面PDE⊥平面PAE；（2）若AB=1，且PB与平面ABCD所成的角为45°，求点C到平面PDE的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明与垂直后得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）可用体积法求得点面距：．【详解】（1）证明：由已知为的中点，，所以，又底面是矩形，所以，同理：，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）因为平面，所以即为与平面所成的角，故，所以．依题意有：，由（1）平面，平面，则，平面，平面，，所以，，又因为.设点到平面的距离为，则有，所以．19．已知数列中，，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：因为，，所以，所以当时，满足条件，所以；（2）因为，所以，所以，所以.20．已知函数，．(1)当，求的单调递减区间；(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为(2)【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；（2）把在上恒成立,转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.【详解】（1）当时，，所以，令，所以，当时，，故为增函数；当时，，故为减函数，所以，即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）因为，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立，令，，则且当时，恒成立，故在上为增函数，所以，即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得，即时不满足题意；若，则，故在上为减函数，所以，所以恒成立，综上所述，实数的取值范围是.21．已知椭圆的右焦点为F，且F与C上点的距离的取值范围为[1，3].（1）求C的方程；（2）已知О为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值可求得，再求得后可得椭圆方程；（2）设，，由向量数乘可把用表示，从而把用表示，利用在椭圆上，可斜率为一元函数形式，引入函数，利用导数求得最大值．【详解】解：（1）设椭圆上任意一点，，其中，则，因为，所以，所以，故，故，解得，则，故椭圆的方程为；（2）设，，则，，因为，所以，所以，又因为点在椭圆上，则，于是直线的斜率，构造函数，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故，故，当，时，直线斜率取得最大值.22．经过点M（-2，-4）且斜率为1的直线l与抛物线C：y2=2px（p>0）分别交于A，B两点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的参数方程和抛物线C的极坐标方程；（2）若成等差数列，求p的值.【答案】（1）（其中为参数），；（2）.【分析】（1）根据直线所过的点及斜率即可求出直线的参数方程，利用极坐标公式可求出抛物线的极坐标方程；（2）直线的参数方程代入抛物线方程，化简可得关于的一元二次方程，由根与系数的关系及成等差数列即可求解.【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数）把，代入得，化简得，所以抛物线的极坐