2023届四川省达州市开江县开江中学高三下学期第六次模拟数学试题

2023届四川省达州市开江县开江中学高三下学期第6次模拟数学试题一、单选题1．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对数函数性质确定集合，由平方的定义确定集合，然后由交集定义计算．【详解】，所以，故选：C．2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】结合复数的除法运算求出，由复数与复平面的关系即可求解.【详解】由，所以，所以z在复平面上的点位于第四象限.故选：D．3．高三年级在某次月考时，某班数学科代表作统计本班数学成绩的工作，并计算出班级数学平均分和方差，当工作完成时，发现漏统计了一位同学的数学成绩，若该同学的数学成绩恰是班级的数学平均分，则下列说法正确的是（

）A．班级平均分不变，方差变小 B．班级平均分不变，方差变大C．班级平均分改变，方差变小 D．班级平均分改变，方差变大【答案】A【分析】根据平均数的定义以及方差的公式分别代入增加前后的人数及分数，计算出结果进行对比即可得出结果.【详解】设原平均分为，人数为，增加1人分数为后的平均分为，故班级的平均分不变；而由方差公式，当增加一个为均值的数时，方差公式中的n增大，中括号内的值不变，使得最终结果变小，即，故增加一个为均值的数据方差变小.故选：A.4．在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，充分性满足，当时，，不必要．所以应为充分不必要条件．故选：B．5．已知为等差数列的前n项和，，则的值为（

）A．12 B．14 C．24 D．28【答案】D【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件可得，从而可求出的值.【详解】令等差数列的公差为，因为，所以则，所以，所以，所以，故选：D．6．已知为函数的导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到函数的单调性，再转化为解不等式即得解.【详解】令，所以，所以为上的增函数，由，所以，则不等式等价于，则不等式的解为。故选：C.7．已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据单调性和，可求得的一个对称中心和一条对称轴，再结合周期即可求出的值．【详解】由于在区间上单调，且，所以，且，又因为，且，所以为的对称轴，又，所以，故而．故选：B．8．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数性质以及对数函数性质分别判断的范围，即可比较大小，再利用对数函数性质比较的大小，即可得答案.【详解】由，而，所以，又，则,所以，而，所以，综合可知，故选:B9．已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，圆I与圆同时外切或内切和圆I与圆一个内切一个外切，即可得到答案【详解】由圆可得，由圆可得，设圆I的半径为，当圆I与圆同时外切或内切时，如图，①当同时外切时，；②当同时内切时，；故始终，此时I的轨迹为的中垂线；当圆I与圆一个内切一个外切时，如图，①当圆I与圆内切，与圆外切，则；②当圆I与圆内切，与圆外切，则，故，所以此时I的轨迹是以为焦点的双曲线，故选：C．10．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定【答案】B【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案.【详解】当，则，则直线，①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切；③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；当时，联立方程，消去y得：，所以，①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切；③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误.综上所述：B正确故选：B11．已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（

）A．若，则点P的轨迹长度为B．若，则点P的轨迹长度为C．若，则点P的迹长度为D．若，则点P的轨迹长度为【答案】D【分析】根据题意，依次分析点P轨迹,讨论各选项即可得答案.【详解】当时，如图1，此时点P的轨迹为半径为1，圆心角为的三段圆弧，所以此时点P轨迹的长度为，故A选项正确；当时，如图2，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为，故B选项正确；当时，如图3，点P的轨迹是在面三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，所以此时点P轨迹的长度为，故C选项正确；当，如图4，点P的轨迹是在面三个面内以为半径，圆心角小于的三段弧，所以此时点P轨迹的长度小于，故D选项不正确；故选：D．12．已知函数，则下列命题中，正确的个数为（

）①若，则函数的图像关于直线对称；②令，，则函数与图像关于直线对称；③若为偶函数，且，则函数的图像关于直线对称；④若函数的图像关于直线对称，则函数的图像关于直线对称；⑤若为R上的奇函数，且，使得，则函数在区间上有且仅有5个零点．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】利用若，则函数的图像关于直线对称，从而判断出①②③正确，④错误，⑤特殊值法，令满足条件，但在上有无穷多个零点，则错误．【详解】由，令，即则，故而是函数的对称轴，故①正确；由关于直线的对称的函数图像的解析式为，所以关于直线的对称的函数图像的解析式为，故②正确；由，所以，由为偶函数，所以，所以函数的图像关于直线对称，故③正确；令，由函数的图像关于直线对称可得，即，令，即，所以，故函数的图像关于直线对称，故④不正确；不妨令，则有，则在上有无穷多个零点，故而⑤不正确．故选：B．二、填空题13．已知边长为2的等边三角形，则___________．【答案】【分析】由数量积公式求解即可.【详解】故答案为：14．已知为正项递增等比数列的前n项和，若，则___________．【答案】【分析】根据等比数列的概念可得和的值，直接根据等比数列前项和以及通项公式即可得结果.【详解】由，所以，，所以，解得或（舍），易知，所以，故．故答案为：.15．已知的三条边是连续的三个正整数，且，则的周长为___________.【答案】【分析】不妨设，，，由题得，再利用正弦定理余弦定理化简即得解.【详解】不妨设，，由，即，所以，解得，所以的周长为.故答案为：1516．从空间中点作四条射线，每两条射线间的夹角均相等，则此夹角的余弦值为___________．【答案】【分析】可把，，，放入正方体中，借助正方体中的边角关系，即可求出该角的余弦值.【详解】如图，可把正方体的中心看成点，相对的四个顶点看作，，，，设正方体棱长为1，则，，，故答案为:三、解答题17．为了庆祝党的二十大的胜利召开，我校举办“学党史”知识测试活动，现根据测试成绩得到如图所示频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图求出的值;(2)根据频率分布直方图估算本次测试的平均成绩;(3)将（2）所得到的平均成绩四舍五入保留为整数，并根据频率分布直方图估算本次考试成绩的方差.【答案】(1)；(2)；(3)74；111.【分析】（1）由各个小矩形的面积为1，得到方程解方程即得解；（2）直接利用频率分布直方图的平均数计算公式求解；（3）由题得，再利用频率分布直方图的方差公式求解.【详解】（1）由各个小矩形的面积为1，所以，所以.（2）由题意知，本次测试的平均成绩为，，所以本次测试的平均成绩为.（3）将保留整数，则，由题意知:所以本次测试的成绩的方差为111.18．如图已知在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，平面平面.(1)求证:平面(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明和，原题即得证；（2）先求出，再利用等体积法求解.【详解】（1）证明:如图，取的中点，取的中点，由于为正三角形，所以，由平面平面，由面面垂直的性质定理知:平面，所以;由平面平面，由面面垂直的性质定理知:平面，所以;又与相交，平面，所以面.（2）由（1）知为正方形，且平面，又，所以由（1）知，△为等腰直角三角形，所以，在中，又，所以，设为点到面的距离，由，所以，即，所以点到面的距离为.19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(1)求角A；(2)若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角A；（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.【详解】（1）由及正弦定理知：，即，由余弦定理有，由，所以，（2）由，所以，可得，即，由，所以，当且仅当时等号成立，所以，故所求的面积的最大值为．20．已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意先求出,再根据面积的最大值求出,进而求出椭圆的方程即可;(2)先考虑直线l斜率不存在的情况,求出此时面积,再考虑直线l斜率存在的情况,设直线方程,利用原点O到直线l的距离,得到直线中参数的关系,再联立方程组,设点坐标,利用韦达定理,得出面积的式子进行化简求范围即可.【详解】（1）解:由题知以为直径的圆的半径为c,所以,故,由的面积最大值为,所以,故,所以,所以椭圆C的方程为;（2）当直线l的斜率不存在时,由题意知直线l的方程为,所以,所以;当直线l的斜率存在时,令直线l的方程为,由原点O到直线l的距离为1,所以,即,联立方程,消去y得:,则有,即,令,所以,由,令,则,令,所以,所以,综上所述,．【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于直线与圆锥曲线问题思路有:(1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程;(2)分情况讨论直线斜率是否存在;(3)设直线方程,联立方程组;(4)判别式大于零,韦达定理;(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.21．已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求参数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调性结合零点存在性定理，即可求出参数a的取值范围.【详解】（1）当时，，所以，所以，在处的切线方程为，即．（2）（ⅰ）当时，，不合题意；若，由，所以，（ⅱ）当时，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，又，由零点存在定理及函数的单调性可知：存在唯一的，使得，又当时，，由零点存在定理及函数的单调性可知：存在唯一的，使得，所以满足题意；（ⅲ）当时，令，得或，①若，则，则当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；又，不合题意，②若，则，则在R上恒成立，即在R上单调递增，不合题意；③若，则，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；又，不含题意，综上所述，参数a的取值范围为．22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若点为曲线C上的两点，且满足，求的最大值．【答案】(1).(2).【分析】（1）采用消参法可得曲线的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式即可求得答案；（2）设，进而表示出的表达式，结合三角函数的恒等变换，即可求得答案.【详解】