2023届天津市南开区高三下学期3月质量监测（一）数学试题

2023届天津市南开区高三下学期3月质量监测（一）数学学科试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第II卷4至9页.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：•柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.•如果事件互斥，那么.•如果事件相互独立，那么.•对于事件，那么.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合或，则（）A.B.C.D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的图象可能是（）A.B.C.D.4.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间内的学生有（）名名名名5.已知直线与圆相交于两点，则的长度可能为（）6.已知，则的大小关系是（）A.B.C.D.7.已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（）8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（）A.B.C.9.已知函数则下列结论：①②恒成立③关于的方程有三个不同的实根，则④关于的方程的所有根之和为其中正确结论有（）个个个个第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10.是虚数单位，复数__________.11.在的展开式中，的系数为__________.12.已知实数，则的最小值为__________.13.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为__________.14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为__________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为__________.15.在平面四边形中，，则__________；__________.三､解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点.（1）当时，（i）证明：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；（2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值.18.（本小题满分15分）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线.19.（本小题满分15分）已知等差数列的首项为1，前项和为，单调递增的等比数列的首项为2，且满足.（1）求和的通项公式；（2）证明：；（3）记的前项和为，证明：.20.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有极大值，试确定的取值范围；（3）若存在使得成立，求的值.2022—2023学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科参考答案一､选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号123456789答案ABCDBCDCB二､填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）10.11.4012.13.14.，（第一个空2分，第二个空3分）；15.，（第一个空2分，第二个空3分）.三､解答题：（其他正确解法请比照给分）16.解：（1）由于，则.因为，由正弦定理知，则.（2）因为，由余弦定理，得，即，解得.（3）由（2）知，所以.由（1）得.，所以17.解：如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作面的垂线为轴，则，（1）由，及，可得.（i）设平面的一个法向量为，则解得令，得是平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）设，则，设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量，则，解得或（舍去）.所以.18.解：（1）依题意，所以.因为的面积是，即，解得，所以，从而，解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，.依题意，设直线方程为，由消去得，则，直线的斜率，直线的方程：，而直线，所以.直线的斜率，而，即，所以直线的斜率.因此直线的方程：，则点，所以直线的斜率.又直线的斜率，则，而，即，所以三点共线.19.解：（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以即解得（舍去），或所以.（2）由（1）知，所以（3）由（1）知.所以所以20.解：（1）当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为，①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值；②当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极大值，符合题意；③当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极大值，符合题意；④当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值