2023届安徽省4月模拟数学试题

2023届安徽省4月模拟数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，，，所以．故选：C.2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数除法运算化简可得.【详解】因为，所以．故选：A3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由三角恒等变换相关公式，进行变换判断充分性和必要性.【详解】充分性：若，则，即，所以，所以，故，充分性不成立；必要性：若，则，解得，所以，必要性成立；故“”是“”的必要不充分条件．故选：B.4．数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致．先“立天元一为……”，相当于“设x为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过类似合并的方程．设，若，则（

）A．640 B．670 C．672 D．680【答案】C【分析】令，求出，由得，再由等差数列的前项和公式可得答案．【详解】令，当时，，两式相减可得①，当时，，满足①式，所以，故．故选：C.5．已知向量，满足，，，则（

）A．3 B．15 C．-3或15 D．3或15【答案】D【分析】对两边同时平方，将代入可求出的值，可求出，代入即可得出答案.【详解】因为向量，所以，又，解得:或，即或，所以当时，；当时，，故或15．故选：D.6．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即可得出答案.【详解】易知，．令，，则在单调递增，又，所以，所以．又，则，即．综上，．故选：B.7．已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【详解】由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以，解得，故圆．若过点的切线斜率存在，设切线方程为，则，解得，所以切线方程为，即；若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．综上，过点且与圆相切的直线方程为或．故选：A8．已知函数为奇函数，（a为常数），且恒成立．设与的图象在y轴右侧的交点依次为，O为坐标原点，若的面积最小值为，且为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求，然后作与的大致图象，根据面积的最小值求的最大值，根据为钝角求的最小值，然后可得.【详解】因为是奇函数，所以，所以．因为，所以，所以，又（a为常数）．且恒成立，所以，即，所以，．如图，设的周期为T，在y轴右侧的第二个零点为B，易知四边形OA1BA2是平行四边形，，．则，解得；因为，所以，解得；所以的取值范围是．故选：D二、多选题9．为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图（单位：%），则（

）A．东北地区的四项数据均比中部地区高B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好【答案】CD【分析】根据柱状图逐项分析选项的正误.【详解】A项：东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，A错误；B项：西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，B错误；C项：中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，C正确；D项：东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，D正确．故选：CD.10．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】设直线：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断AB；设直线AB：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断CD.【详解】由抛物线得，设直线：，，，联立消去x可得，则，，A项：，A正确；B项：因为，所以，B错误；由抛物线得准线为，则，因为过点P的直线与抛物线交于点A，B，所以直线AB斜率存在且不为零，故设直线AB：，，，联立，消去x可得，则，，故，，，且，C项：，C正确；D项：，又，所以，D错误．故选：AC.11．已知函数的定义域为，且，时，，，则（

）A．B．函数在区间单调递增C．函数是奇函数D．函数的一个解析式为【答案】ABD【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.【详解】A项：因为，当时，，令，则，解得，A正确；B项：任取：，则，因为当时，，所以，，所以，即，所以函数在区间单调递增，B正确；C项：令，则，解得或，当，且时，令，则，若为奇函数，则，即，解得，与题意矛盾；当时不为奇函数．综上所述，函数不是奇函数，C错误；D项：当，则，，所以，易得在上单调递增，所以时，，，故函数的一个解析式为，D正确．故选:ABD12．在三棱锥P-ABC中，，，，O为的外心，则（

）A．当时，PA⊥BCB．当AC=1时，平面PAB⊥平面ABCC．PA与平面ABC所成角的正弦值为D．三棱锥A-PBC的高的最大值为【答案】ABC【分析】由条件得几何体的结构特征，分析位置关系及数量关系.【详解】对于A项，因为，且，所以为等边三角形，又，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，正三棱锥的侧棱与底面相对的边互相垂直，所以PA⊥BC，A正确；对于B项，因为O为的外心，且．所以点P在平面ABC的射影为点O，所以PO⊥平面ABC．又，，，所以为直角三角形，．所以点O为AB的中点，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，B正确；对于C项，由B项可知PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠PAO即为直线PA与平面ABC所成的角．设外接圆半径为r，则由正弦定理可得，所以，所以，故，C正确；对于D项，在中，，，由余弦定理可得，故，所以，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，当且仅当时等号成立．所以．设三棱锥A-PBC的高为h，因为，即，所以．故三棱锥A-PBC的高的最大值为，D错误．故选：ABC【点睛】三棱锥A-PBC的高不易直接求解，故通过等体积法间接求解，外接圆半径问题可以与正弦定理相结合，三角形中最值问题可以与余弦定理及基本不等式知识相结合.三、填空题13．曲线在点处的切线方程为_________．【答案】【分析】利用导数的运算求得函数得导函数，求得得到处的导数，即为切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程.【详解】，又，所以，所以切线方程为，即．故答案为:.14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有_________种．【答案】18【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式；再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式.又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.故答案为：18.15．直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________．【答案】【分析】球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论，画出图形，由球与侧面的交线长为，结合弧长公式去掉不合要求的情况，求出交线长.【详解】因为底面ABC是等腰直角三角形，且，所以，故点C到AB的距离为．球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论．①若，如图①所示，设球C与，AC分别交于点D，E，则球C与侧面的交线长为，则，即，此时所对的弦长为，不满足题意；②若，如图②所示，设球C与，AC分别交于点M，N，则，所以，所以球C与侧面的交线长为，解得，满足题意．则球C与侧面的交线长为，与底面ABC的交线长为，在中，，所以球C与平面的交线长为，所以球C与三棱柱的交线长为．故答案为：.16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是_________．【答案】【分析】利用椭圆定义及对称性求出离心率的最大值，根据题设不等式利用余弦定理求离心率的最小值，即可求出答案.【详解】设关于直线的对称点为，则解得即．由椭圆定义及对称性可得，则，当且仅当P，F，三点共线时，等号成立．所以E的离心率．在中，由余弦定理可得，又，所以，即，解得，设椭圆E的上顶点为Q，则，所以，解得，所以E的离心率的取值范围是．故答案为：.四、解答题17．记为数列的前n项和．(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）选择条件①③，由等差中项的性质证明数列是等差数列；选择条件②，由等差数列的定义证明数列是等差数列；（2）由（1）求出，由裂项相消法求即可.【详解】（1）选择条件①：因为，所以，，两式相减可得，即，所以，两式相减可得，化简可得，所以，所以数列是等差数列．选择条件②：设数列的首项为，公差为p，则，故．当时，，当时，，所以，又当时，．所以数列是等差数列．选择条件③：因为数列是等比数列，所以，即，所以．所以数列是等差数列．（2）因为数列是等差数列，且公差，所以．所以．故．18．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求边中线的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；（2）根据中线性质可得，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.【详解】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因为M为的中点，所以，则，即．因为，所以．所以，所以．19．长征七号A运载火箭将测发周期由32天缩减到26天，进一步提高了火箭发射效率．科研人员为研究传统依次测试与合并测试是否能达到相同的效果，进行了30次传统依次测试模拟实验和50次合并测试模拟实验，对是否符合发射状态得到如下数据：符合发射状态不符合发射状态传统依次测试5m5合并测试402m(1)求m的值；(2)能否有99%的把握认为发射状态与测试方式有关？(3)为进一步分析合并测试是否是影响符合发射状态的技术原因，在50次合并测试模拟实验中，用分层抽样的方法抽取10次模拟实验，再从这10次模拟实验中随机抽取3次进行复盘分析，记抽到不符合发射状态的模拟实验的次数为X，求X的分布列及期望．附：k【答案】(1)(2)没有(3)分布列见解析，【分析】（1）根据30次传统依次测试模拟实验，列方程求解；（2）计算观测值与临界值比较，判断能否有99%的把握认为发射状态与测试方式有关；（3）先应用分层抽样，再根据已知条件求概率列出分布列，再求数学期望即可.【详解】（1）由题意，可得，解得．(2)符合发射状态不符合发射状态合计传统依次测试25530合并测试401050合计651580则．所以没有99%的把握认为发射状态与测试方式有关．（3）用分层抽样方法抽取10次模拟实验，则符合发射状态的有8次，不符合发射状态的有2次，故X的可能取值为0，1，2．则，，．所以X的分布列为X012P故．20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3．(1)证明：DE⊥平面PAF；(2)若PE与平面ABCD所成角为，求二面角A-PB-F的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接AE，PF，BD，由体积比可得，即E为BC的中点，进而可得AF⊥DE，再由线面垂直的性质、判定证结论；（2）先证PA，AB，AD两两垂直，构建空间直角坐标系，由题设易知∠PEA为PE与平面ABCD所成角，求得，进而求面PBF、面PAB的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角A-PB-F的余弦值．【详解】（1）连接AE，PF，BD，如图①所示．因为三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3，所以，即．所以E为BC的中点，则，，故，又F为DE的中点，所以AF⊥DE．因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥DE，又，PA、平面PAF，所以DE⊥平面PAF．（2）因为PA⊥面ABCD，且在矩形底面ABCD内，易知：PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图②所示的空间直角坐标系A-xyz．所以∠PEA为PE与平面ABCD所成角，即，则．则，所以，，设面PBF的法向量为，则，令，则．而面PAB的一个法向量为，所以．由图知：锐二面角A-PB-F的余弦值为．21．已知双曲线T与椭圆共焦点，且焦点到T的渐近线的距离为．(1)求双曲线T的渐近线方程；(2)已知过点的直线l与双曲线T交于P，Q两点，线段PQ的中点为E，设过E，F的圆的半径为r．证明：当圆心在x轴上时，是定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，由焦点到渐近线的距离为，得到，，得到双曲线渐近线；（2）先考虑直线l的斜率不存在时，不合要求，再考虑直线l斜率为0和直线l斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，【详解】（1），由椭圆方程知其左、右焦点分别为，，设双曲线，则．又焦点到其中一条渐近线的距离为，所以，．所以双曲线T的渐近线方程为．（2）由（1）可知双曲线，