2023届广西高三模拟考试数学（理）试题

2023届广西高三模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，，，所以.故选：C2．若复数z的虚部小于0，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，根据复数除法运算即可得解.【详解】因为，所以，又复数z的虚部小于0，所以所以故选：D3．若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.【详解】由，函数的最大值为4，则，函数的最小正周期为.故选：D4．若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.【详解】因为双曲线C：，所以，由题意可知，则，由双曲线的定义知，.故选：A5．某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种，所以这2头故障LED灯相邻的概率为．故选：A6．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.【详解】若，则，则是偶函数，故A错误；若，则,则是偶函数，故B错误；若，则，则是奇函数，故C正确；若，则，则是偶函数，故D错误.故选：C7．如图，△ABC与△BCD都是正三角形，，将△ABC沿BC边折起，使得A到达的位置，连接，得到三棱锥，则“”是“二面角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由二面角的定义得出二面角的平面角为，进而由余弦定理，以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】取的中点为，连接，二面角的平面角为，易知，.若二面角为钝角，则，，即.若，则，，则，又二面角的范围是，所以二面角为钝角.即“”是“二面角为钝角”的充要条件.故选：B8．已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点．在正项等比数列中，已知，，则的公比q的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三点共线可得，利用表示后由求解即可.【详解】因为A，B，C是同一条直线上三个不同的点，且，所以.因为正项等比数列，所以公比，又因为，所以，又，所以.故选：B9．若x，y满足约束条件，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出可行域，平移直线，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，求出的取值范围.【详解】，满足约束条件，表示的平面区域，如图阴影部分所示：联立，解得，即，由图易得目标函数过点时，取最大值，没有最小值.∴目标函数的取值范围是.故选：C.10．设钝角满足，则（

）A． B． C．7 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.【详解】因为，则，解得，而为钝角，则，，所以.故选：D11．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（

）A．26π B．27π C．28π D．29π【答案】D【分析】建立坐标系，利用外接球的特点与性质确定球心和半径，进而得出表面积.【详解】取中点为，取的中点为，连接，因为，，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD⊥底面ABCD，平面,平面，平面，，则以点为坐标原点，建立坐标系，如下图所示：设梯形外接圆的圆心为，由可得解得，则.设四棱锥P－ABCD外接球的球心坐标为.则球心到点与到点的距离相等，则即，故球心坐标为，半径为.四棱锥外接球的表面积为.故选：D12．若函数的最小值为m，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解.【详解】若，则，因为，所以，因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明.二、填空题13．若随机变量X的分布列为则X的数学期望为______________．X－1245P【答案】##【分析】根据期望公式计算即可.【详解】.故答案为：.14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：15．若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．【答案】【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．【详解】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．16．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．【答案】【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可得即可得解.【详解】当时，，因为有穷数列，，，所以当项数最大时，，则，，，将以上各式相加得，即，，即，则.故答案为：三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)证明：．(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.【详解】（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角A，B为△ABC中内角，所以.（2）△ABC中,，D为BC的中点，如图所示，①②③已知，，求证.证明：，中，，解得.①③②已知，，求证.证明：，所以中，.②③①已知，，求证：.证明：，在中，由余弦定理，，所以18．2016～2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示．(1)不考虑价格因素，求广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）．(2)现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y（单位：元）与农村居民人均可支配收入x（单位：元）是否存在较好的线性关系．设广西2016年城镇居民人均可支配收入为元，农村居民人均可支配收入为元，2017年对应的数据分别为，，2018年对应的数据分别为，，2019年对应的数据分别为，，2020年对应的数据分别为，．根据图中的五组数据，得到y关于x的线性回归方程为．试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95，并判断y与x之间是否存在较好的线性关系．参考数据：，，．附：样本的相关系数，线性回归方程中的系数，．【答案】(1)(2)，y与x之间存在较好的线性关系.【分析】（1）根据表中数据计算人均可支配收入的年增长率即可；（2）求出，再由已知求出，根据相关系数公式求出，【详解】（1）因为广西2020年农村居民人均可支配收入为14815元,广西2019年农村居民人均可支配收入为13676元，所以广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率为.（2）y关于x的线性回归方程为，所以，所以，，所以，所以，故y与x之间存在较好的线性关系.19．如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面．是的中点，是上一点，且平面．(1)求的值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设平面与直线相交于点，连接，．根据线面平行的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.【详解】（1）设平面与直线相交于点，连接，．因为平面，平面，平面平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．又平面平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，分别为，的中点，故．（2）因为，是的中点，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面.以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则令，得，所以．设直线与平面所成的角为，则．20．已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)①；②有极大值.(2)【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率，根据点斜式即可求解切线方程；利用导数讨论函数单调性即可求解极值问题.（2）由题意，转化为方程有两个解，即直线与函数，有两个交点，构造，求导得到其单调性，数形结合，即可求出a的取值范围.【详解】（1）①当时，，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．②令得，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，即在上有两个解，记，，则直线与函数，有两个交点，则，记，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，令得，又，所以当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又，，如图，由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数的取值范围的常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题．21．已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．【答案】(1)(2)定值，.【分析】（1）设直线AB的方程为，由O到直线l的距离为，求出，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出，即可由面积公式求解；（2）由直线AB的方程联立椭圆求出点A的坐标，同理由直线CD的方程联立椭圆方程求出D点坐标，再由及点在椭圆上可得，，再根据斜率公式计算即可得解.【详解】（1）设直线AB的方程为，因为到直线的距离为，所以，则.将代入，得，解得，则.故的面积为.（2）设，直线AB的方程为，代入，得，则，可得点A的坐标为设，直线CD的方程为，代入得则，可得点D的坐标为由得，因为，所以则，则.故直线AD的斜率为定值.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线与C相交于A，B两点，P为直线上的动点，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出C的普通方程，再根据即可得解；（2）先分别求出直线和直线的普通方程，联立直线和C的普通方程，求出两点的坐标，设，再根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由，得，所以，即所以C的极坐标方程为；（2）的普通方程为，由直线的极坐标方程为，得其普通方程为，联