2023届江西省吉安市安福县高三下学期4月第一次质量检测数学（文）试题-1

安福县2023届高三下学期4月第一次质量检测数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设全集，集合，，则A． B．C． D．2．若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A．-1 B． C．-2 D．13．设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件4．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．7．抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（

）A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上8．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，，那么数列{bn}＝前n项的和为（

）A．4 B．4 C．1－ D．－9．已知函数是偶函数，则等于A． B． C． D．110．已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（

）A． B．C．＋1 D．＋111．已知直线AB与平面α的夹角为45°，点A，C在平面α内，记线段AB中点为D，点E为平面α外一点，且满足DE⊥平面α，点E到直线AB的距离为|AB|，且＝，则直线CE与平面α所成角正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．12．若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．若x，y满足约束条件，则的最大值______．14．的展开式中项的系数是________.15．在中，角所对的边分别为，，是边上的高线，且，则的最小值为_________________.16．已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若是上的点，已知，，，求的值．18．如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，点G，F分别是线段BD，EC的中点．（1）求证：GF//平面AED（2）若BD1=，求三棱锥E-ACD的体积19．已知椭圆E：的离心率为，且过点．(1)求椭圆E的方程；(2)斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积．20．已知，.(1)若是等差数列，且首项是展开式的常数项的，公差为展开式的各项系数和.①求、、；②找出与的关系，并说明理由．(2)若，且数列满足，求证：是等比数列．21．已知函数，其中.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）当时，求不等式的解集.（2）若，证明：.

1．A【分析】先求得集合中一元二次不等式的解集.然后对四个选项进行分析判断，由此得出正确选项.【详解】由(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1，所以B＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝∅，A∪B＝{x|x>－2}，∁UB＝{x|x≥1或x≤－2}，A⊆∁UB，∁UA＝{x|x<1}，B⊆∁UA，故选A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集、并集、补集和子集的概念，属于基础题.2．A【分析】根据复数的运算求出，即可判断.【详解】解：.故选：A.3．D【分析】解出含绝对值的不等式，根据两者所表示的集合之间的关系即可得到答案.【详解】，解得，因为“”推不出“”，而“”也不能推出“”，故前者是后者的既不充分也不必要条件，故选：D.4．C【分析】求出，则，解出，得到，则得到离心率.【详解】由题意可得，如下图所示：又因为,根据对称性可得,可得,解得.故，故离心率为，故选：C.5．A【分析】根据奇偶性判断图象的对称性，再求可排除C，即可得出结论.【详解】，，为偶函数，图象关于轴对称，排除选项B,D,而，则，，则排除选项C.故选:A.【点睛】本题考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，考查函数的导数与单调性的关系，属于中档题.6．B【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体积.【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，故该几何体体积为.故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图还原原几何体，计算几何体体积，考查了学生的直观想象能力.7．C【分析】由对立事件的概念直接判断即可.【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.8．A【分析】利用等差数列的求和公式，可化简，则，裂项相消法即可求前n项的和【详解】∵an＝＝＝，∴bn＝＝＝4.∴Sn＝4＝4.故选：A9．B【详解】因为函数是偶函数，所以，，故选B.10．C【解析】由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l的方程，将F的坐标代入，求得a,b,c的关系式，进一步转化得到a,c的齐次关系式，转化为离心率e的方程求解即得.还可以从入手解决，更为简洁.【详解】解法一：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为，可得直线l的方程为，令y＝0，可得，由题意可得，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由，可得e2－2e－2＝0，解得(舍去)，故选：C．解法二：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可知,即,两边平方，并结合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a,b,c的关系，进而得到a,c的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e的方程求解，是求离心率的常用方法.11．B【分析】设，得出、v分别是直线、直线与平面所成的角，，作，垂足为，设，用可表示出题中各线段长（除外），由，要使最大，则最小，利用在以为圆心，为半径的圆上，求得最小值即可得最小值，从而得出结论．【详解】如图，设，即，连接，即，所以，，所以、分别是直线、直线与平面所成的角，，作，垂足为，则，设，则，，，所以，，所以，从而，，要使最大，则最小，又，因此只要取得最小值即得．因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，因此，，．故选：B．12．A【分析】根据定义可知满足方程在上有两个解.分离参数并构造函数,利用导数求得函数的极值点与极值,画出函数图像,即可判断的图像与有两个交点时的取值范围.【详解】根据“友情点对”的定义,可知函数,恰好有两个“友情点对”,则满足在上有两个解即在上有两个解令则令,解得当时,,即在内单调递减;当时,,即在内单调递增当时,,即在内单调递减所以在时取得极小值,在时取得极大值,且,函数图像如下图所示:由图可知,当,若有两个交点则故选:A【点睛】本题考查了函数新定义的应用,方程与函数的关系,构造函数并利用导数求函数的极值点与极值,数形结合法的应用,属于难题.13．12【分析】先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为12．【点睛】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14．【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中项的系数.【详解】依题意:，其中展开式的通项为，，所以展开式中含的项为，所以展开式中项的系数是.故答案为：15．【解析】设，然后分别在三角形和中将表示出来，再借助于基本不等式求出最值.【详解】如图，设，.在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以当且仅当时取等号.所以当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要是考查了三角恒等变换、三角函数的定义、基本不等式等知识，考查了转化思想以及学生的数学运算能力．属于中档题．16．【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面积即可.【详解】点的坐标为，则，又，且直线过点，则直线的方程为，整理得，设点的坐标为，点的坐标为，由，得，即，直线的方程为，，①，联立与，消去得，则②，把②代入①，解得，故，又直线与轴的交点为，所以.故答案为：.17．(1)；(2)．【分析】（1）借助题设条件运用正弦定理及三角变换的公式求解；（2）借助题设条件运用余弦定理及三角变换公式求解．【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，，所以，因为，即；（2）由余弦定理：，所以，因为且，所以，因为，所以，所以．18．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接AC，根据中位线定理以及线面平行的判定定理即可求出；（2）先根据BD1=可求出棱长，再根据棱锥的体积公式即可求出．【详解】（1）连接AC，如图，∵四边形ABCD是正方形，G是BD的中点，∴G是AC的中点．又∵F是EC的中点，∴GF//AE．∵AE平面AED，GF平面AED，∴GF//平面AED．（2）如图，设正方体的棱长为a，则∴a=1即AD=DC=1，ED=∴.19．(1)(2)6【分析】（1）根据离心率、椭圆所过的点列方程组求椭圆参数，即可得方程；（2）设AB为，，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，由的中点且有求参数t，进而求、到AB的距离，即可求三角形面积.【详解】（1）由题意，解得，故椭圆的方程（2）设AB为，，联立，消去得：，且，则，，则的中点横坐标为，则，依题意知：，即，即，解得，满足，且，，，又到AB的距离，∴.20．(1)①，，；②，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用二项式定理与赋值法求出、的值，可得出.①利用已知条件可求得、、的值；②令，可得出，即可得出与的关系；（2）利用二项式定理可求得，再利用前项和与通项的关系求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可证得结论成立.(1)解：展开式的通项为，令可得，常数项为，，在展开式中令，得出各项系数和为，即，故.①，，；②，设，则，求导得，所以，.(2)解：，，令，当时，.当时，，对时也成立.，则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列.21．(1)(2)【分析】（1）求出函数在处的切线斜率即导数和切点，运用直线的点斜式方程化解即可；（2）将整理成，然后构造一个新函数，对新函数用导数方法求其在上的最小值即可，此处需要换元和分类讨论.【详解】（1）当时，则，则；，故切线方程为，化简得.（2）令，则；；令，则，令，①当时，，则当时，；当时，；即当时，，当时，；在上单调递减，在上单调递增，则当时，，不合题意；②当时，令，解得：；（i）当，即时，当时，；当时，；即当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；则当时，，不合题意；（ii）当，即时，在上恒成立，即当时，恒成立，在上单调递增，，满足题意；（iii）当，即时，时，；当时，；若，即时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，；，∴当，即时，，满足题意；当，即时，，不合题意；（iv）当，即时，当时，；当时，；即当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；则当时，，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的直角坐标方程，将代入直线的极坐标方程可得出直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可求出曲线上的点到直线距离的最小值．【详解】（1）由,得,曲线的直角坐标方程为：.由，代入曲线的直角坐标方程为：；（2）设曲线上的点为，由点到直线的距离得

，故当且仅当时，上