2023届河南省开封市高三下学期第二次模拟考试文科数学试题

开封市2023届高三年级第二次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数z满足，则（）A．2 B． C． D．13．已知，则（）A． B． C． D．4．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（）A．2 B． C． D．45．在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有（）①a的值为0.300②不及格的考生数为500③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）④考生竞赛成绩的中位数约为75分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．a，b为实数，则“a>b>1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图所示的程序框图，所解决的问题是开始（）A．计算的值 B．计算的值C．计算的值 D．计算的值8．已知棱长为6的正方体内有一个正四面体玩具，若正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，则这个正四面体玩具的棱长最大值为（）A． B． C． D．9．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位，则最终所得图象的一条对称轴方程可以为（）A． B． C． D．10．已知D是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是底面圆的内接正三角形，若该圆锥的母线和底面圆的直径长度相等，则AO与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．已知是各项均不相同的等差数列，是公比为q的等比数列，且，则______．15．已知中，AB=5，AC=7，B=60°，则的面积为______．16．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，且与该抛物线在第一象限交于点M，若轴，则椭圆C的离心率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记为正项数列的前n项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中：（1）若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；（2）设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值．19．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．某研究小组为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，计算得，，，．作散点图发现，除了明显偏离比较大的两个样本点，外，其它样本点大致分布在一条直线附近，为了减少误差，该研究小组剔除了这两个样本点，重新抽样补充了两个偏离比较小的样本点，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）建立地块的植物覆盖面积x（单位：公顷）和这种野生动物的数量y的线性回归方程；（3）经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量．参考公式：线性回归方程，其中，．20．（12分）如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．（1）求p的值；（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率．21．（12分）已知函数图象上三个不同的点，，．（1）求函数在点P处的切线方程；（2）若，探究线段MN的中点G在第几象限？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）已知点，曲线和相交于A，B两点，求．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，且a+b+c=1，证明：（1）；（2）．开封市2023届高三年级第二次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCCDBABDADBD二、填空题（每小题5分，共20分）13．14．15．16．三、解答题（共70分）17．（1）当时，因为，所以数列为等差数列，公差为1，首项为，所以，为正项数列，则；当时，，亦适合上式，所以．（2）由（1）可知，，当n为偶数时，当n为奇数时，综上可知18．（1）记，由已知易得：中，，，，所以，因为，所以AC⊥BC，因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以．（2）由题意，，因为P为BD的中点，，所以，即．19．（1）样区野生动物平均数为，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为．（2）将样本点，替换为，，构成一组新的样本数据，计算得，，，，所以，，所求回归方程为．（3）每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，该地区这种野生动物增加数量的估计值为：．20．（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，，，所以，解得．（2）由（1），抛物线，即，，，设，，，，则，，联立得，，则，点P到AB的距离，所以，，又，所以，又四边形ABCD是直角梯形或矩形，所以，所以概率，解得，所以该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率为．21．（1），所以，故在点P处的切线方程为：．（2）线段MN的中点G在第四象限，下面进行证明。由于，不妨设点M在第四象限，点N在第一象限，即：，线段MN的中点，即．易知，下面证明：，即，只要证明即可．由于，故：，构造函数，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由于，，所以要证明，只要证明即可，又由于，故只要证明即可．下面考查：，由于，所以，，所以，得到：，所以问题得证，因此：线段MN的中点G在第四象限．22．（1）由的参数方程得：，曲线的普通方程为：．（2）