2023届海南省海口中学高三第三次模拟测试（Ａ卷）数学试题

2023届海南省海口中学高三第三次模拟测试（Ａ卷）数学试题一、单选题1．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解【详解】由可得，解得，因为全集，所以，所以故选：D2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数的运算法则求出复数，然后得到对应点的坐标，从而可判断点所在的象限.【详解】复数，所以复数对应的点为，即复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件B，则，，所以，故选：D．4．下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.故选：D.5．已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案.【详解】解：由得，，由为外接圆的圆心，所以，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故选：A.6．已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】令，，，的图象如图所示，关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，在上有且仅有两个不相等的实根，，的最大整数值为，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围.7．设，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.【详解】因为，且，在上递增，所以，即，综上：故选：A8．在正方体，中，，分别为正方形和的中心，，则平面截正方体所得截面的周长是（

）A．10 B．40 C． D．【答案】D【分析】延长，交于点，连接并延长，分别交，于，，连接，连接并延长，交于点，连接，得到四边形为所求截面，进而求得截面的周长，得到答案.【详解】如图所示，延长，交于点，连接并延长，分别交，于，，连接，连接并延长，交于点，连接，则四边形为所求截面，因为是正方形的中心，所以，由题意易证四边形为菱形，所以，，所以，，则为的中点，则，从而，故所求截面的周长为．故选：D.二、多选题9．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（

）A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为【答案】BCD【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.【详解】如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则，，，，，，A选项：，平面的法向量，设直线与底面所成的角为，则，直线与底面所成的角不为，故A错误；B选项：，，设平面的法向量，则，令，则设平面与底面的夹角为，则，平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；C选项，，直线与直线的距离为：，故C正确；D选项，，平面，平面，又，平面的法向量，直线与平面的距离为：，故D正确；故选：BCD.10．已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．当时，点是曲线的对称中心B．当时，在上是增函数C．当时，在上的最大值是1D．有两个极值点【答案】ABC【分析】求导，根据导函数判断原函数的单调性，根据中心对称的定义求出对称点.【详解】对于A，，，正确；对于B，

，，当时，，是增函数，正确；对于C，，当时，，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减，所以在上时，的最大值可能是，也可能是，，，所以在区间上，正确；对于D，，当时，，方程没有实数解，即没有极值点，错误；故选：ABC.11．已知关于的方程表示的曲线为，以下说法正确的有（

）A．若，，，则恒过定点B．若，，，则表示圆C．若，，，，则表示椭圆D．若，，，，，则表示两条直线【答案】AD【分析】根据题意，结合圆，椭圆，直线方程依次分析即可得答案.【详解】解：对于A选项，当，，时，曲线为：，即为，显然满足方程，所以恒过定点，故A正确；对于B选项，当，，时，方程为，其表示点，故B错误；对于C选项，当，，，，方程为，所以，当时，表示圆；当时，表示椭圆；故C错误；对于D，当，，，，，方程为，即为，化简得，即表示两条直线，故D正确.故选：AD12．已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（

）A．的对称中心为B．的对称轴为直线C．D．不等式的解集为【答案】BCD【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．【详解】因为为偶函数，所以，所以图象关于直线对称，故A错误，B正确；又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C正确；由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，故选：BCD．三、填空题13．在中，和．则的外接圆方程为_________．【答案】【分析】设出的外接圆方程，代入点列方程组求解即可.【详解】设的外接圆方程为，则，解得，故的外接圆方程为故答案为：14．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______.【答案】45【分析】根据展开式中只有第6项的二项式系数最大可得，再由通项可得答案.【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以，展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项为.故答案为：.15．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．【答案】【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．【详解】，则，，，；，则，，，；则故答案为：四、双空题16．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为______；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为______.【答案】

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【解析】利用椭圆的定义可求得的周长，利用两种方法求出的面积相等可得的内切圆半径.【详解】由知，，所以，，，所以，，根据椭圆的定义可得，，所以的周长为.因为，设的内切圆半径为，则，所以，解得.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：利用两种方法求出的面积相等求解的内切圆半径是解题关键.五、解答题17．在中，角A，，所对的边分别为，，，且．(1)若，，求角(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.【详解】（1）解：因为，依据正弦定理，所以，即，由余弦定理变形知，因为，所以．因为，，则在中，由正弦定理得：又，因为，所以．（2）法一：因为，是的角平分线，而，所以，即，所以，因为，，，且，故AD当且仅当取等，所以最大值为．答：当时，最大值为．法二：因为,设，，在，中由正弦定理知：①，②，因为，所以①②得，，令，，由于，所以，易得此函数在为单调递增函数，所以当时，最大值为．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．18．已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得，由等差数列求和公式得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由得到，当时，，两式相减，有，得到，由于，，因为，由上述递推关系知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（2）由（1）知：，则，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，则，所以．19．如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知.(1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，二面角的大小为.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得平面，即得，再根据圆性质得，根据线面垂直判定定理得平面，，最后根据面面垂直判定定理得结论；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系建立方程，求出的长.【详解】（1）证明：平面平面，且，平面平面，平面ABCD,所以平面，因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，BF,CB在平面内相交，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则点D的坐标为，则，设平面的法向量为)，则，即，取，可得，则，由（1）可知平面，平面的一个法向量为，则，因为二面角的大小为，可得解得，所以线段的长为.20．已知椭圆经过点，．(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点，直线垂直于轴，与椭圆交于点，，直线与轴交于点，若直线与直线交于点，证明：点在椭圆上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的标准方程及椭圆上的两点求得的值，即可得椭圆的方程；（2）设，，，不妨令，可得直线的直线方程，联立直线方程求交点坐标，将横纵坐标代入椭圆方程进行验证即可证明.【详解】（1）由题意知，将点代入椭圆方程得，即，所以椭圆C的方程．（2）证明：由（1）知，设，，设，，不妨令，则，，联立两直线方程解得，，从而，，有，，从而，所以点M在椭圆上．21．某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望.参考数据：若，则，，．【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元(2)14(3)分布列见解析，1【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；（2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；（3）求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：（百元）．∵，，∴中位数在内，设中位数为x百元，则，解得．∴估计中位数为13百元．（2）由（1）知，∵，，∴，∴估计这600个加盟