频域分析信号的正交分解

频域分析信号的正交分解第1页，共49页，2023年，2月20日，星期四第2页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.0信号的正交分解0.0.1矢量的正交分解1.正交矢量

图0.0-1两个矢量正交两矢量V1与V2正交时的夹角为90°，不难得到两正交矢量的点积为零，即第3页，共49页，2023年，2月20日，星期四图0.0-2矢量的近似表示及误差

2.非正交矢量的近似表示及误差

用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。

oV2V1qVec12V2V2第4页，共49页，2023年，2月20日，星期四3.矢量的分解图3.0-3平面矢量的分解图3.0-4三维空间矢量的分解

第5页，共49页，2023年，2月20日，星期四

上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)，显然第r个分量的系数第6页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.0.2信号的正交分解

1.正交函数

设f

(t)和g(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与g(t)成比例的一个函数cg(t)近似地表达f(t)，其误差函数为设f(t)、g(t)均为复函数，此时，c可以为实系数，也可能为复系数,下面的式中，右上标出现“*”则代表取共轭复数定义在(t1，t2)区间的两个函数f(t)和g(t),若满足

则称f(t)和g(t)在区间(t1，t2)内正交

第7页，共49页，2023年，2月20日，星期四(1).实域正交分解如何选择系数c使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差最小,即显然，如果f(t)与g(t)正交应有c=0,因此正交的条件为：第8页，共49页，2023年，2月20日，星期四(2).复域正交分解第9页，共49页，2023年，2月20日，星期四上式中，据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c。为使Ee最小，只有选择c=B，于是有显然，如果f(t)与g(t)正交应有c=0,因此正交的条件为：第10页，共49页，2023年，2月20日，星期四2.信号的正交展开

设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果则称该函数集为归一化正交函数集。第11页，共49页，2023年，2月20日，星期四如果在正交函数集{g1(t)，g

2(t)，…，g

n(t)}之外，不存在函数g(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。(i=1，2，…，n)三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。第12页，共49页，2023年，2月20日，星期四（1）.实域信号的正交展开

用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合来逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即如何选择系数使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差最小,即第13页，共49页，2023年，2月20日，星期四第14页，共49页，2023年，2月20日，星期四

用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即这种近似表示所产生的平方误差为：

2.复域信号的正交展开

第15页，共49页，2023年，2月20日，星期四第16页，共49页，2023年，2月20日，星期四第17页，共49页，2023年，2月20日，星期四同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：

此时的平方误差为

(0.1-1)(0.1-2)第18页，共49页，2023年，2月20日，星期四

定理0.0-1设｛gr(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即式中，cr为加权系数，且有

式(0.1-3)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(0.1-3)(0.1-4)第19页，共49页，2023年，2月20日，星期四

定理0.0-2在式(0.1-3)条件下，平方误差Ee=0，由(0.1-2)式有式(0.1-5)可以理解为：f(t)的能量等于在完备正交函数集中分解的各个分量的能量之和，即能量守恒定理,有时也称帕塞瓦尔定理。(0.1-5)在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则误差越小,当n→∞时（为完备正交函数集）误差为零。第20页，共49页，2023年，2月20日，星期四积化和差公式

和差化积公式

第21页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.1周期信号的连续时间傅里叶级数

0.1.1三角形式的傅里叶级数

三角函数集｛cosnΩt,sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：第22页，共49页，2023年，2月20日，星期四上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1,sin0°=0，而0不计在正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为

式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0，an和bn为加权系数。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。

第23页，共49页，2023年，2月20日，星期四可得加权系数：

第24页，共49页，2023年，2月20日，星期四an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,3,…第25页，共49页，2023年，2月20日，星期四上式表明，时域周期信号可分解为直流和简单正余弦分量的线性组合，利用傅里叶级数的变换，可以把复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理

。这里，

A0为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；Ancos(nt+n)称为n次谐波。第26页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.2指数形式的傅里叶级数式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0,t0+T)内用此函数集表示为第27页，共49页，2023年，2月20日，星期四表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，F0=A0为直流分量。第28页，共49页，2023年，2月20日，星期四第29页，共49页，2023年，2月20日，星期四另一证法：第30页，共49页，2023年，2月20日，星期四第31页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.3周期信号的频谱总结：以正余弦信号和虚指数信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正余弦信号或虚指数信号之和。第32页，共49页，2023年，2月20日，星期四周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω(n)和n~ω(n)的关系分别画在以ω(n)为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图，因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω(n)和n~ω(n)的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn，负频率无实际意义。许多场合，周期信号的频谱比时域表达更能反映信号的本质特征。（周期信号对应离散频谱，Ω周期大小决定频谱的离散间隔）例子：周期矩形脉冲信号f(t)t0/2/2TTT/2E第33页，共49页，2023年，2月20日，星期四（1）三角形式的傅里叶级数第34页，共49页，2023年，2月20日，星期四(2)指数形式的傅里叶级数4/

Ann0

22/nn0

2

第35页，共49页，2023年，2月20日，星期四4/

|Fn|n

2

-4/02

2/-2/n

n0

2

2/

Fnn

2

4/02

4/-2/第36页，共49页，2023年，2月20日，星期四

取样函数定义:是偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。第37页，共49页，2023年，2月20日，星期四周期信号频谱特点：(1)离散性，频谱由不连续的谱线组成(2)谐波性，频谱线只出现在基波频率Ω的整数倍频率上(3)收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|Fn|→0。第38页，共49页，2023年，2月20日，星期四Fnn0

2/4/Fnn0

2/f(t)t0TEt0Tf(t)Et0Tf(t)EFnn0

2/4/第39页，共49页，2023年，2月20日，星期四0.3非周期信号的连续时间傅里叶变换

非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号，当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小量dω

，而离散频率nΩ变成连续频率ω

。各频率分量的幅度Fn也趋近于无穷小，但

可望趋于有限值，且为一个连续函数。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(jω)为频谱密度函数。第40页，共49页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换傅立叶逆变换F(j)=F[f

(t)]称频谱函数

f

(t)

=[F(j)]称为原函数第41页，共49页，2023年，2月20日，星期四F变换对常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(t)=e–tε(t)，>0实数2.双边指数函数f(t)=e–t,

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第42页，共49页，2023