量子力学的应用势箱中粒子的处理

量子力学的应用势箱中粒子的处理第1页，共25页，2023年，2月20日，星期四§1.3.1一维势箱中的粒子1.一维势箱模型

V＝00＜x＜l（Ⅱ区）

V＝∞x≤0，x≥l（Ⅰ、Ⅲ区，＝0）第2页，共25页，2023年，2月20日，星期四2.一维势箱中粒子的量子化学处理

①Schroedinger方程

Ĥ(x)=E(x)(0＜x＜l);(x)=0(x≤0,x≥l)

第3页，共25页，2023年，2月20日，星期四②Schroedinger方程的求解

1：第4页，共25页，2023年，2月20日，星期四

2：

第5页，共25页，2023年，2月20日，星期四3.第6页，共25页，2023年，2月20日，星期四4.一维势箱Schroedinger方程的解第7页，共25页，2023年，2月20日，星期四

③

解的讨论

1.解得图形表示第8页，共25页，2023年，2月20日，星期四第9页，共25页，2023年，2月20日，星期四2.

受一定势能场束缚的粒子的共同特征(量子效应)a粒子可以存在多种运动状态（1,2…n，它们构成正交完备集）；b能量量子化；c存在零点能；d没有经典运动轨道（函数的正负表明波性），只有几率分布；e存在节点，节点越多(波长越短，频率越高)，能量越高；

flEn，离域效应；m，l△En，能量变为连续，量子效应消失；（纳米颗粒呈现出与宏观物体不同的反常特性，即量子尺寸效应。金属在超微颗粒时可变成绝缘体，光谱线向短波长方向移动…）g隧道效应：若箱壁的势垒V不是无穷大，粒子虽不能越过势垒，但可以部分穿透势垒，即在箱外发现粒子的概率不为零。第10页，共25页，2023年，2月20日，星期四④力学量的求得aEnĤn=Ennb粒子在箱中的平均位置：

x=x,xn≠cn,所以x没有确定值，只能求其平均值：第11页，共25页，2023年，2月20日，星期四d粒子的动量平方px2值c粒子动量的x轴分量px第12页，共25页，2023年，2月20日，星期四CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键离域键lll3l3.应用

①丁二烯的离域效应：势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。E1=h28mr2E离1=h28m(3r)2=E1/9

E离2=4h28m(3r)2=4E1/9E定=4E1

E离=2E离1+2E离2

=(10/9)E1第13页，共25页，2023年，2月20日，星期四②花菁染料的吸收光谱[R2N¨－(CH＝CH－)nCH＝N+R2]r计算实验311.6309.0412.8409.0514.0511.0说明此体系可近视看做一维势箱。势箱总长l＝248n+565pm，共有2n＋2＋2个电子；基态时需占n+2个分子轨道，En+2En+3时，

=△E/h=(h/8ml2)[(n+3)2-(n+2)2]=(h/8ml2)(2n+5),由=c/，

=8ml2c/(2n+5)h第14页，共25页，2023年，2月20日，星期四③

隧道效应的应用-STM(scanningtunnelingmicroscopy)第15页，共25页，2023年，2月20日，星期四第16页，共25页，2023年，2月20日，星期四第17页，共25页，2023年，2月20日，星期四例题若某一电子的运动可以按一维势箱模型处理，其势箱长度为1Å，计算该粒子由基态到第二激发态的跃迁波数。第18页，共25页，2023年，2月20日，星期四§1.3.2三维势箱中的粒子1.三维势箱模型

V＝00＜x＜a,0<y<b,0<z<c

V＝∞otherwise2.三维势箱中粒子的量子化学处理①Schroedinger方程Ĥ(x,y,z)=E(x,y,z)(0＜x＜a,0<y<b,0<z<c);(x,y,z)=0(otherwise)第19页，共25页，2023年，2月20日，星期四②Schroedinger方程的求解=XYZE=Ex+Ey+Ez第20页，共25页，2023年，2月20日，星期四=XYZE=Ex+Ey+Ez第21页，共25页，2023年，2月20日，星期四3.立方势箱基态：ψ1,1,1=E1,1,1=3h2/(8ma2)第22页，共25页，2023年，2月20日，星期四简并能级：有多个状态具有相同能量的能级；简并态：简并能级对应的状态简并度：简并态的个数第一激发态：ψ2,1,1，ψ1,2,1，

ψ1,1,2

；E2,1,1=E1,2,1=E1,1,2=6h2/(8ma2)第23页，共25页，2023年，2月20日，星期四例题：

1）若立方势箱中运动的粒子的能量为下列值，求其简并度为多少？2）求立方势箱中运动的粒子的能量符合下列条件的所有状态？第24页，共25页，2023年，2月20日，星期四量子力学理论处理问题的思路：根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödin