高一数学欧拉公式

高一数学欧拉公式第1页，共11页，2023年，2月20日，星期四欧拉欧拉公式著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式．第2页，共11页，2023年，2月20日，星期四多面体（6）(8)简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体(5)第3页，共11页，2023年，2月20日，星期四讨论问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表（1）（2）（3）（4）图形编号顶点数V面数F棱数E（1）（2）（3）（4）规律：V+F-E=2464861268129815（欧拉公式）第4页，共11页，2023年，2月20日，星期四(8)(5)5851616327812问题1：（2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表图形编号顶点数V面数F棱数E（5）（7）（6）V+F-E=2（欧拉公式）简单多面体讨论第5页，共11页，2023年，2月20日，星期四问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论第6页，共11页，2023年，2月20日，星期四思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2,···,nF边形，各个面的内角总和是多少？(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+···+(nF-2)·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800思考3：n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系n1+n2+···+nF=2EF、V、E．问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）讨论ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1第7页，共11页，2023年，2月20日，星期四多边形内角和=（E－F）·3600思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？2（m-2)·1800+(V-m)·3600=(V-2)·3600∴（E-F）·3600=(V-2)·3600问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）讨论ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1V+F-E=2欧拉公式第8页，共11页，2023年，2月20日，星期四证法二：去边法第9页，共11页，2023年，2月20日，星期四问题3:欧拉公式的应用例11996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个．由题意有顶点数V=60，面数F=x+y，答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个．第10页，共11页，2023年，2月20日，星期四