高中人教B第二册案：4.2.2　对运算法则含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：4.2.2对数运算法则含解析4。2.2对数运算法则素养目标·定方向课程标准学法解读1。理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算．2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值,进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a＞0，且a≠1，M＞0,N＞0，则有（1)积的对数:__loga（MN）＝logaM＋logaN__．（2)商的对数：__logaeq\f（M，N）＝logaM－logaN__．(3）幂的对数：__logaMn＝nlogaM__．思考:在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga（MNQ）＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．知识点换底公式若a＞0,且a≠1,c＞0，且c≠1，b＞0，则有__logab＝eq\f（logcb，logca)__．思考:(1）对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？（2)你能用换底公式推导出结论logNnMm＝eq\f(m，n）logNM吗?提示:(1）logab＝eq\f(lgb，lga），logab＝eq\f(lnb,lna）．(2）logNnMm＝eq\f(lgMm,lgNn)＝eq\f(mlgM,nlgN)＝eq\f(m,n）·eq\f（lgM，lgN)＝eq\f(m,n)logNM．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值┃┃典例剖析__■典例1计算：(1)loga2＋logaeq\f(1,2）（a＞0且a≠1）；(2)log318－log32；(3）2log510＋log50。25;（4）2log525＋3log264；(5)log2(log216）；（6)62log63－20log71＋log4eq\f(1，16）．[解析](1）loga2＋logaeq\f（1，2）＝loga(2×eq\f（1,2）)＝loga1＝0．(2)log318－log32＝log3（18÷2)＝log39＝2．（3）2log510＋log50。25＝log5100＋log50。25＝log5（100×0。25)＝log525＝2．(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．（5）log2(log216）＝log24＝2．（6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．规律方法:对于同底的对数的化简,常用的方法：（1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积（商）的对数．(2）“拆”，将积（商)的对数拆成对数的和（差)．┃┃对点训练__■1．计算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f（1，50)－log514的值．［解析]log535＋2log2eq\r(2）－log5eq\f(1，50)－log514＝log535＋2×eq\f（1,2）＋log550－log514＝log5eq\f（35×50,14）＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简┃┃典例剖析__■典例2用lgx，lgy，lgz表示下列各式：（1）lg（xyz)；(2)lgeq\f（xy2，z）;（3）lgeq\f（xy3,\r（z)）；（4)lgeq\f（\r（x），y2z）．［解析]（1）lg（xyz）＝lgx＋lgy＋lgz．(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg（xy2）－lgz＝lgx＋2lgy－lgz．(3)lgeq\f(xy3，\r(z)）＝lg（xy3）－lgeq\r(z）＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2）lgz．（4）lgeq\f(\r(x)，y2z)＝lgeq\r（x)－lg（y2z)＝eq\f(1，2）lgx－2lgy－lgz．规律方法:关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序,其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．┃┃对点训练__■2．lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq\f（18,25)．[解析］lg108＝lg（27×4）＝lg（33×22）＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3B．lgeq\f(18，25)＝lg18－lg25＝lg（2×32）－lgeq\f(102，22）＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2．题型换底公式及其应用┃┃典例剖析__■典例3（1)已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645的值；（2）设3x＝4y＝6z＞1,求证：eq\f（1，z)－eq\f(1，x）＝eq\f(1，2y)．［分析］在(1）中把所求的换成与已知同底的对数,在（2)中可用整体代换法求出x,y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．［解析](1）由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f（log185＋log189，1＋log182）＝eq\f（b＋a,1＋1－log189)＝eq\f(a＋b,2－a)．(2)设3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z＞1,∴t＞1，∴x＝eq\f（lgt，lg3），y＝eq\f（lgt，lg4），z＝eq\f（lgt，lg6），∴eq\f(1,z）－eq\f（1，x）＝eq\f(lg6，lgt）－eq\f（lg3，lgt)＝eq\f（lg2，lgt)＝eq\f(lg4，2lgt）＝eq\f（1,2y）．∴eq\f(1，z）－eq\f(1,x）＝eq\f（1，2y）．规律方法：换底公式的应用（1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．（2）注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．（3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式eq\f（1，logab)＝logbA．┃┃对点训练__■3．(1）若3a＝7b＝eq\r(21)，求eq\f(1，a）＋eq\f(1，b)的值;(2）设4a＝5b＝m，且eq\f（1,a）＋eq\f(2，b）＝1，求m的值．[解析］（1）∵3a＝7b＝eq\r（21),∴a＝log3eq\r（21)，b＝log7eq\r（21），∴eq\f（1,a）＋eq\f(1，b）＝eq\f(1,log3\r(21）)＋eq\f(1，log7\r（21)）＝eq\f（1,\f（lg\r(21),lg3））＋eq\f（1，\f(lg\r(21），lg7））＝eq\f(lg3＋lg7，lg\r(21））＝eq\f(lg21,\f(1，2)lg21）＝2．(2）∵4a＝5b＝m，∴a＝log4m，b＝log5m，又eq\f(1，a）＋eq\f(2，b）＝1，∴eq\f(1,log4m)＋eq\f（2，log5m）＝1,即logm4＋2logm5＝1，∴logm100＝1，∴m＝100．易错警示┃┃典例剖析__■典例4已知lgx＋lgy＝2lg（x－2y）,求logeq\r(2)eq\f（x,y)的值．[错解]∵lgx＋lgy＝2lg（x－2y）,∴xy＝(x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0．∴（x－y)(x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y．∵eq\f(x，y）＝1或4，∴logeq\r（2）eq\f(x,y)＝logeq\r（2)1＝0或logeq\r(2)eq\f(x,y）＝logeq\r(2)4＝4．［辨析］误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解]∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0．∴(x－y)(