数字信号处理课件第二章

第二章:z变换与DTFTTheZ-Transform

&

Discrete-TimeFourierTransform§2-1引言

信号与系统的分析方法可分为时域、变换域两大类。一.时域分析法

1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算、分解，微分方程的经典解法；卷积积分。2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，差分方程的经典求解；卷积和。二.变换域分析法

1.连续时间信号与系统：

频域分析（傅里叶变换）复频域分析（拉氏变换）2.离散时间信号与系统：

频域分析（序列的傅里叶变换DTFT、离散傅里叶变换DFT）

复频域分析（z变换）

z变换可将差分方程转化为代数方程。§2-2z变换的定义及收敛域一.z变换定义：序列的z变换定义如下：即为x(n)与组合成的幂级数。级数收敛才有意义，才能表示成以为变量的表达式。(双边bilateralz-transform)二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：

X(z)收敛的充要条件是绝对可和。regionofconvergence(ROC)3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数在

收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z必使级数绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。同样,对于级数，满足的z上，

级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。0n2n1n(n)...(2).有限长序列当时，收敛域包括当时，收敛域包括x(n)n0n1..1...(3).右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为

Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为

Rx-<|z|<∞;

Rx-为最小收敛半径。(4).因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：通常写为:(5).左边序列x(n)0n

n2

第二项为有限长序列,其收敛域;

第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。(6).双边序列0nx第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-<Rx+时，其收敛域为其收敛域应包括即 充满整个z平面。[例2-1]求序列

的z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，[例2-2]求序列

的z变换及收敛域。

解：当 时，这是无穷递缩等比级数。*因果序列收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域：[例2-3]求序列

的z变换及收敛域。同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*逆因果序列收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。作业：

P94：1.(1)(2)(3)

(第四版：P134) §2-3z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。（inversez-transform）Inversionofthez-tranformz

变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条

逆时针闭合单围线0c1.留数法

由留数定理可知：

为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。二.求z反变换的方法（residuetheorem）（residuemethod）(围线积分法)（有条件）(2)当zr

为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：(1)当zr为一阶极点时的留数：[例2-5]已知解:1）当n≥-1时, 不会在z=0构成极点，所以这时c内只有一个一阶极点 因此，求z反变换。2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1在z=0构成-(n+1)阶极点。因此c内有极点：z=1/4(一阶),z=0为-(n+1)阶极点；而在c外仅有

z

=4(一阶)这个极点:

2.部分分式法(partialfractionexpansionmethod)

(用到海维赛展开定理)

有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可表示成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；zk为X(z)的各单极点，zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：

的z反变换。[例2-7]利用部分分式法求解：

分别求出各部分分式的z反变换（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。3.幂级数展开法(长除法)因为x(n)的z变换为z-1

的幂级数，即

在给定的收敛域内把X(z)展为幂级数，其系数就是x(n)。如收敛域为|z|>Rx-，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数。若收敛域|z|<Rx+,x(n)必为左边序列，则要展成

z的正幂级数。[例2-9]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。

4-z)

4z+z+—z+—z+—z+241311645164...16z16z–4z24z

4z-zzz-—z—z—z-—z—z

2233314141444411655116...

Z-—

)Z141+—z+—z+—z14-1116-2164-3...z-—14—14—14-—z116-1—z116-1—z116-1-—z164-2—z164-2—z164-2-——z1256-3——z1256-3...作业：

P94：3(用留数法)(第四版：P134) §2-4z变换的基本性质和定理对于 满足：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性[例2-10]已知,求其z变换。解：2.序列的移位如果 则有：[例2-11]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4.序列的线性加权(z域求导数)如果，则证明：5.共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.初值定理证明：对于因果序列8.终值定理证明：对于因果序列

又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性证明：对于因果序列交换求和次序，得10.序列的卷积和(时域卷积定理)

证明：[例2-12]解：11.序列相乘(z域卷积定理)其中,c是在变量v平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）[例2-13]解：12.帕塞瓦定理(Parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:几点说明：P69(第四版P90)的表2-2z变换的性质汇总表：§2-5z变换与拉氏变换、

傅氏变换的关系

一.z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则（式1-33）（式1-34）第1.4节(P34-35)即

对其求拉氏变换：序列x(n)的z变换：

而,可知：

当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换：2.

s平面与z平面的映射关系

s平面用直角坐标表示为：

z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此， 这就是说，z的模只与s的实部相对应,

z的相角只与s虚部Ω相对应。=0,即s平面的虚轴r=1,即z平面单位圆；σσσ<0,即s的左半平面r<1,即z的单位圆内；>0,即s的右半平面r>1,即z的单位圆外。(1).r与σ的关系Ω=0，s平面的实轴， ω=0，z平面正实轴；

Ω=Ω0(常数)，s:平行实轴的直线，ω=Ω0T,z:始于原点的射线；

Ω

s:宽 的水平条带，ω

整个z平面.(2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）0jIm[z]Re[z]ω1s平面到z平面的映射是多值映射二.z变换和傅氏变换的关系

连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即

傅氏变换是拉氏变换在虚轴s=jΩ上的特例,因此,

其中表示z平面上的单位圆,所以抽样所得序列在单位圆上的z变换,就等于理想抽样信号的傅氏变换。

序列在单位圆上的z变换称为序列的傅里叶变换，它等于理想抽样信号的傅里叶变换，反映了信号的频谱。用数字频率ω作为z平面的单位圆的参数，，§2-6离散时间傅里叶变换

（序列的傅里叶变换）Discrete-TimeFouriertransform(DTFT)正变换：（单位圆上的z变换）级数一致收敛的条件为：

（即序列绝对可和）

注意：各符号代表的含义连续信号的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的z变换相对于均方收敛2.反变换：（单位圆上的z反变换）反变换也叫逆变换，记为IDTFT要熟记DTFT变换对：正变换：反变换：注：等于理想抽样信号的傅里叶变换，所以其频谱与理想抽样信号的频谱相同，只是频率变量成了数字频率。例：§2-7序列傅里叶变换的性质

ThepropertiesoftheDTFTDTFT是z变换在单位圆上的值，所以z变换的性质也就是DTFT的性质。由P69(第四版P90)的表2-2所列z变换性质，将其中的变量z代换为，就可得P78(第四版P99)的表2-3。性质比较：z变换DTFT性质比较：z变换DTFT如上性质不做详述，但要求熟练掌握（必考内容）。本节重点介绍一些对称性质。一、共轭对称序列与共轭反对称序列

1.共轭对称序列条件：满足xe(n)=xe*(-n)，则称xe(n)为共轭对称序列。分析对称关系：设序列，则有则应满足说明共轭对称序列的实部偶对称，而虚部奇对称。

特殊地，如序列是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。实部虚部2.共轭反对称序列

条件：满足xo(n)=-xo*(-n)，则称为共轭反对称序列。分析：根据定义，则应满足

说明共轭反对称序列的实部奇对称，而虚部偶对称。特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和，两分量的求取：三、序列的傅氏变换也可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和其中，四、两个基本性质证明：（前表中已列出）证明：五、序列的实、虚部与其傅氏变换共轭对称、反对称分量的对应关系序列的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量证明：2.序列的j倍虚部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量证明：六、序列的共轭对称、反对称分量与其傅氏变换的实、虚部的对应关系序列的共轭对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明：2.序列的共轭反对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以

j证明：七、序列为实序列的情况即是说，实序列的傅里叶变换是共轭对称的。证明：比较即得上述结论。证明：比较即得上述结论。6.实序列偶部、奇部的傅里叶变换性质：作业：

P95：7、8、10（1、2、3）第四版：P134：9、10、11（1、2、3）

h(n)x(n)(n)

频率响应：在单位圆( )上的系统函数，记为。§2-8离散系统的系统函数 及系统的频率响应一.系统函数:

定义为：系统单位抽样响应h(n)的z变换，记为。线性移不变系统，h(n)为单位抽样响应（也就是h(n)的DTFT。）FrequencyresponseSystemfunction稳定性：（由z变换分析稳定性） 线性移不变系统稳定的充要条件：h(n)满足绝对可和即∑|h(n)|<∞

z变换H(z)的收敛域：满足

∑|h(n)z-n|<∞的那些z如果收敛域包含单位圆，则有∑|h(n)|<∞，即系统稳定。反过来说，稳定系统的收敛域应包括单位圆

|z|

=1。 二.因果稳定系统AnLTIsystemisstableifandonlyiftheunitcircleisintheROCofH(z).2.因果性：（由z变换分析因果性）

LSI系统为因果系统的充要条件是单位抽样响应h(n)为因果序列，则其z变换H(z)的收敛域为R-<|z|≤∞。3.因果稳定系统的极点：收敛域R-<|z|≤∞应包含单位圆|z|=1，即系统函数收敛域至少为1≤|z|≤∞；

也就是说，其全部极点（z平面上对应于H(z)的表达式=∞的点）必须在单位圆内。AcausalLTIsystemisstableifandonlyifthesystemfunctionhasallitspolesinsidetheunitcircle.三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：所以对上式因式分解，令得：其中是的零点，是的极点。

可见，除了比例常数K以外，系统函数完全由它的零点、极点决定。四.系统的频率响应的意义

系统的频率响应输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：

对于具体的频率成分：输出、输入、系统频率响应在的值之间的关系为即

经过系统后，频率分量的幅度增加了倍，相位增大了。：幅度特性：相位特性magnituderesponsefunctionphaseresponsefunction例：注：上图只描述了信号幅度的变化。（经过系统后，高频分量被滤掉，所以系统是低通滤波器）

五.频率响应的几何确定1.频响的零极点表达式相角：模：在z平面上用矢量表示各复数：

2.几点说明

(1).

表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用，只是给出线性相移分