第16章轴对称和中心对称163角的平分线

16.3角的平分线问题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）解决问题s1、观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？探究

在△ADC和△ABC中

AB=AD（已知）

AC=AC（公共边）

DC=BC（已知）∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）∴AE平分∠BAD（角平分线定义）

证明：BDACE已知：AB=AD，BC=DC。求证：AC是∠BAD的平分线已知：

∠ＡＯＢ(如图)求作：

∠ＡＯＢ的角平分线OC.OABNMC证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON

MC=NC

OC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分线.2、基本作图：平分已知角作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。

2、分别以M、N为圆心，大于的长为半径在角的内部作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。

3、作射线OC，射线OC即为所求。12MN思考：当∠AOB的两边成一条直线（即∠AOB=180°），。通过上面的步骤得到射线OC后，OC是这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？1、折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？

PD和PE相等吗？2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。COBAPDE3、观察折纸，思考问题：将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?角平分线性质:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB求证:PD=PE证明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一点（已知）∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已证）∠ODP=∠OEP（已证）

OP=OP（已知）∴△ADC≌△ABC(ＡＡS)∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）几何语言:

∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

EDOABPC解：

作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。DCs已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。应用与提高证明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE（已证）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形对应边相等）1、如图，连接角平分仪的边BD、AC，那么AC与BD有什么关系？为什么?提高与拓展2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？

角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。

做一做驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。

1、角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2、到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

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