2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故选B．（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数满足，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故选A．（3）【2014年广东，理3，5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（）（A）8（B）7（C）6（D）5【答案】C【解析】画出可行域，易知在点与处目标函数分别取得最大值，与最小值，，故选C．（4）【2014年广东，理4，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（） （A）离心率相等（B）虚半轴长相等（C）实半轴长相等（D）焦距相等【答案】D【解析】，，，从而两曲线均为双曲线，又，两双曲线的焦距相等，故选D．（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量，则下列向量中与成夹角的是（） （A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为，故选A．（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）（A）200,20（B）100,20（C）200,10（D）100,10【答案】A【解析】样本容量为，抽取的高中生近视人数为：，故选A．（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，，则下列结论一定正确的是（）（A）（B）（C）既不垂直也不平行（D）的位置关系不确定【答案】D【解析】平面中的四条直线，，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．（8）【2014年广东，理8，5分】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）（A）60（B）90（C）120（D）130【答案】D【解析】可取，和为1的元素个数为：；和为2的元素个数为：；和为3的元素个数为：，故满足条件的元素总的个数为，故选D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13）（9）【2014年广东，理9，5分】不等式的解集为．【答案】【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2，故该不等式的解集为：．（10）【2014年广东，理10，5分】曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】，，所求切线方程为，即．（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【答案】【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为．（12）【2014年广东，理12，5分】在中，角所对应的边分别为，已知，则．【答案】2【解析】解法一：由射影定理知，从而，．解法二：由上弦定理得：，即，，即，．解法三：由余弦定理得：，即，，即．（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列的各项均为正数,且,则．【答案】50【解析】，，设，则，，．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为．【答案】【解析】即，故其直角坐标方程为：，的直角坐标系方程为：，与的交点的直角坐标为．（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程中并整理得：，依题意，，即，即，，两切线相互垂直，，即，，显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．（21）【2014年广东，理21，14分】设函数，其中．（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论在区间上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．解：（1），则或由得：，，方程的解为，由得或，由得，方程的判别式，该方程的解为，由得．，，．（2）设，则，（ⅰ）当时，，，；（ⅱ）当时，，，；（ⅲ）当时，，，；（ⅳ）当时，，，．综上，在上的单调增区间为：，在上的单调减区间为：．（3）设，由（1）知，当时，；又，显然，当时，，从而不等式，，，（ⅰ